文档文本内容
专题 8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判断...............................................................................................................4
题型二： 已知位置关系求参数的值(范围)....................................................................................4
题型三： 圆的切线...........................................................................................................................6
题型四： 弦长问题...........................................................................................................................7
题型五： 圆与圆的位置关系...........................................................................................................8
题型六： 两圆的公共弦.................................................................................................................10
知识点总结
知识点一、直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 公共点 几何
直线、圆的方程组成
图示
的方程组的解
关系 个数 特征
相离 0 d > r 无实数解
相切 1 d＝r 两组相同实数解
相交 2 d < r 两组不同实数解
知识点二、圆与圆的位置关系位置 图示 公共点 公切线 几何特征
两个圆的方程组
成的方程组的解
关系 (R>r) 个数 条数 (OO＝d)
1 2
外离 0 4 d > R ＋ r 无实数解
两组相同
外切 1 3 d ＝ R ＋ r
实数解
R－r< 两组不同
相交 2 2
d<R＋r 实数解
两组相同
内切 1 1 d ＝ R － r
实数解
内含 0 0 d < R － r 无实数解
【常用结论与知识拓展】
与切线、切点弦有关结论
(1)已知
⊙O：x2＋y2＝r2；
1
⊙O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
2⊙O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
3
①若点M(x，y)在圆上，则过M的切线方程分别为xx＋yy＝r2；
0 0 0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
②若点M(x ，y)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M ，M ，则切点弦(两切点的连
0 0 1 2
线段)所在直线的方程分别为xx＋yy＝r2；
0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±r.
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x ，y)引圆的切线，T为切点，切线长公式为|MT|
0 0
＝.
例题精讲
题型一：位置关系的判断
【要点讲解】判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系. ②代数
法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断. ③点与圆的位置关系法：若直线恒
过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相
交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
【例1】若直线 与圆 相切，则
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式训练1】已知圆 ，直线 经过点 ，则直线 被圆 截得的最短弦长为
A． B． C． D．
【变式训练2】设 ，则直线 与圆 的位置关系为
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【变式训练3】直线 与圆 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【变式训练4】已知直线 ，圆 ．则“ ”是“ 与
相切”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：已知位置关系求参数的值(范围)
【要点讲解】(1)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化
为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式(组)进行求解.
(2)解决直线与“局部圆”的位置关系时，不能直接套用直线与整圆的相关结论，往往是通
过“数形结合的思想”加以判断．
【例2】已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知圆 上有四个点到直线 的距离等于1，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知点 ，若圆 上存在点 ，使得线段 的中点也在圆
上，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练3】实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练4】过直线 上一点 作圆 的切线， 为切
点，则 的取值范围是
A． B． C． D． ，
【变式训练5】若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值
范围是
A． B． C． D．【变式训练6】已知圆 和两点 ， ， ，若圆 上
至少存在一点 ，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
题型三：圆的切线
【要点讲解】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上
则该点为切点，切线仅有一条，可根据过圆上一点的切线直接写出；若点在圆外，切线应
该有两条，注意数形结合思想的应用，特别是注意是否存在无斜率的切线，切勿漏解.
【例3】过点 作圆 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D． 或
【变式训练1】过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为
A． B．
C． 或 D． 或
【变式训练2】过点 作圆 的切线，则切线方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【变式训练3】已知圆 过两点 ， ，且圆心 在直线 上．（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，求切线方程．
题型四：弦长问题
【要点讲解】①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、
圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，
最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为·|x －x|，必要时考虑运用这
1 2
一公式也可解题.
【例4】直线 被曲线 截得的弦长的最小值为
A． B．1 C． D．2
【变式训练1】 点是圆 上任意一点， 为圆 的弦，
且 ， 为 的中点．则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】已知圆 ，点 在圆 上，点 ， 为 的中
点， 为坐标原点，则 的最大值为A． B． C． D．
【变式训练3】过点 的直线 与圆 相交的所有弦中，弦长最短为
A．5 B．2 C． D．4
【变式训练4】圆 被过点 的直线截得的最短弦长为
A．2 B．4 C． D．
【变式训练5】如 图 ， 经 过 坐 标 原 点 且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 和 与 圆
相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，则下列说法正
确的是
A．线段 长度的最大值为
B．弦 长度的最小值为
C．点 的轨迹是一个圆
D．连接四边形 各边中点所得四边形面积的最大值为题型五：圆与圆的位置关系
【要点讲解】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代
数方法要简捷些. 其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆
的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定.
【例5】已知圆 和 ，则两圆的位置关系是
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【变式训练1】圆 与圆 的位置关系为
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
【变式训练2】已知圆 ，圆 ，则两圆的位置关
系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【变式训练3】若圆 与圆 则圆 与圆 的位置关系
为
A．外离 B．外切 C．内切 D．内含
【例6】已知圆 ，圆 ．
（1）若圆 与圆 外切，求 的值；
（2）若圆 与圆 有两个交点，求 的取值范围．【变式训练1】已知圆 ，圆 ．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
题型六：两圆的公共弦
【要点讲解】求两圆公共弦，一般联立两圆方程消去x2与y2即可，但要注意确定两圆是否
一定相交.
【例7】圆 与圆 的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角
形面积为
A． B． C． D．1
【变式训练1】已知圆 与圆 的公共弦
所在的直线与直线 平行，则 ．【变式训练2】圆 与圆 的公共弦所在的直
线的方程为 ，弦长为 ．
【变式训练3】若圆 与圆 的公共弦长为 ，则
A． B． C．2 D．4
【变式训练4】已知圆 与圆 相交于 ， 两
点，则两圆的公共弦
A． B． C． D．2
【例8】已知圆 和 ．
（1）求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点 且与圆 相切的直线方程．【变式训练1】已知圆 与圆
（1）求证：圆 与圆 相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
