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专题 8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判断...............................................................................................................4
题型二： 已知位置关系求参数的值(范围)....................................................................................5
题型三： 圆的切线.........................................................................................................................10
题型四： 弦长问题.........................................................................................................................12
题型五： 圆与圆的位置关系.........................................................................................................16
题型六： 两圆的公共弦.................................................................................................................18
知识点总结
知识点一、直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 公共点 几何
直线、圆的方程组成
图示
的方程组的解
关系 个数 特征
相离 0 d > r 无实数解
相切 1 d＝r 两组相同实数解
相交 2 d < r 两组不同实数解
知识点二、圆与圆的位置关系位置 图示 公共点 公切线 几何特征
两个圆的方程组
成的方程组的解
关系 (R>r) 个数 条数 (OO＝d)
1 2
外离 0 4 d > R ＋ r 无实数解
两组相同
外切 1 3 d ＝ R ＋ r
实数解
R－r< 两组不同
相交 2 2
d<R＋r 实数解
两组相同
内切 1 1 d ＝ R － r
实数解
内含 0 0 d < R － r 无实数解
【常用结论与知识拓展】
与切线、切点弦有关结论
(1)已知
⊙O：x2＋y2＝r2；
1
⊙O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
2⊙O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
3
①若点M(x，y)在圆上，则过M的切线方程分别为xx＋yy＝r2；
0 0 0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
②若点M(x ，y)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M ，M ，则切点弦(两切点的连
0 0 1 2
线段)所在直线的方程分别为xx＋yy＝r2；
0 0
(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2；
0 0
xx＋yy＋D·＋E·＋F＝0.
0 0
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±r.
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x ，y)引圆的切线，T为切点，切线长公式为|MT|
0 0
＝.
例题精讲
题型一：位置关系的判断
【要点讲解】判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系. ②代数
法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断. ③点与圆的位置关系法：若直线恒
过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相
交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
【例1】若直线 与圆 相切，则
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：圆 的圆心 ，半径 ，
依题意， ，解得 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 ，直线 经过点 ，则直线 被圆 截得
的最短弦长为
A． B． C． D．
【解答】解：根据圆的几何性质及题意可得：
当直线 垂直 时，直线 被圆 截得的弦长最短，
又 为 ， 为 ， ，
又圆的半径 ，
直线 被圆 截得的最短弦长为 ．
故选： ．
【变式训练2】设 ，则直线 与圆 的位置关系为
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【解答】解：直线 可化为 ，
由 ，可得 ，所以直线 恒过点 ．
又 ，即点 在圆 上，
所以，过点 的直线 与圆相交或相切．
故选： ．
【变式训练3】直线 与圆 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【解答】解：圆 可化为 ，由于圆心 ， ，半径等于，
圆心到直线 的距离为 ，
故直线和圆相交，
故选： ．
【变式训练4】已知直线 ，圆 ．则“ ”是“ 与
相切”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： 与 相切，则圆心 到直线 的距离 ，
解得 或 ．
所以“ ”是“ 与 相切”的充分不必要条件．
故选： ．
题型二：已知位置关系求参数的值(范围)
【要点讲解】(1)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化
为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式(组)进行求解.
(2)解决直线与“局部圆”的位置关系时，不能直接套用直线与整圆的相关结论，往往是通
过“数形结合的思想”加以判断．
【例2】已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围为
A． B． C． D．【解答】解：曲线 表示圆 在 轴的上半部分，
当直线 与圆 相切时， ，
解得 ，当点 在直线 上时， ，
可得 ，
所以实数取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 上有四个点到直线 的距离等于1，则实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由圆的方程 ，可得圆心为原点 ，半径为2，
若圆上有4个点到直线 的距离等于1，则 到直线 的距离 小于1，
又直线的一般方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选： ．【变式训练2】已知点 ，若圆 上存在点 ，使得线段 的中点也在圆
上，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：设 的坐标为 ， ， 的中点坐标为 ， ， ，
即 ，
又线段 中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以 ，
解得： ，解得： ．
故选： ．
【变式训练3】实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：易知 ，
如图所示，则 可表示以 为圆心，1为半径的圆上一点 与定点 的连
线斜率，不妨设过点 圆的切线方程为 ，
则 到切线的距离为 或 ，
由图可知 ．
故选： ．
【变式训练4】过直线 上一点 作圆 的切线， 为切
点，则 的取值范围是
A． B． C． D． ，
【解答】解：圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心 到直线 的距离 ，
的最小值为 ，则 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练5】若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值
范围是A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： 为恒过定点 的直线，
由曲线 ，可得 ，
所以曲线表示圆心为 ，半径为1的上半圆，如图所示，
当直线与圆 相切时，有 ，
解得： （舍去）或 ，
把 代入 ，得 ，
的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练6】已知圆 和两点 ， ， ，若圆 上
至少存在一点 ，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：圆 的圆心 ，半径为 ，圆 和两点 ， ， ，
圆 上至少存在一点 ，使得 ，则 ，
圆 与圆 的位置关系为相交、内切或内含，所以 ，
又 ，所以 ，即 ．
故选： ．
题型三：圆的切线
【要点讲解】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上
则该点为切点，切线仅有一条，可根据过圆上一点的切线直接写出；若点在圆外，切线应
该有两条，注意数形结合思想的应用，特别是注意是否存在无斜率的切线，切勿漏解.
【例3】过点 作圆 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D． 或
【解答】解：根据题意，设圆 的圆心为 ，则 ，点 ，
有 ，点 在圆 上，
则 ，故切线的斜率 ，
则切线的方程为 ，变形可得 ，
故选： ．
【变式训练1】过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为
A． B．
C． 或 D． 或【解答】解：根据题意，圆 ，其圆心为原点，半径为1，
当切线 的斜率不存在时，即直线的方程为 ，不与圆 相切，
当切线 的斜率存在时，设切线 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
时，切线方程为 ，
时，切线方程为 ，
所以切线 的方程为 或 ．
故选： ．
【变式训练2】过点 作圆 的切线，则切线方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
若切线斜率不存在，其方程为 ，圆心 到 的距离 ，符合题意，
若切线斜率存在，设其斜率为 ，则切线的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，解可得 ，
此时切线的方程为 ，
综合可得：切线的方程为 或 ，
故选： ．
【变式训练3】已知圆 过两点 ， ，且圆心 在直线 上．（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，求切线方程．
【解答】解：（1）根据题意，因为圆 过两点 ， ，
设 的中点为 ，则 ，
因为 ，所以 的中垂线方程为 ，即
又因为圆心在直线 上，联立
解得 ，圆心 ，半径
故圆的方程为 ，
（2）当过点 的切线的斜率不存在时，此时直线 与圆 相切，
当过点 的切线斜率 存在时，切线方程为 即
由圆心 到切线的距离 ，可得 ，
将 代入 ，得切线方程为 ，
综上，所求切线方程为 或 ．
题型四：弦长问题
【要点讲解】①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、
圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，
最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为·|x －x|，必要时考虑运用这
1 2
一公式也可解题.【例4】直线 被曲线 截得的弦长的最小值为
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由 ，可得直线过定点 ，
把圆的方程化为标准方程可得 ，所以圆心 为 ，半径为 ，
因此当圆心 与 连线垂直于直线 时，
直线 被曲线 截得的弦长最小，
此时最小值为 ．
故选： ．
【变式训练1】 点是圆 上任意一点， 为圆 的弦，
且 ， 为 的中点．则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，可得 ，解得 ，
所以点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
由图可知 的最小值为 ．
故选： ．【变式训练2】已知圆 ，点 在圆 上，点 ， 为 的中
点， 为坐标原点，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知圆 的方程为 ，设 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
化简可得 的轨迹方程为 ．如图所示，
如图当 与圆 相切时， 取得最大值，
此时 ， ，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练3】过点 的直线 与圆 相交的所有弦中，弦长最短为
A．5 B．2 C． D．4
【解答】解：将 代入 ，得到 ，所以点 在圆内，
再根据 可得圆心坐标 ，
可知当 与 垂直时，弦长最小，
因为 ，
即最短弦长为的一半为 ，
所以最短弦长为 ．
故选： ．
【变式训练4】圆 被过点 的直线截得的最短弦长为
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：化圆 为 ，
则圆心坐标为 ，半径为2，
点 在圆 内部，
，
圆 被过点 的直线截得的最短弦长为 ．
故选： ．
【变式训练5】如 图 ， 经 过 坐 标 原 点 且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 和 与 圆
相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，则下列说法正
确的是A．线段 长度的最大值为
B．弦 长度的最小值为
C．点 的轨迹是一个圆
D．连接四边形 各边中点所得四边形面积的最大值为
【解答】解：由题易知圆的方程为 ，设圆心为 ，则 ，半径
，
由三角形两边之和大于第三边可知 ，且 ，
所以当 长度最大时圆心与 ， 共线且在它们中间，此时 错误；
由圆的性质知当 即圆心与直线 距离最大时 的长度最小，
此时圆心与直线 距离为 ，故 ， 正确；
设 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 ，
且 ，且 ，又 ，易知四边形 为矩形，
而 ，
圆心 到直线 ， 的距离 且 ，
所以 ，则 ，故
所以 在以 为直径， ， 的交点为圆心的圆上， 正确；
由上知 ，则 ，
当且仅当 时取等号，
此时四边形 的面积 ，故 正确．
故选： ．
题型五：圆与圆的位置关系
【要点讲解】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代
数方法要简捷些. 其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆
的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定.
【例5】已知圆 和 ，则两圆的位置关系是
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【解答】解：因为圆 的圆心 ，半径为1，
圆 即 的圆心 ，半径为2，
所以两个圆的圆心距 ，又两个圆的半径和为 ，
所以圆 与圆 的位置关系是外切．
故选： ．
【变式训练1】圆 与圆 的位置关系为
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
【解答】解：圆 ，即 的圆心 ，半径
为2；
圆 ，即 的圆心 ，半径为3；
圆心距为 ，
因为 ，所以两个圆的位置关系是外切，
故选： ．
【变式训练2】已知圆 ，圆 ，则两圆的位置关
系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【解答】解： 的圆心为 ，半径 ，
的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距 ， ，
故两圆相交，
故选： ．【变式训练3】若圆 与圆 则圆 与圆 的位置关系
为
A．外离 B．外切 C．内切 D．内含
【解答】解：由已知得圆 的圆心为 ，半径为2，圆 的圆心为 ，半径为
3，
圆 和 圆心的距离 ，两圆的半径之和为 ，
即两圆圆心的距离等于两圆半径之和，此时两圆外切．
故选： ．
【例6】已知圆 ，圆 ．
（1）若圆 与圆 外切，求 的值；
（2）若圆 与圆 有两个交点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意圆心 ，半径为 ，
又圆 可化为 ，故圆心 ，半径为1，
因为圆 与圆 相外切，则点 与 之间的距离等于 ，
即 ，所以 ．
（2）若圆 与圆 有两个公共点，
则点 与 之间的距离属于区间 ，
即 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．【变式训练1】已知圆 ，圆 ．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
【解答】解：（1）圆 的圆心为 ，半径为3．
圆 的圆心为 ，半径为 ，
，所以两圆相交．
（2）由 、 ，
两式相减并化简得 ，
即公共弦所在直线方程为 ．
（3） 到直线 的距离为 ，
所以公共弦长为 ．
题型六：两圆的公共弦
【要点讲解】求两圆公共弦，一般联立两圆方程消去x2与y2即可，但要注意确定两圆是否
一定相交.
【例7】圆 与圆 的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角
形面积为
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意得圆 的圆心为 ，半径为1，圆 的圆心为 ，半径为2，
则两圆圆心距为 ，而 ，即圆 与圆 相交，
故将 和 相减得 ，
即圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
故 与两坐标轴所围城的三角形面积为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 与圆 的公共弦
所在的直线与直线 平行，则 ．
【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，半径为 ，
由 ，得 ，
所以 ，半径为 ，
因为两圆相交，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 ， 满足上式时，两圆的公共弦方程为 ，因为公共弦所在的直线与直线 平行，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【变式训练2】圆 与圆 的公共弦所在的直
线的方程为 ，弦长为 ．
【解答】解：两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为 ，即 ，
圆 的标准方程为 ，其圆心 ，半径 ，
所以圆心 到公共弦 的距离 ，
所以公共弦长为 ．
故答案为： ；2．
【变式训练3】若圆 与圆 的公共弦长为 ，则
A． B． C．2 D．4
【解答】解：圆 与圆 两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为 ，又 ，圆心为 ，半径为2，公共弦长为 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
化简得 ，
解得： ．验证知符合题意．
故选： ．
【变式训练4】已知圆 与圆 相交于 ， 两
点，则两圆的公共弦
A． B． C． D．2
【解答】解：圆 与圆 相交于 ， 两点，
整理得 ，
所以直线的方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以所截得弦长为 ，
故选： ．
【例8】已知圆 和 ．
（1）求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点 且与圆 相切的直线方程．
【解答】解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得： ，
也即 ，故圆 和圆 的公共弦所在直线的方程为 ，圆 可化为 ，
圆心坐标 ，半径 ，
由点到直线的距离公式可得： 到公共弦的距离 ，
由垂径定理可知：公共弦长 ，
（2）由（1）知：圆 ，
圆心坐标 ，半径 ，
过点 作圆 的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为 ；
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，也即 ，
由点到直线的距离公式可得： ，
解得： ，所以此时切线方程为： ，
综上：过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【变式训练1】已知圆 与圆
（1）求证：圆 与圆 相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
【解答】证明：（1）圆 ，圆心坐标为 ，半径 ，
圆 化成标准方程为 ，圆心坐标为 ，
半径 ，圆心距 ， ，
所以圆 与圆 相交；
（2）解：两圆方程相减，得 ，所以两圆公共弦所在直线的方程为
；
（ 3 ） 设 所 求 圆 的 方 程 为 ， 即
， 圆 心 坐 标 为 ， 代 入 直 线
可得 ，解得 ，
所求圆的方程为 ．
