重难点突破08极值点偏移（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 08 极值点偏移 极值点偏移问题的解法 (1)( 对 称 化 构 造 法 ) 构 造 辅 助 函 数 : 对 结 论 型 , 构 造 函 数 ;对结论 型,构造函数 ,通过研 究 的单调性获得不等式. (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换 化为单变量的函数不 等式,利用函数单调性证明. 1．已知函数 ，函数 在 处的切线斜率为 ． （1）求函数 的单调减区间； （2）若函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， ， ， ， 求证： ． 【解答】解：（1）函数 的定义域为 ， ， ， ，又 ，故 ，，则 ， 令 ，解得 ， ， ， 故函数 的减区间为 ， ； （2）证明：因为函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， ， ， ，设 ， 则 ，则 ，故 ， 令 ，则 ， ， 要证 ，只要证 ， 由于 ，只要证 ， 设 ， ，则 ， 设 ，则 ， 函数 在 上单调递减，则 （1） ， 又 ，故 ， 函数 在 上单调递增，则 （1） ，即 ，即得证．2．已知函数 ， 为常数，且 ． （1）判断 的单调性； （2）当 时，如果存在两个不同的正实数 ， 且 ，证明： ． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， ， 设 ， △ ，即 时， 恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， △ ， 即 时 ， 方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 根 ， 且 ， ， 所以任意 ， ， ， 单调递增， 任意 ， ， ， ， 单调递减， 任意 ， ， ， ， 单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）证明：因为 （1） ， 所以 （1）， 由（1）可得 时， 在 上单调递增， 不妨设 ， 要证 ，即证 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 设 ， ， ， 所以 时， ， 单调递增， 所以 （1） （1） ， 所以 ． 3．已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性： （Ⅱ）若 ， 是方程 的两不等实根，求证： ；． 【解答】解：（Ⅰ） ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时，令 得 ， 令 得 ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 综上所述，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． （Ⅱ）证明：因为 ， 是方程 的两个不等实数根，即 ， 是方程 的两个不等实数根， 令 ，则 ， ，即 ， 是方程 的两个不等实数根， 令 ， 则 ， 令 得 ， 所以在 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递减，（e） ， 当 时， ；当 时， 且 ， 所以 ，即 ， 令 ， 要证明 ，只需证明 ， 设 ， ， 则 ， ， 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增， （e） ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 得证． 要证 ，只需证 ， 只需证 ，只需证 ， 只需证 ， 因为 ， 令 得 ， 即 ①， 令 得 ， 即 ②， ① ②得 ， 所以 ，得证． 4．已知函数 ． （1）若 为 的导函数），求函数 的单调区间； （2）求函数 在区间 ， 上的最大值； （3）若函数 有两个极值点 ， ，求证： ． 【解答】解：（1）函数的定义域为 ， ， ， 当 时，在 上 恒成立， 单调递增，当 时，令 得 ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 ， 上 ， 单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． （2）当 时， 在 ， 上是增函数，最大值为 （e） ， 当 ，即 时， 在 ， 是减函数，最大值为 （1） ， 当 ，即 时， 在 是增函数，在 ， 是减函数，最大值为 ， 当 ，即 时， 在 ， 是增函数，最大值为 （e） ， 综上所述，当 时，最大值为 （e） ， 当 时，最大值为 ， 当 时，最大值为 （1） ． （3）证明： ， 因为函数 有两个极值点 ， ， 所以 在 上有两个不等的实数根 ， （假设 ， 则 在 上有两个不等的实数根 ， （假设 ， 所以 与 的图象有两个交点，由函数 的图象知， ， ， 要证： ， 可得变形为 ， 因为 ， ， 所以 ， 即证 可以变形为 ， 进一步变形为 ， 令 ， 即证 ， 令 ， ， 在 上单调递增， 所以 （1），即证． 5．已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）若对于 ，都有 ，求实数 的取值范围； （3）若 的函数图象与 交于不同的两点 ， ， ， ，证明：． 【解答】解：（1）因为函数 定义域为 ， 所以 ， （1） ， 又因为 （1） ， 所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ． （2）当 时，“ ”等价于“ ”恒成立， 令 ， ， ， ， 当 时， ，所以 在区间 单调递减． 当 ， 时， ，所以 在区间 ， 单调递增， 而 ， ， 所以 在区间 上的最大值为 ． 所以当 时，对于任意 ，都有 ． （3）证明：函数 定义域为 ， 由（1）可知， ， 令 ，解得 ， 与 在区间 上的情况如下： 0 减函数 极小值 增函数 故 的增区间为 ，减区间为 ，又 （1） ， 时， ， 时， ， 与 的图像交于 ， 两点，即 ， ． 设 ，当 时， ， 设 ，则 ， ， ， ， 即当 时，为增函数， 即当 时， ， ， 此时 ，， 当 时，可得 ， 记 ，即 ， 由 当 时 ， ， 即 ， ，此时 ， 又当 时，为增函数， 可得 ， ． 6．已知函数 ， ． （1）若 ， 为 的导函数），求函数 在区间 ， 上的最大值； （2）若函数 有两个极值点 ， ，求证： ． 【解答】解：（1）函数 的定义域为 ， ， ，①当 时，显然 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 在区间 ， 上的最大值为 （e） ； ②当 时，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 在区间 ， 上的最大值为 ； ③当 时，显然 在 上恒成立，所以 在 上单调递减， 所以 在区间 ， 上的最大值为 （1） ． 综上所述，当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ；当 时， 最大值为 ． （2）证明： ，有题意可知 至少有两个零点，所 以 ． 由 ， ，可得 ， ． 所以 ， 不妨设 ，令 ，则 ，下面证明 ． 令 ，则 ， 所以 在 单调递增， （1） ，即 ．于是， ，即 ． 7．已知函数 ． （1）求函数 的极值； （2）若直线 与函数 的图象有两个不同交点 ， ， ， ，求证： ． 【解答】解：（1） ． 变化时， 与 变化情况如下 0 单调递减 极小值 单调递增 当 时， 有极小值为 ， 极小值为 ，无极大值． （2）证明：设： ，由（1）知， ， ， 欲证： ，需证： ． 由 ， ，且 在 是单调递减函数， 即证： 即证： 令 ， ，当 时， ， 单调递增， ， 时， ． 由 时， ， 得证． 8．设函数 ． （1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； （2）当 时，若在 定义域内存在两实数 ， 满足 ，且 ，证 明： ． 【解答】解：（1） 的定义域是 ， ， 当 时， ，即 在 上递增，不合题意，当 时，令 ，解得： ， 故 时， ，当 ， 时， ， 故 在 递增，在 ， 递减， 故 ， 若存在 ，使得 成立， 则 ， 即 ，即 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增， 又 （1） ， ， 即实数 的取值范围是 ； （2）证明：当 时， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 在 递增，在 递减， 由 且 知 ， 令 ， ，则 ， 在 递增， （1） ，即 ， ，又 ， ， ， ， 又 且 在 递减， ，即 ． 9．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间和极值； （2）若函数 对任意 满足 ，求证：当 ， ； （3）若 ，且 ，求证： ． 【解答】解：（1） ， ． 令 ，解得 ． 2 0 极大值 在 内是增函数，在 内是减函数． 当 时， 取得极大值 （2） ． （2）证明： ， ， ．当 时， ， ，从而 ， ， 在 是增函数． ． （3）证明： 在 内是增函数，在 内是减函数． 当 ，且 ， 、 不可能在同一单调区间内． 不妨设 ，由（2）可知 ， 又 ， ． ， ． ， ， ，且 在区间 内为增函数， ，即 ． 10．已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间及极值； （Ⅱ）求证：当 时， ； （Ⅲ）如果 ，且 ，求证： ． 【解答】 （Ⅰ）解： 令 ，则 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 10 极大值 在 上是增函数，在 上是减函数 在 处取得极大值 ； （Ⅱ）证明：令 则 ， ， 又 ， ， 在 ， 上是增函数 又 （1） 时 （1） 即当 时， （Ⅲ）证明：当 ， 都在 或都在 时由于 是单调函数， 所以 ，这与已知矛盾，所以 ， 一个在 内，另一个在 内 不妨设 ， ，则 由（Ⅱ）知 时， ， 又 ， ， ， ， 在 上是增函数， ，