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专题 8.2 圆的方程
目录
题型一： 圆的方程...........................................................................................................................3
题型二： 与圆有关的轨迹问题.......................................................................................................6
题型三： 与圆有关的最值问题.......................................................................................................8
知识点总结
知识点一、圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为
圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为 ( a ， b ) ，半径为r 的圆的标准
方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形.
知识点二、点与圆的位置关系
已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x，y)，设d＝|PC|＝.
0 0
位置 d与r的 图示 点P的坐标满足条件关系 大小关系
点在
d＞r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＞ r 2
0 0
圆外
点在
d ＝ r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0
圆上
点在
d ＜ r (x－a)2＋(y－b)2＜r2
0 0
圆内
【常用结论与知识拓展】
1．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
(x－a)2＋(y－b)2
过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
＝a2＋b2
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝02.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
3．圆的“直径式”方程：以A(x ，y)，B(x ，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋
1 1 2 2 1 2
(y－y)(y－y)＝0.
1 2
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数. 可用来设圆上
的点的坐标．
例题精讲
题型一：圆的方程
【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可
而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的
“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过
切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两
条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主
要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三
角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或
D，E，F.
【例1】若圆 的半径为2，则实数 的值为
A． B． C．9 D．8
【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆的一条直径的端点分别为 ， ，则此圆的标准方程是
A． B．
C． D．【解答】解：因为圆的一条直径的端点分别为 ， ，
所以圆的圆心 ， ，
则此圆的标准方程是 ．
故选： ．
【变式训练2】若圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆
的方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：圆 经过点 ， ，
可得线段 的中点为 ，又 ，
所以线段 的中垂线的方程为 ，
即 ．
由 ，解得 ，
即 ，圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 ．
故选： ．
【变式训练3】若方程 表示圆，则 的范围是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解：根据题意，若方程 表示圆，则有 ，即 ，解可得 ，即 的取值范围为 ，
故选： ．
【变式训练4】经过点 ，且以 为圆心的圆的一般方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得，圆的半径 ，
所以圆的标准方程为 ，
所以圆的一般方程为 ．
故选： ．
【变式训练5】若方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由 得 ，解得 ．
故选： ．
【例2】圆 的圆心和半径分别是
A． ，3 B． ，3 C． ，1 D． ，1
【解答】解：将圆 化成标准方程，得 ，
圆心坐标为 ， ．
故选： ．
【变式训练1】设 ， ，则以线段 为直径的圆的方程是
A． B． C． D．【解答】解：由题设，所求圆的圆心为 ，半径为 ，
所以以线段 为直径的圆的方程是 ．
故选： ．
题型二：与圆有关的轨迹问题
【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法
直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：
利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”．
【例3】已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，则
线段 的中点 的轨迹方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ，则由中点坐标公式可得 ，
将 代入 中得 ．
故选： ．
【变式训练1】圆 关于直线 对称的图形轨迹方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：化圆 为标准方程，得 ，
已知圆的圆心为 ，半径 ．
所求的圆与圆 关于直线 对称，所求圆的半径也等于2，圆心为 满足 与 关于直线 对称，
由 ，解出 ， ，得 ，
所求圆的方程为 ．
故选： ．
【变式训练2】点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹
方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设点 的坐标为 ，
，线段 的中点为 ，
，
又点 在圆 上，
，
即 ．
故选： ．
【例4】已知等腰三角形 的一个顶点为 ，底边的一个端点为 ，求底边的
另一个端点 的轨迹方程，并说明它是什么图形．
【解答】解：由题可知， ，
又因为三角形 为等腰三角形，所以 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
所以点 的轨迹方程为 ， 且 ，
故轨迹为圆（去掉与 在同一直线上的点）．
【变式训练1】在平面内， ， ， 为动点，若 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， ，求 的长．
【解答】解：（1）设 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ．
（2）由（1）可知点 的轨迹为以 为圆心，3为半径的圆，
若曲线 截直线 所得的弦长最小，则圆心 到直线 的距离最大，
又圆心 到直线 的距离为 ，
所以由弦长公式可得弦长为 ．
题型三：与圆有关的最值问题
【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为d
max
＝|OP|＋r，d ＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值
min
分别为d ＝m＋r，d ＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
max min
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最
值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍的最值
问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之
和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【例5】已知点 ，若过点 的直线 与圆 交于 、 两点，
则 的最大值为
A．12 B． C．10 D．6
【解答】解：设 中点 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 的最大值为12．
故选： ．
【变式训练1】若直线 始终平分圆 的周长，则的最小值为
A． B．5 C． D．10
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得： ，
圆心 坐标为 ，半径 ，
直线 始终平分圆 的周长，
直线 过圆 的圆心 ，
把 代入直线 得：
，即 ，
到直线 的距离 ，
的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练2】直线 被曲线 截得的弦长的最小值为
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由 ，可得直线过定点 ，
把圆的方程化为标准方程可得 ，所以圆心 为 ，半径为 ，
因此当圆心 与 连线垂直于直线 时，
直线 被曲线 截得的弦长最小，
此时最小值为 ．
故选： ．【变式训练3】已 知 点 是 圆 上 的 动 点 ， 线 段 是 圆
的一条动弦，且 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为2，
如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
所以 为 中点，即 ，又 ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
则点 的轨迹方程为 ，
因为 是 中点，所以 ，
则 ，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练4】 点是圆 上任意一点， 为圆 的弦，
且 ， 为 的中点．则 的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，可得 ，解得 ，
所以点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
由图可知 的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练5】已知圆 ，则当圆 的面积最小时，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
A． B．6 C． D．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 圆 ， 变 形 可 得
，
其圆心为 ，半径为 ，则 ，
当圆 的面积最小时，必有 ，此时 ，
圆 的方程为 ，
圆心 到原点为距离 ，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ，
故选： ．
【例6】已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值是
A． B． C．0 D．
【解答】解： 的方程 可化为 ，
它表示圆心 ，半径为1的圆，
表示圆上的点与点 的连线的斜率 ，
设过圆上点与点 的直线方程为 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
可得 ，即最大值为 ，
故选： ．
【变式训练1】已知圆 ，点 在圆 上，点 ， 为 的中
点， 为坐标原点，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知圆 的方程为 ，设 ， ， ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
化简可得 的轨迹方程为 ．如图所示，
如图当 与圆 相切时， 取得最大值，
此时 ， ，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练2】已知圆 ，点 是圆 上的一点，过
作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知四边形 的面积 ，
所以当 取得最小值时，四边形 的面积取得最小值．
又 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练3】已知直线 ，若直线 与圆 交于 ， 两点，则 的最小值为
A． B．2 C． D．4
【解答】解：直线 ，即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为 ，
所以点 在圆 内，
则圆心 到直线 的距离 时取等号），
所以 时取等号），
所以 的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练4】已知圆 ，直线 与相交于 ，
两点，则 的最小值为
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：直线 可化为 ，
令 ，即 ，
即直线 过点 ，
又 ，
则 ，
由圆的性质可得：当 时， 取最小值，
则 ．
故选： ．
【例7】过点 引直线 与圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 面
积取最大值时，直线 的斜率为
A． B． C． D．
【解答】解：当 面积取最大值时， ， 圆 与直线 相交于 ，
两点，
为坐标原点， 圆心 ，半径 ， ， ，
圆心 到直线直线 的距离为1，
当直线 的斜率不存在时，直线的方程为 ，不合题意；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
圆心 到直线的距离 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 的一条直径的两个端点为 和 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，求 的最小值，并求出当 最小
时直线 的方程．
【解答】解：（1）由题意可知圆 的圆心为 ，半径为 ，
因此圆 的方程为 ；
（2）易知当 时 最小，
因为
所以 的斜率为2，
因为直线过点 ，所以 的方程为 ，
即 的方程为 ，
．
【变式训练2】已知直线 与圆 相交于 ， 不同
两点．
（1）求 的范围；
（2）设 是圆 上的一动点（异于 ， ， 为坐标原点，若 ，求
面积的最大值．
【解答】解：（1） 直线 与圆 交于两点，，
解得 ；
（2）设 ， ， ， ，
将 代入方程 ，
整理得 ，
， ，
则有 ，
解得 ，由（1）知 ，
所以直线 的方程为 ，
可知圆心 在直线 上，
是圆 的直径，且 ，
是圆 上的一动点（异于 ， ，
到直线 的最大距离即为半径为1，
面积的最大值为 ．
