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培优点 10 阿波罗尼斯圆与蒙日圆
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题
聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．
题型一 阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数
λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
例1 (1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证
明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人
将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆T：＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆T长轴的端点，C，D为
椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左、右焦点，动点M满足＝2，△MAB面积的最
大值为4，△MCD面积的最小值为，则椭圆T的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设M(x，y)，E(－c，0)，F(c，0)，
由＝2，可得
＝2，
化简得2＋y2＝.
∵△MAB面积的最大值为4，△MCD面积的最小值为，
∴×2a×c＝4，×2b×c＝，
∴b2＝a2＝a2－c2，即c2＝a2，∴e＝.
(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则PO＋2PA的
最小值为________．
答案 10
解析 假设A′(m，n)，使得PO＝2PA′，设P(x，y)，则＝2，
从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为，
由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，
所以＝4，＝4，
解得m＝n＝3，即A′(3,3)．
所以PO＋2PA＝2(PA′＋PA)≥2A′A
＝2＝10.
即PO＋2PA的最小值为10.
思维升华 阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利
用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标．
跟踪训练1 (1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时
期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一
指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就
是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则PA2＋PB2的最大
值为( )
A．16＋8 B．8＋4
C．7＋4 D．3＋
答案 A
解析 由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
因为＝，所以＝，
即(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为的圆，
因为PA2＋PB2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3
上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，
所以(x2＋y2) ＝(2＋)2＝7＋4，
max
所以[2(x2＋y2＋1)] ＝16＋8，即PA2＋PB2的最大值为16＋8.
max
(2)在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上两定点，点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，
且满足PM＝2PN，则MN＝________.
答案
解析 如图所示，设M(m，0)，
N(n，0)，P(x，y)，
∵PM＝2PN，∴PM2＝4PN2，
∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，
即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，
即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，
由题意得，x2＋y2＋x＋＝0与x2＋y2＝1表示同一个圆．
∴解得或
∴MN＝|m－n|＝.
题型二 蒙日圆在椭圆＋＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭
圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点．
性质1 PA⊥PB.
性质2 k ·k ＝－.
OP AB
性质3 k ·k ＝－，k ·k ＝－(垂径定理的推广)．
OA PA OB PB
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6 S 的最大值为，S 的最小值为.
△AOB △AOB
性质7 S 的最大值为，S 的最小值为.
△APB △APB
例2 (1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆
上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若
椭圆C：＋＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分
别为(0，)，(，0)，则两条切线分别是x＝，y＝，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点
为P(，)，而P在蒙日圆上，∴()2＋()2＝4，解得a＝1.
(2)(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l ，l ，它们与
1 2
椭圆＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.
①求证：对于圆上的任意点A，都有l⊥l 成立；
1 2
②求△AMN面积的取值范围．
①证明 当直线l，l 有一条斜率不存在时，不妨设l 的斜率不存在，
1 2 1
∵l 与椭圆只有一个公共点，
1
∴其方程为x＝±，
当l 的方程为x＝时，此时l 与圆的交点坐标为，
1 1
∴l 的方程为y＝1或y＝－1，故l⊥l 成立，
2 1 2
同理可证，当l 的方程为x＝－时，结论成立；
1
当直线l，l 的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，
1 2
设过点A的直线方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，
可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得
(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，
∵m2＋n2＝4，
∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，
设l，l 的斜率分别为k，k，
1 2 1 2
∴kk＝－1，∴l⊥l 成立，
1 2 1 2
综上，对于圆上的任意点A，都有l⊥l 成立．
1 2
②解 记原点到直线l，l 的距离分别为d，d，
1 2 1 2
∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，
∴MA＝2d，NA＝2d，d＋d＝OA2＝4，
2 1
则△AMN的面积为S＝MA·NA＝2dd，
1 2
则S2＝4dd＝4d(4－d)＝－4(d－2)2＋16，
∵d∈[1，]，即d∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，
1
∴S∈[2，4]，
故△AMN的面积的取值范围为[2，4]．
思维升华 蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线－＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－
b2(只有当a>b时才有蒙日圆)．
抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝
－(可以看作半径无穷大的圆)．
跟踪训练2 (多选)(2023·泰州模拟)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：
与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称
为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F ，F 分别为椭圆的左、右
1 2
焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是(
)
A．椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意一点P，PA·PB>0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－AF 的最小值为b
2
D．若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
答案 AD解析 对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，
∴点Q(a，b)在蒙日圆上，
∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，
由e＝＝＝得a2＝2b2，
∴椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；
对于B，由l方程知，l过点P(b，a)，
又点P满足蒙日圆方程，
∴点P(b，a)在圆x2＋y2＝3b2上，
当A，B恰为过点P所作椭圆两条互相垂直的切线的切点时，PA·PB＝0，B错误；
对于C，∵点A在椭圆上，∴AF＋AF＝2a，
1 2
∴d－AF＝d－(2a－AF)＝d＋AF－2a，
2 1 1
当FA⊥l时，d＋AF 取得最小值，最小值为F 到直线l的距离，
1 1 1
由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，
∴F 到直线l的距离
1
d′＝＝＝b，
∴(d－AF) ＝b－2a，C错误；
2 min
对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝
12b2，
∴矩形MNGH的面积S＝xy≤＝6b2(当且仅当x＝y＝b时取等号)，
即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确．
1．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆 C：＋＝1(a>0)
的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为( )
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
答案 B
解析 因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，
所以＝，解得a＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
根据蒙日圆的定义知，蒙日圆的半径r＝＝，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.2．在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆＋y2＝1的两条互相垂
直的切线，则r的取值范围是( )
A．(3,7) B．[3,7] C．(1,9) D．[1,9]
答案 B
解析 根据蒙日圆的定义得椭圆＋y2＝1的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，其圆心为(0,0)，半径为
2，
依题意，点P在圆x2＋y2＝4上，
又点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圆心为(3,4)，
所以|2－r|≤≤2＋r，
即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7]．
3．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k>0且k≠1)的点
的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当
△ABC的面积最大时，BC等于( )
A．12 B．20 C．2 D．5
答案 C
解析 如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为AC＝6，
所以A(－3,0)，C(3,0)，
设B(x，y)，因为sin C＝2sin A，
由正弦定理可得AB＝2BC，
所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，
化简得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，
圆的位置如图所示，圆心为(5,0)，半径r＝4，
观察可得，在三角形底边长AC不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，
高最大，
此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5,4)或(5，－4)，
所以BC＝＝2.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(4,0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得
PA＝PB，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
答案 D
解析 设P(x，y)，
则PA＝，
PB＝，
因为PA＝PB，
所以＝，
同时平方，化简得x2＋y2＝4，
故点P的轨迹为圆心为(0,0)，半径为2的圆，
又点P在直线x－y＋m＝0上，
故圆x2＋y2＝4与直线x－y＋m＝0必须有公共点，所以≤2，解得－2≤m≤2.
5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的
交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
C：＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆
C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为4b2，则椭圆C的
离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由已知条件可得MP⊥MQ，
则PQ为圆x2＋y2＝a2＋b2的一条直径，
则MP2＋MQ2＝PQ2＝4(a2＋b2)，
所以S ＝MP·MQ≤＝a2＋b2，
△MPQ
当且仅当MP＝MQ时，等号成立．
所以a2＋b2＝4b2，
所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，
即2a2＝3c2，所以e＝.
6．阿波罗尼斯圆指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么
点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝
1，点A和点B，M为圆O上的动点，则2MA－MB的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设点M(x，y)，令2MA＝MC，则＝，
由题知圆x2＋y2＝1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝，
设点C(m，n)，
则＝＝，
整理得x2＋y2＋x＋y＝，
比较两方程可得＝0，＝0，＝1，即m＝－2，n＝0，点C(－2,0)，
当点M位于图中M 的位置时，2MA－MB＝MC－MB，此时取得最大值，最大值为BC＝.
1 1 1
7．(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足＝，直线l：mx－y＋m＋1
＝0，则( )
A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4
B．直线l与动点C的轨迹一定相交
C．动点C到直线l距离的最大值为＋1
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且PQ＝2，则m＝－1
答案 ABD
解析 对于A选项，设C(x，y)．
因为＝，所以＝，
整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，
所以动点C的轨迹为以N(－2,0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A
正确；
对于B选项，因为直线l过定点M(－1,1)，而点M(－1,1)在圆N内，所以直线l与圆N相交，
故B正确；
对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋NM＝2
＋，故C错误；
对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
则d＝.
因为PQ2＝4(r2－d2)＝8.
又r＝2，所以d＝.
由＝2，得m＝－1，故D正确．
8．(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现
与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为
该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(
)
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－)a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k，k，则kk＝－
1 2 1 2
答案 ABD
解析 依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线(图略)，
则这两条垂线的交点在圆C上，
所以a2＋b2＝a2，即a2＝2b2，
所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，
所以PQ为圆C的直径，
所以PQ＝2×＝a，
所以△MPQ面积的最大值为PQ·＝·＝a2，故B正确；
设M(x，y)，Γ的左焦点为F(－c，0)，
0 0
连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，
所以MF2＝(x＋c)2＋y＝x＋y＋2xc＋c2＝a2＋2x·a＋a2＝2a2＋ax，
0 0 0 0
又－a≤x≤a，
0
所以MF2∈[(2－)a2，(2＋)a2]，
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则B(－x，－y)，k＝，k＝，
1 1 1 2
又所以＋＝0，
所以＝·＝－，
所以kk＝－，故D正确．
1 2
9．(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10
＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为__________．
答案
解析 根据题意可得，圆x2＋y2＝a2＋1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a2＋1相离时，∠APB恒为锐角，
故a2＋1<2＝4，解得10，且λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的
名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,1)，
B(－2,4)，点P是满足λ＝的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为________________；
若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PA＋PQ＋QH的最小值
为________．
答案 (x＋2)2＋y2＝4 －1
解析 设点P(x，y)，∵λ＝，
∴＝⇒＝，
∴该阿氏圆方程为(x＋2)2＋y2＝4.
设抛物线的焦点为点F，如图所示，由题意知F(1,0)，QH＝QF－1，
∴(PA＋PQ＋QH) ＝(PA＋PQ＋QF－1) ＝AF－1＝－1＝－1.
min min
