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重难点突破 02 圆锥曲线中的定点、定值问
题
1．已知椭圆 过点 ；过原点且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交
于 ， 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）记椭圆 的右焦点为 ，分别延长 ， 交椭圆 于 ， 两点，探究：直
线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为 ， ， ， ，
椭圆 过点；可得 ，解得 ， ，
椭圆 的标准方程为： ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
由 ，可得： ，
△ ， ， ，
设直线 的方程为 ，其中 ， ， ，
由 ，可得： ，
△ ， ， ，设直线 的方程为 ，其中 ， ， ，
由 ，可得： ，
△ ， ， ，
， ，
，
，
则 ，
即 ，
，
整理得 ，又 ， ，
直线 的方程为 ，过定点 ， ．
2．如图，过顶点在原点、对称轴为 轴的抛物线 上的点 作斜率分别为 ， 的
直线，分别交抛物线 于 ， 两点．
（1）求抛物线 的标准方程和准线方程；（2）若 ，证明：直线 恒过定点．
【解答】（1）解：设抛物线的方程为 ，则
代入 ，可得 ，
抛物线 的标准方程为 ，准线方程为 ；
（2）证明：设 ， ， ， ，则直线 方程 ，
方程 ，
联立直线 方程与抛物线方程，消去 ，得 ，
①
同理 ②
而 直线方程为 ，③
，
由①②③，整理得 ．
由 且 ，得 ， ，故直线 经过定点 ．
3．平面直角坐标系 中， 是不在 轴上一个动点，满足条件：过 可作抛物线的两条切线，两切点连线 与 垂直，设直线 与 ， 轴的交点分别为 ，
．
（1）证明： 是一个定点；
（2）求 的最小值．
【解答】（1）证明：设以 ， 为切点的切线方程为 ，
联立抛物线方程，可得 ，
由△ ，
得 ，所以切线
同理以 ， 为切点的切线方程为 ，
设 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，
两切点连线 与 垂直，
，
，
直线 的方程为 ，为定点；
（2）解：直线 的方程为 ，代入直线 的方程，求得 ， ，
，
，
如图，由对称性，不妨取 ，则 ， 求 的最小值为 ．
4．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线上一点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 为坐标原点），则直线 是否会
过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的定义知 ， ，
抛物线 的方程为： ．
（2）设 的方程为： ，代入 有 ，设 ， ， ， ，则 ，
，
，
，
的方程为： ，恒过点 ．
5．已知椭圆 ，右焦点 的坐标为 ，且点 在椭圆 上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；
（Ⅱ）过点 的直线交椭圆于 ， 两点（直线不与 轴垂直），已知点 与点 关于
轴对称，证明：直线 恒过定点，并求出此定点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得 ，
解得 ，
椭圆 的标准方程 ，
椭圆 的离心率 ．
（Ⅱ）设 ， ， ， ，则 ， ，
可设 的直线方程为
联立方程 ，整理得 ，，
， ，
整理得， ，
，解得 ，
的直线方程为： ，
直线 恒过定点 ．
6．已知两定点 ， ，过动点 的两直线 和 的斜率之积为 ．设动点
的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 ，过 的直线 交曲线 于 、 两点（不与 、 重合）．设直线
与 的斜率分别为 ， ，证明 为定值．
【解答】解：（1）不妨设点 ，
因为过动点 的两直线 和 的斜率之积为 ，
所以 ，
整理得 ；
（2）证明：不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，由韦达定理得 ， ，
则
综上， 为定值2．
7．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的上顶点为 ，过 的两条直线 ， 分别与 交于异于点 的 ， 两
点，若直线 ， 的斜率之和为 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出该定点；若
不是，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，①
因为点 在椭圆 上，
所以 ，②
又 ，③
联立①②③，解得 ， ， ，
则椭圆 的方程为 ；
（2）易知直线 的斜率存在，不妨设直线 的方程为 ， ， ， ，
又 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
所以
，
所以 ，
此时直线 的方程为 ，
故直线 恒过定点 ．
8．已知椭圆 的离心率 ，且椭圆 经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且斜率不为零的直线与椭圆 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为
，求证：直线 与 轴交于定点 ．【解答】解：（1）由题意可得： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： ；
证明：（2）设点 ， ， ， ，则 ， ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
则 ， ，△ ，得 ，
由题意，直线 的方程为 ，
令 ，所以点 的横坐标 ．
所以直线 与 轴交于定点 ．
9．已知 为椭圆 上一点，点 与椭圆 的两个焦点构成的三
角形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）不经过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若直线 与 斜率的乘积为 ，
证明：直线 必过定点，并求出这个定点坐标．
【解答】解：（1）易知 为椭圆 上一点，若点 与椭圆 的两个焦点构成的三角形面积为 ，
此时 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明：不妨设 ， ， ， ，
当直线 不平行与 轴时，不妨设直线 的方程为 ，
因为直线 不经过点 ，
所以 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
又韦达定理得 ， ，①
而 ， ，
因为直线 与 斜率的乘积为 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，②
联立①②，可得 ，因为 ，
所以 ，
此时直线 的方程为 ，
则直线 经过定点 ；
当直线 平行于 轴时，
此时 ， ，
不妨设 ，
因为 ，
又 ， 两点都在椭圆 上，
解得 ， ，
此时直线 的方程为 ，
则直线 经过定点 ，
综上，直线 必过定点 ．
10．已知以 为焦点的抛物线 的顶点为原点，点 是抛物线 的准线上任意一点，
过点 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点，设直线 、 的斜率分
别为 、 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若点 的纵坐标为1，计算 的值；
（3）求证：直线 过定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）已知以 为焦点的抛物线 的顶点为原点，
不妨设抛物线 的方程为 ，
此时 ，
解得 ，
则抛物线 的标准方程为 ；
（2）由（1）知抛物线 的准线方程为 ，
因为点 是抛物线 的准线上任意一点，
若点 的纵坐标为1，
此时 ，
不妨设切线方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为 ，
则△ ，
此时 ，
因为 ， 是关于 的二次方程 的两根，
所以 ；（3）证明：不妨设 ， ， ， ，
下证抛物线上点 的切线方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
可得 ，
即 ，
解得 ，
同理得，抛物线上点 的切线方程为 ，
不妨设 ，
此时 ，
即 ，
所以 ， 两点满足方程 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，
解得 ， ，
则直线 过定点 ．
11．已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线 的方程及其准线方程；
（2）设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为0的直线 交抛物线 于 、 两点，直线 分别交直线 ， 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过定点．
【解答】解：（1）因为已知抛物线 经过点 ，
所以 ，
解得 ，
则抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ；
（2）证明：由（1）知抛物线 的焦点为 ，
不妨设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
不妨设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ，
易知直线 的方程为 ，
不妨 ，
解得 ，
同理 ，
若以 为直径的圆经过定点，
此时以 为直径的圆与 轴一定有交点，
所以定点在 轴上，
不妨设 ，此时
，
不妨令 ，
解得 或 ，
综上，以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 ．
12．已知：平面内的动点 到定点为 和定直线 距离之比为 ，
（1）求动点 的轨迹曲线 的方程；
（2）若直线 与曲线 的交点为 ， ，点 ，
当满足a_____时，求证：b_____．
① ；
② ；
③直线 过定点，并求定点的坐标．
④直线 的斜率是定值，并求出定值．
请在①②里选择一个填在 处，在③④里选择一个填在 处，构成一个命题，在答题卡上
陈述你的命题，并证明你的命题．
【解答】解：（1）不妨设 ，点 到 的距离为 ，
因为平面内的动点 到定点为 和定直线 距离之比为 ，
所以 ，
整理得 ，
整理得 ，则曲线 的方程为 ；
（2）证明：若选①③，
不妨设 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
因为 ，
所以 ，
此时 ，
即 ，
整理得 ，
当 时，直线过点 ，不符合题意，舍去；
当 ，直线过点 ；
若选②④，
不妨设 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
因为 ，所以 ，
此时 ，
即 ，
整理得 ，
解得 ．
13．已知双曲线 的左右顶点分别为点 ， ，其中 ，且
双曲线过点 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线分别交 的左、右支于 ， 两点，过点 作垂直于 轴的直线
，交线段 于点 ，点 满足 ．证明：直线 过定点，并求出该定点．
【解答】解：（1）由 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 ，
故双曲线 的方程为： ．
（2）证明：如图，由 ， ，则 方程为 ，
设直线 方程为： ， ， ， ， ，
则 ，则 ， ，
由 ，则 ， ，
则 ，
，
联立 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
故 过定点 ．14．已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，
过点 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，再过点 作斜率为 的直线交
椭圆 于点 ，问直线 与直线 的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，
请说明理由．
【解答】解：（1）由题意令 ，代入得 ，
所以 解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： ；
（2）由题意，直线 的斜率显然存在且不为0，
不妨设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程 ，得 ，
设 ， ， ， ， ， ，
当△ ，即 时，有 ， ，
则 的方程为 ，①
与椭圆 联立得 ，
则 ，所以 ，
代入①得 ，代入 ， 得 ，
直线 的方程为： ，
与 联立，得： ，
因为 ，
，
所以 ，
所以 ， ，
故直线 与直线 交于定点 ．
15．抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与抛物线 交于 ， 两点，
当 垂直于 轴时 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 ，直线 ， 与抛物线 的交点分别为 ， ；探究直线 是否
过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1） ，当 轴时， ，
根据抛物线的定义可得 ，解得 ，
抛物线 的方程： ；
（2）设 ， ， ， ，
直线 方程为： 即 ，
直线 过点 ，
，
同理，直线 ，即 ，
直线 过点 ， ，同理可得 ，
， ，
直线 的方程为： ，
，
当 时， ，直线 恒过定点 ．
