文档内容
重难点突破 14 阿基米德三角形
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：定点问题................................................................................................................................3
题型二：交点的轨迹问题....................................................................................................................9
题型三：切线垂直问题......................................................................................................................13
题型四：面积问题..............................................................................................................................17
题型五：外接圆问题..........................................................................................................................24
题型六：最值问题..............................................................................................................................31
题型七：角度相等问题......................................................................................................................36
03 过关测试.........................................................................................................................................41如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的切线交
于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．
y
B
F
A
O x
P
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为
．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图 1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点 C，D，则
.
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分
别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．图1
题型一：定点问题
【典例1-1】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线
C： 给出如下三个条件：①焦点为 ；②准线为 ；③与直线 相交所得弦长为
2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交
点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请
说明理由．
【解析】（1）C： 即C： ，
其焦点坐标为 ，准线方程为 ，
若选①，焦点为 ，则 ，得 ，
所以抛物线的方程为 ；
若选②，准线为 ，则 ，得 ，
所以抛物线的方程为 ；
若选③，与直线 相交所得的弦为2，
将 代入方程 中，得 ，即抛物线与直线 相交所得的弦长为 ，
解得 ，所以抛物线的方程为 ；
（2）设 ， ， ，切线 ： ，
将其与C： 联立得 ，
由 得 ，
故切线 ： ，即 ；
同理 ：
又点 满足切线 ， 的方程，
即有
故弦AB所在直线方程为 ，其过定点 ．
【典例1-2】（2024·山东滨州·一模）已知点 ， ，动点 满足 ．记点 的
轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直线 过定点．
【解析】（1）设 ，则 ， ，
， ，
所以， 可以化为 ，
化简得 ．
所以， 的方程为 ．
（2）由题设可设 ， ， ，
由题意知切线 ， 的斜率都存在，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，直线 的方程为 ，即 ，①
因为 在 上，所以 ，即 ，②
将②代入①得 ，
所以直线 的方程为
同理可得直线 的方程为 ．
因为 在直线 上，所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 ．
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知动圆过点 （0，1），且与直线 ： 相切．
(1)求动圆圆心的轨迹 的方程；
(2)点 一动点，过 作曲线E两条切线 ， ，切点分别为 ， ，且 ，直线 与圆
相交于 ， 两点，设点 到直线 距离为 ．是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，圆心的轨迹E是以F 为焦点，l：y＝－1为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E为x2＝4y．
（2）依题意，直线AB斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m， ．
由 ，得 ，故 ．
，由x2＝4y，得 ，故切线 PA，PB的斜率分别为
由 PA PB，得： ，
⊥
所以m＝1，这说明直线 AB 过抛物线E的焦点F，则切线 ．
联立 ，消去y得： ，即 ，
则 ，即 ，于是P到直线AB：kx－y＋1＝0的距离 ．
．
设原点到直线kx－y＋1＝0的距离为 ，则 ，所以 ．
因为 ，所以 ， 化简整理得 ，无解，
所以满足条件 的点P不存在．
【变式1-2】设点 为抛物线 ： （ ）的动点， 是抛物线的焦点，当 时，
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 在第一象限且 时，过 作斜率为 ， 的两条直线 ， ，分别交抛物线于点 ， ，且
，证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆 ： ，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵当 时， ，
∴ ，
所以 ，
即抛物线 的方程为 ；
（2）∵ 在第一象限且 时，
∴ ，
设 ， ，
由 ，可得 ，
则 ，
∵ ，同理 ，又
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
所以 ，即
所以直线 恒过定点 ；
（3）取 ，设 的切线为 ，
则 ，即 ，
把 代入 ，
解得 ，
直线 ，若直线与圆 ： 相切，
则 ，又 ，
解得 或 （舍去），
下面证明过曲线 上任意一点 （除原点）作圆 的两条切线，与曲线 交于另外两点 ， 时，总有直
线 也与圆 相切，
设 ，切线为 ， ，
由 ，可得 ，
∴ ，
由 ，可得 ，
所以 ，
∴ ，即 ，
同理可得 ，故 ，
所以直线 ，
所以圆心 到直线 的距离为
，
又 ，
∴ ，
综上，可得过曲线 上任意一点 ，存在实数 ，使直线 与圆 相切.
【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离大1.
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）若 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ， 为 的
中点.
①求证： 轴；
②直线 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由动点 到直线 的距离比到定点 的距离大1得，
动点 到直线 的距离等于到定点 的距离，
所以点 的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中 ，
轨迹方程为 .
（2）①设切点 ， ， ，所以切线 的斜率为 ，
切线 .设 ，则有 ，化简得 .
同理可得 .
所以 ， 为方程 的两根.
则有 ， ，所以 .
因此 轴.
② 因为 ，
所以 .又因为 ，
所以直线 ，即 .
即直线过定点 .
题型二：交点的轨迹问题
【典例2-1】已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于D， 两点，过点D， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ，
∵抛物线 的焦点 到直线 的距离为 ，
∴ ，解得 或 （舍去 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，设切点为 ，曲线 ， ，则切线的斜率为 ，化简得 ，
设 ， ， ，则 ， 是以上方程的两根，
则 ， ，
，
直线 的方程为： ，整理得 ，
∵切线 的方程为 ，整理得 ，且点 ， 在切线 上，
∴ ，即直线 的方程为： ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故直线 过定点 ．
（3）设 ， ， ，
过D的切线 ，过 的切线 ，
则交点 ，
设过 点的直线为 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 满足的轨迹方程为 ．
【典例2-2】已知抛物线 的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心， 为半径的圆的
最小面积为 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线 ， ，两切线交于点P，求点P的轨
迹方程．
【解析】（1）设点 ， ，则 ，
因为以E为圆心，以 为半径的圆的最小面积为 ，
所以 ，
所以 （负值舍去），解得 ，
所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
易得 ，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为 ，
联立 得 ，
，所以 ， ．
由 ，得 ，则切线 的斜率为 ，
则切线 的方程为 ，即 ①．
同理可得切线 的方程为 ②．
① ②得 ，
代入①得， ，
所以点P的轨迹方程为 ．
【变式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，点 满足方程 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）作曲线 关于 轴对称的曲线，记为 ，在曲线 上任取一点 ，过点 作曲线 的切线 ，
若切线 与曲线 交于 、 两点，过点 、 分别作曲线 的切线 、 ，证明： 、 的交点必在曲线
上.
【解析】（1）由 ，两边平方并化简 ，得 ，即 ，
故点 的轨迹 的方程为 .
（2）依题可设点 ， ，
曲线 切于点 的切线 的斜率为 ，
切线l的方程为 ，整理得 ，
依题可知曲线 ， ，
联立方程组 ，即 ， ，
设 ， ，则 ， ，
设曲线 上点 处的切线斜率为 ，
切线方程为 ，整理得 ，
同理可得曲线 上点 处的切线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，
因为 ， ，
所以 ， ， 、 的交点坐标为 ，
满足曲线 的方程 ，即 、 的交点必在曲线 上.
【变式2-2】已知抛物线C： ，过点 的直线 交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切
线为 ，在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： ；
(2)证明：点M在定直线上.
【解析】（1）证明：由题意知，直线的 斜率存在，设直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得， ，且 ，
则
由 ，得 ，
， ，
.
（2）证明：直线 与 交于点M，设 ，
抛物线在点A处的切线 方程为 ，
即 ，
同理，在点B处的切线 方程为 .
联立 ，解得 ，
将 式代入化简得 ，
则点 在定直线 上.
题型三：切线垂直问题
【典例3-1】已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
【解析】（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为 ，
点 坐标为 ，过点 的切线方程为 ，联立方程 ，消去 ，得 ，
由 ，解得 ，
所以切线 的方程分别为 和 ，
即切线方程分别为 和 ；
（2）设点 坐标为 ，切线斜率为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，记关于 的一元二次方程 的两根为 ，
则 分别为切线 的斜率，由根与系数的关系知 ，
所以切线 和 互相垂直.
【典例3-2】已知P是抛物线 的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线 ，切点
分别为 ．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．
【解析】（1）
由抛物线C的方程为 ，则其准线方程为
由于点P的纵坐标为0，所以点P为 ，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜
率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知 ，即
此时抛物线C的两条切线方程分别为 和 .
（2）点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知 ，即
而抛物线C的两条切线 的斜率 ，即为方程 的两根
故 .
【变式3-1】已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，抛物线
的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 和抛物线 的方程分别为 ， ， ，
椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（2）由题意知过点 与抛物线 相切的直线斜率存在且不为0，设 ，则切线方程为
，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，
为定值．
【变式3-2】如图，已知抛物线 的焦点是 ，准线是 ，抛物线上任意一点 到 轴的距离比
到准线的距离少2.
（1）写出焦点 的坐标和准线 的方程；
（2）已知点 ，若过点 的直线交抛物线 于不同的两点 （均与 不重合），直线 分
别交 于点 ，求证： .
【解析】（1）由题意知，任意一点 到焦点的距离等于到直线 的距离，由抛物线的定义得抛物线标
准方程为 ，
所以抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 ；（2）设直线 的方程为： ，令 ，
联立直线 的方程与抛物线 的方程 ，消去 得 ，
由根与系数的关系得：
直线 方程为： ，
当 时， ，∴ ，同理得： ，
∴ ，
∴
，
∴ ，∴ .
题型四：面积问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C
交于A，B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意可得 ，即 ，所以抛物线方程为
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
及 ，又由题意可知 ，所以
又 ，且
所以 ，
即 ，
又因为点D在直线AB上，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由①②式可得，
当 时， ，解得 ； ，此时 ；
当 时，消 可得， ，即 ，
点(2,0)同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以 ，
综上，点D的轨迹E的方程为 ；
（2）因为 ，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为 ， 的斜率分别为 ，则
切线方程为 ，即 ，
令 ，得 ，
，
又 ，消元得
因为相切，所以 ，
即
易知 的斜率分别为 是方程③的两个根，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
，当且仅当 ，即 时，取等号.
综上， 面积的最小值为8.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 ，点 在抛物线 上．
(1)证明：以R为切点的 的切线的斜率为 ；
(2)过 外一点A（不在x轴上）作 的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线 （切点为
D），点 、 分别是与AB、AC的交点（如图）．
（i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点；
（ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过 外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如 ．再由点 、 确定的切线三角形 ， ，
并依这样的方法不断作1，2，4，…， 个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于 ．
【解析】（1）设 是以 为切点的 的切线，则 .
由于该直线和 有唯一公共点 ，故联立后的方程组 只有唯一解 .
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程 只有唯一解 .
此方程展开即为 ，从而 ，所以 .
（2）（i）设 ， ，则 .
根据上一小问的结论，可知 在 和 处的切线分别是 和 .
联立两直线解得 ，所以 .
由于 不在 轴上，所以 ，故 ，所以 的纵坐标是 ，从而
.
而 ， 在 外， 在 上，所以直线 的方程是 .
这表明该直线通过 的中点 ，所以直线 与 的交点 就是 的中点，即
.
而 ， ，故 的中点坐标为 ，这就
是点 的坐标，所以 是 的中点.
（ii）
由于 是 的中点， 和 平行，故 分别是 的中点.所以 ， .
首先有
.
从而 ， .
而 ，故根据点的一般性可知对 外的任意一点 ，该点确定的切线三角形的面积为
.
再由 ， ，可知
，同理
.
这就表明，不断作 个切线三角形后，第 次作的所有切线三角形的面积均为任意
一个第 次作的切线三角形的面积的 .
而 ，所以第 次作的切线三角形的面积均为 .
设所有切线三角形的面积之和为 ，由于第 次作的切线三角形的个数为 ，故
.
从而 ，这就得到
，
所以 ，即 ，结论得证.
【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是 轴下方的一点，过点 作 的两条切线 ，且 分别交 轴于 两点.
(1)求证： ， ， ， 四点共圆；
(2)过点 作 轴的垂线 ，两直线 分别交 于 两点，求 的面积的最小值.
【解析】（1）
设 ，若过点 且斜率为 的直线 与抛物线 相切，则联立后得到的关于
的方程 只有一个实数根.
此即关于 的二次方程 的判别式等于零，即 ，得
.
另一方面，该直线与 轴交于点 ，而该点与 的连线的斜率为
.
所以，过点 作抛物线的切线后，该切线与 轴的交点到焦点 和点 的连线互相垂直.
这就说明 ，从而 ，所以 ， ， ， 四点共圆.
（2）由 的定义知其方程为 ，设 的斜率分别为 ，则根据第1小问的解析，知 都是关于
的方程 即 的根.
故 ， .
由于 均过点P(x ,y )，故其方程分别为 和 .
0 0
在 中令 ，得 ，从而得到 ，同理
.所以 .
由 ，可设 ，则 ，进而得到
.
所以
（这里使用了不等式 ）
.
另一方面，当 时， 的斜率分别是 ，可求得 ， .
从而此时 ，故 .
综上， 的面积的最小值是 .
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的
直线 与圆 ： 相切.
(1)求 的方程；
(2)设 ，过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，试求 面积的取值
范围.
【解析】（1）由题意得，抛物线 的焦点 ，则直线 ： ，
圆 的圆心为 ，半径 ，则 ，解得 或 （舍去），
∴抛物线 的方程为 .
（2）设 ，对于函数 ，求导得 ，
∴切线 的斜率为 ，
∴切线 的方程为 ，
即 ，即 ，
同理可得切线 的方程为 ，
又点 在两切线上，∴ ，
∴直线 的方程为 .
联立 ，得 ，
∴
且 ，
点 到直线 的距离 ，
.
∴
∵ ，∴ ，∴
即 面积的取值范围是 .题型五：外接圆问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·二模）已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C
上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直
线AB的方程为 ．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 经过点 ，且与（1）的抛物线C交于A，B两点， ，若 ，
求 的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线
两两相交于M，N，P，求证： 的外接圆过焦点F．
【解析】（1）若同时满足①②：由 ，可得AB过焦点 ，
当 时， 而 ，所以①②不同时成立
若同时满足①③由① ，可得AB过焦点 ，
因为直线AB的方程为 ，不可能过焦点 ，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为② ；
且直线AB的方程为 ，所以 ，解得 ．
所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）如图：
设直线AB的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ．因为 ，直线AN，BN的斜率之和为0，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ．
（3）设过点A，B，E的三条切线分别为 ，倾斜角分别为 ，
令 ，
由 得： ：
所以 ： ； ： ； ： .
联立 直线方程可得
联立 直线方程可得
又 ，
所以 .
所以： 四点共圆，即 的外接圆过焦点F．【典例5-2】已知抛物线C： ，直线l： 交 于 ， 两点，当 ，
时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)分别过点 ， 作抛物线 的切线，两条切线交于点 ，且 ， 分别交 轴于 ， 两点，证明：
的外接圆过定点．
【解析】（1）
当 ， 时，直线 ，联立 得 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 ；
（2）
设A(x ,y )，B(x ,y )，因为 ，所以 ， ， ，
1 1 2 2
联立 并整理得 ，由韦达定理得 ， ，
由 得 ，从而 ，
所以直线 即 ，令 得 ，所以
同理直线 ，令 得 ，所以
联立 、 ： 得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 的外接圆圆心 落在直线 上，由 ， 知线段 中点 ， ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
联立 得 ，
所以外接圆圆心 坐标为 ，
所以 ，
所以圆的方程为 ，
即 ，
令 得 ，所以 的外接圆过定点(0,2).
【变式5-1】已知抛物线 ： ，焦点为 ，过 作 轴的垂线 ，点 在 轴下方，过点 作抛物
线 的两条切线 ， ， ， 分别交 轴于 ， 两点， ， 分别交 于 ， 两点．
(1)若 ， 与抛物线 相切于 ， 两点，求点 的坐标；
(2)证明： 的外接圆过定点；
(3)求 面积 的最小值．
【解析】（1）∵ ， 与抛物线 相切于 ， 两点，
设 在左侧，则 ， ，
由 得 ，所以 ，
所以 的斜率为 ， 的斜率为 ，
此时 方程： ，即 ．
方程： ，即 ，联立 得 ；（2）设过 的两条切线分别与抛物线切于 ， ，
由（1）知直线 的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 ，
直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，即 ，
所以 且 ， ，
设 外接圆的圆心为 ，则 在 的垂直平分线上，而 的中点为 ，所以
，
设 外接圆方程为： 过 ，所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
令 即 ，所以 的外接圆过定点 ；
（3） ： ，所以 ， ，所以 ，
到 的距离为 ，所以 ，
设 ， ， ，由 ，
，当且仅当 时等号成立．
所以 ，
令 ， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，所以 面积 的最小值 .
【变式5-2】设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点
分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线
相交于点 . 求证：
(1)直线 AB经过点 ;
(2) 的外接圆过定点.
【解析】（1）由题意知 ，抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，点 ，则 ，
得直线 的方程为 ，且 ，化简得 ①.
同理可得，切线 的方程为 ②.
又因为切线 过点 ，所以有 ；同理可得 .
所以直线 的方程为 ，故直线 经过点 .
（2）设点 ，由（1）可知曲线在点 处的切线方程为 .
联立方程组，得 且 ， ，解得 ，即 ，同理解得 ，
由（1），设过点P的切线方程为 ，
，消去y，得 ， ，得 ，
记关于 的一元二次方程 的两根为 ，其中 分别为切线PA、PB的斜率，
则 ，所以 ，故线段 即为 的外接圆的直径.
设直线AB方程为 ，由 ，消去 可得 ，
则 ，
因为 ，
所以
将 代入上式，可得 ，
所以 的外接圆过定点 .
题型六：最值问题
【典例6-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，直
线 ： 与 相离．若 到直线 的距离为 ，且 的最小值为 ．过 上两点 分别
作 的两条切线，若这两条切线的交点 恰好在直线 上．
（1）求 的方程；
（2）设线段 中点的纵坐标为 ，求证：当 取得最小值时， ．
p
【解析】（1）由题意，得F(0, )，且 的最小值等于点 到直线 的距离，
2即 ，解得 （负值舍去），
∴抛物线 的方程为 ．
（2）由 ，得 ，故 ，设 ， ，
则切线方程分别为 ， ，
设两切线的交点为 ，
代入切线方程并整理可得： ， ，
即 ， 是方程 的实数根．
则 ， ，
则线段 中点纵坐标为
，
∴当 时， 取最小值 ．
此时， ， ， ， ，
则
．
∴ ．
解法二：（同解法一）
∴当 时， 取最小值 ．
此时， ，由 得 ，
故 ，
∴ ．
【典例6-2】如图已知 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
，与 轴分别交于 .（1）求证：直线 过定点，并求出该定点；
（2）设直线 与 轴相交于点 ，记 两点到直线 的距离分别为 ；求当 取最大值时
的面积.
【解析】（1）设过点 与抛物线相切的直线方程为： ，
由 ，得 ，
因为相切，所以 ，即 得 ，
设 是该方程的两根，由韦达定理得： ，
分别表示切线 斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点 ，
所以 ，
所以直线 为： ，得 ，
直线 方程为： ，
所以 过定点 .
（2）由（1）知 ，
由（1）知点 坐标为 ， ，所以直线 方程为： ，
即： ，所以 ，
分居直线两侧可得，
所以
，
∴
∴当且仅当 等号成立，
又由 ，令 得： ，
.
【变式6-1】在直角坐标系 中，已知抛物线 ， 为直线 上的动点，过点 作
抛物线 的两条切线，切点分别为 ，当 在 轴上时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
【解析】（1）当 在 轴上时，即 ，由题意不妨设 则 ，
设过点 的切线方程为 ，与 联立得 ，
由直线和抛物线相切可得 ， ，所以
由 得 ，∴ ， ，
由 可得 ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 ；
（2） ，∴ ，
设 ， ，则 ，又 ，所以
即 ，同理可得 ，
又 为直线 上的动点，设 ，
则 ， ，
由两点确定一条直线可得 的方程为 ，即 ，∴直线 恒过定点 ，
∴点 到直线 距离的最大值为 .
【变式6-2】从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，
平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活
中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经
过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
【解析】（1）由题设，令 ， ，根据抛物线性质知：直线 必过焦点 ，
所以 ，则 ，整理得 ， ，则 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）由题意， ，且 ， ， ，
所以 ，而 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
综上， ，
又 ， ，若 ，则 ，
由 ，当 ，即 时 ，无最大值，
所以 ，即 ，故 ， ，
令 ，则 ，
令 ， 在 上恒成立，即 递减，所以 .
题型七：角度相等问题
【典例7-1】（2024·广西·二模）已知抛物线 ，过点 作直线交抛物线C于A，B两点，过
A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明： ．
【解析】（1）证明：设 ， ，则 ，
直线 的方程为 ，即 ，
又因为直线 过点 ，所以 ，即 ，
设直线 的方程为 ，与抛物线方程 联立，解得 或 ，
又因为直线 与抛物线相切，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
同理直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，故点P在直线 上．
（2）证明：∵ ， ，
注意到两角都在 内，可知要证 ．即证 .
而 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，同理 ，
即有 ，故 ．
【典例7-2】如图所示，设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线l： 上运动，过P作抛
物线C的两条切线 ， ，切点分别为A，B，求证： .【解析】证明：设切A、B的坐标分别为 和 （ ）.
可得切线 的方程为 ；切线 的方程为 ，
解得点P的坐标为 ， .
则 ， ， .
由于点P在抛物线外，即 .
.
∴
同理有 ，
所以
综上可知： .
【变式7-1】已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点 且垂直于椭圆长轴，动
直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1） ， ，
椭圆半焦距长为 ， ， ，
，
动点 到定直线 与定点 的距离相等，
动点 的轨迹是以定直线 为准线，定点 为焦点的抛物线，
轨迹 的方程是 ；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设 ，
，
，则 ，
切线 的方程为：
同理，切线 的方程为：
联立方程组可解得 的坐标为 ，
在抛物线外，
， ，
同理
【变式7-2】（2024·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物线
交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线
于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．【解析】（1）由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，
代入抛物线方程可得2p=1，
所以抛物线的方程为x2=y，
设 ， ，
所以 ，
所以直线AB的方程为 ，
即 ，
因为直线AB过点C(0，2)，
所以 ，所以 ①.
因为 ，所以直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，
直线PA的方程为 ，
即 ，
同理直线PB的方程为 ，
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2） ， ，
注意到两角都在 内，
可知要证 ， 即证 ，
， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
同理 式得证.1．过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 为抛物线的阿基米德三角形，
弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三
角形面积的三分之二．如图，点 是圆 上的动点， 是抛物线 的
阿基米德三角形， 是抛物线 的焦点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设 是“圆边形”的抛物线弧 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 交阿基米
德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： ．
【解析】（1）由题意得， ，
由 ，
所以
（2）设 ，
联立 ， ，
设方程的两根为 ，则 ，
由 ，所以 ，联立直线 可得 ，
代入 方程中，得 ，即 ，
故 的面积 .
因为 在圆 上，所以 且 ，
于是 ，
显然此式在 上单调递增，故 ，
也即 ，因此 ，
由题干知“囧边形”面积 ，所以“囧边形”面积的取值范围为 .
（3）由（2）知， ,
设 ，过 的切线 ，即 ，
过 点切线交 得 ，同理 ，
因为 ，
.
所以 ，即 .
2．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为
阿基米德三角形
对于抛物线 给出如下三个条件：①焦点为 ②准线为 ③与直线 相交所得弦长为 ．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线 的方程
(2)已知 是 中抛物线的 阿基米德三角形 ，点 是抛物线 在弦 两端点处的两条切线的交点，
若直线 经过点 ，试判断点 是否在一条定直线上 如果是，求出定直线方程 如果不是，请说明理
由．
【解析】（1） 即为 ，
若选①， 抛物线方程为 ，
选②，由准线为 知， ，解得 ，所以抛物线方程为 .
选③， 代入 ，解得 ，所以弦长为 ，解得 ，
所以抛物线方程为 .
（2）令 ， ， ，则 ， ,
， ,
即为 ，
又 即 ，
同理， ，
，
而 过点 即
点 在直线 上
3．在平面直角坐标系 中，圆 ： 外的点 在 轴的上半部分运动，且 到圆 上的点的
最小距离等于它到 轴的距离.
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）若从点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 恒过定点.
【解析】（1）设 ，依题意 ， .
因为 在圆 外，所以 到 上点的最小距离为 ，
依题意得 ，即 ，
化简得 点的轨迹方程为 （ ）（2）已知直线 的斜率一定存在.
不妨设直线 的方程为 .
联立 ，整理得 ，其中 ，
设 ， ，则 ， .
①
由抛物线的方程可得： ，∴ .
∴过 的抛物线的切线方程为 ，
又 代入整理得： .
切线过 ，代入整理得：
同理可得 .
∴ ， 为方程 的两个根，
∴ ， .
②
联立①②，得 ， .
则直线 的方程为 ，直线 恒过定点 .
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知曲线 上的任意一点 到点 的距离比到直线 的距离少
1，动点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线 ，其中 为切点.
（1）求曲线 的方程；
（2）判断直线 是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.
【解析】（1） 曲线 上的任意一点 到点 的距离比到直线 的距离少1
得动点 到点 的距离与到直线 ： 的距离相等
又 由抛物线的定义可知，曲线 为抛物线，焦点为 ，准线为 ：
曲线 的方程为
（2）设点 ， ，
由 ，即 ，
得 .抛物线 在点 处的切线 的方程为
即 .
，
，
点 在切线 上，
①，
同理 ②
综合①、②得，点 ， 的坐标都满足方程
即直线 ： 恒过抛物线焦点
5．已知曲线 上的动点 满足到点 的距离比到直线 的距离小
．
（1）求曲线 的方程；
（2）动点 在直线 上，过点 分别作曲线 的切线 、 ，切点为 、 ．
（ⅰ）求证：直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线 上是否存在一点 ，使得 为等边三角形（ 点也在直线 上）？若存在,求出点 坐
标,若不存在,请说明理由
【解析】（1）因为 到点 的距离与到直线 的距离相等，故 的轨迹为抛物线且方
程为 .
（2）（ⅰ）设点 ，则 ，
则曲线 在 处的切线方程为： 即 ，
同理，曲线 在 处的切线方程为： ，
由 得到 ，因 在直线 上，所以 即 ，又 ，整理得到 ，
故直线 恒过 .
（ⅱ）设直线 ，由 得到 ，故 中点的横坐标为 ，纵坐标为
， ，
设 的中点为 ， 的中垂线与 的交点为 ，则 ， ，
当 时， ，
故 时， ，也满足上式，
因为 为等边三角形，故 ，
即 ，
解得 ，故 ，
当 时， ，令 ，故得 ，故 ，
同理当 时， ，
综上， .
6．已知动点P在x轴及其上方，且点P到点 的距离比到x轴的距离大1.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线 上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试
证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.
【解析】（1）设点 ，则 ，即
化简得
.
∵∴点 ∴的轨迹方程为 .
（2）对函数 求导数 .
设切点 ，则过该切点的切线的斜率为 ，
∴切线方程为 .即 ，
设点 ，由于切线经过点Q，
∴
设 ，则两切线方程是 ， ，
所以过 两点的直线方程是 ，
即
∴当 ， 时，方程 恒成立.
∴对任意实数t，直线 恒过定点 .
7．（2024·高三·全国·课后作业）设 为抛物线 ： 上的两个动点，过 分别作抛物线 的切
线 ，与 轴分别交于 两点，且 与 相交于点 ，若 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）求证： 的面积为一个定值，并求出这个定值．
【解析】（1）设 ， ， ，
， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
所以 ，得 ，
则 ，即 ，
同理可得 ，
在 中，令 ，得 ，依题意可得 ，所以 ，则 ，
同理可得 ，
因为 ，所以 ，联立 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
所以点 的轨迹方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 ．
联立 ,消去 ，并整理得 ，
所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，
，
所以 ，
即 的面积为定值2．
8．如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧
AB上动点P(x，y)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l，l，
0 0 1 2
l 与l 相交于点M.
1 2
(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
【解析】（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.
（2）由（1）知抛物线E：y2＝2x，
设C ，D ，y≠0，y≠0.切线l 的斜率为k，则切线l：y－y＝k ，
1 2 1 1 1代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y－ ＝0，
1
由Δ＝0，解得k＝ ，∴l 的方程为y＝ x＋ ，
1
同理l 的方程为y＝ x＋ .
2
联立 解得
易知CD的方程为xx＋yy＝8，
0 0
其中x，y 满足 ＝8，x [2，2 ]，
0 0 0
∈
由 得xy2＋2yy－16＝0，
0 0
则 代入
可得M(x，y)满足 可得
代入 ＝8，并化简，得 －y2＝1.
考虑到x [2，2 ]，知x [－4，－2 ]，
0
∈ ∈
∴动点M的轨迹方程为 －y2＝1，x [－4，－2 ]．
∈
9．（2024·高三·陕西咸阳·期末）如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于不同两点 ，
为拋物线上任意一点（与 不重合），直线 分别交抛物线的准线 于点 .（Ⅰ）写出焦点 的坐标和准线 的方程；
（Ⅱ）求证： .
【解析】（I）由抛物线方程知：焦点 ，准线 为：
（II）设直线 的方程为：
令 ， ，
由 消去 得： ，则 .
直线 方程为：
即
当 时，
同理得：
，10．（2024·江苏·模拟预测）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .
【解析】（1）由题意知： ，
则焦点 到直线 的距离为： ，
所以抛物线的方程为： ；
（2）证明：
把直线 代入 消 得： ，
又 ，
利用韦达定理得 ，
由题意设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ，
由（1）可得： ，
则 ，
所以 ，
则切线 的方程为： ，切线 的方程为： ，
则 ，
利用韦达定理化简整理得： ，
把 代入 整理得：，
则 ，
，
则
11．设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)若 ，求 的方程．
(2)以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
【解析】（1）由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，所以 ， ．
因为 ，
由题设知 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ．
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ．同理，过 的切线方程为 ，
联立方程组可得 ， ，
所以交点 在定直线 上．
当 时， 显然成立；
当 时， ，则 ，所以 ．
综上所述， ．
12．已知抛物线C： （ ）的准线方程为 ．动点P在 上，过P作抛物线
C的两条切线，切点为M，N．(1)求抛物线C的方程：
(2)当 面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【解析】（1）因为准线方程为 ，所以 ，解得 ，
抛物线C的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ，
对 求导可得 ，
故过M的切线方程为 ，即 ，
故 ，
故MP： ，
同理可得NP： ，
因为两切线均经过 ，
所以
， 均在直线 上，
可知MN： ，当 得， ，解得 ，
则MN与y轴的交点坐标为 ．
联立 ，整理得 ，
由韦达定理， ， ，
则 ，
又因为 在圆 ，则 ，
代入可得 ，
，
因为 ，所以 ， ．
构造 ， ， ，
易知 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值，此时 取到最大值 ，点P的坐标为 ．13．已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交于
点 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，抛物线 的焦点为 ，
由双曲线 可得 ，
即可得 ，解得 ，
所以 的方程为
（2）如图所示，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以
由 ，可得 ，则 ，
所以抛物线 的过点 的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线 的过点 的切线方程为 ，
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积
，
当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
14．（2024·河南·三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆 经过
抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设 的方程为 ，
因为圆 经过抛物线 的焦点 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）如图所示，
设 ，则 ，联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以 .由 ，可得 ，则 ，所以抛物线 的过点A的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线 的过点 的切线方程为
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
15．（2024·云南·二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：
经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求
面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设抛物线C的方程为 ，
p
因为直线 经过抛物线C的焦点F(0, )，
2
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）设 ､ ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为 ，且 ， ，
所以 ，由 ，可得 ，则 ，
所以抛物线 经过点 的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
因为 ，所以 ，
即当 时， ，所以 面积的最小值为 .
16．（2024·高三·浙江嘉兴·期末）已知抛物线 上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距
离大 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线
上，求三角形ABP面积的最大值.【解析】（1）根据题意，抛物线 上的任意一点到焦点的距离与到直线 的距离相等，由抛物线的
定义可知： ， ，抛物线C的方程为 .
（2）设动点 ，切点 ， .
设过A的切线PA方程为 ，与抛物线方程联立 ，
消去x整理得 ， ，所以 ，
所以切线PA方程为 ，同理可得切线PB方程为 ，
联立解得两切线的交点 ，所以有 .
因为 ，
又G在定直线 ，所以有 ，即P的轨迹为 ，
因为P在抛物线外，所以 .
如图，取AB中点Q，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以当 时，
.
