重难点突破03圆锥曲线中的面积问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 03 圆锥曲线中的面积问题 1．已知 是抛物线 的焦点， 是 上在第一象限的一点，点 在 轴 上， 轴， ， ． （1）求 的方程； （2）过 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点， 的面积为 为坐标原点）， 求直线 的方程． 【解答】解：（1）因为 轴， ， 所以 ， 此时 ， 解得 ， 则 的方程为 ； （2）由（1）知 ， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 因为 ， 由韦达定理得 ， ， 所 以 ，因为点 到直线 的距离为 ， 所以 ， 解得 ， 故直线 的方程为 或 ． 2．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， ， 为 上 一点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 为 上一点，且 ，求△ 的面积． 【解答】解：（1）不妨设椭圆 的焦距为 ， 因为 ， 所以 ， 此时 ， ， 因为 为 上一点， 所以 ， ， 因为 ， 解得 ， 此时 ， 则椭圆 的标准方程为 ；（2）因为 ， 所以 ， 由椭圆的定义得 ， 对等式两边同时平方得 ， 即 ， 解得 ， 故△ 的面积 3．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 横坐标为3，且点 到焦 点 的距离为5． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线交抛物线于点 ， ，求 面积的最小值（其中 为坐标原 点）． 【解答】解：（1）易知抛物线 的焦点 ，准线 的方程为 ， 因为点 到焦点 的距离即为点 到准线的距离， 所以 ， 解得 ， 则抛物线 的方程为 ． （2）由（1）知，抛物线 ，直线 经过点 ， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ，由韦达定理得 ， 所以 ， 此时 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 面积的最小值为8． 4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，且经过点 ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标； （Ⅱ）经过焦点 且斜率是1的直线 ，与抛物线交于 、 两点，求 以及 的 面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴， 不妨设抛物线的方程为 ， 因为抛物线经过点 ， 解得 所以抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为 ； （Ⅱ）因为直线 经过焦点 且斜率是1， 所以直线 的方程为联立 ， 消去 并整理得 不妨设 ， ， ， ， 由韦达定理得 ， ， 此时 ， 又 ， 故 ． 5．已知椭圆 ，左、右焦点分别为 ， ，过点 作倾斜角为 的直线 交 椭圆于 ， 两点． （1）求 的长和 的周长； （2）求 的面积． 【解答】解：（1）椭圆 ， ， ， ，即 ， 所以直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 或 ， 所以 ，的周长为 ； （2）由 ，得 ，由 ，得 ， 设 ， ， 的面积 ． 6．已知双曲线 的一条渐近线为 ，且双曲线 的虚轴长为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）记 为坐标原点，过点 的直线 与双曲线 相交于不同的两点 、 ，若 的面积为 ，求直线 的方程． 【解答】解：（1）因为双曲线 的一条渐近线为 ， 所以 ， 又因为双曲线 的虚轴长为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以双曲线 的方程为 ． （2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， 此时直线 与双曲线 没有交点，不合题意， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 所以 且△ ， 所以 且 ， 设 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 点 到直线 的距离 ， 所以 ， 解得 所以直线 的方程为 ． 7．已知双曲线 的离心率为 ，设 的右焦点为 ，右顶点为 ，虚轴下端点为 ，且 ． （1）求 的方程；（2）过坐标原点的直线 与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，且点 ， 都在 第一象限，若 的面积是 面积的2倍，求 的斜率． 【解答】解：（1）不妨设 的焦距为 ， 因为双曲线 的离心率为 ， 所以 ，① 又 ，②， 联立①②，可得 ． 因为 ， 解得 ， ， 所以 的方程为 ； （2）不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ， 易知 ， ， 因为 的面积是 面积的2倍， 所以 ， 此时 ， 即 ． 因为直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ，联立 ，消去 并整理得 ， 因为 ， 所以 ， 对等式两边同时平方得 ， 解得 或 ， 当 时， 与直线 平行，不符合题意； 当 时， ， ，符合题意． 故直线 的斜率为 ． 8．已知过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且当 的斜率为 1时， 恰为 中点． （1）求 的值； （2）当 经过抛物线 的焦点时，求 的面积． 【解答】解：（1）当 斜率为1时， 可得直线 的方程为 ， 此时直线 恰好经过坐标原点， 不妨设 ， 则 为抛物线上的点， 所以 ， 解得 ； （2）由（1）可知抛物线的焦点 ，当直线 经过 时， 直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 不妨设 ， ， ， ， 由韦达定理得 ， ， 则 的面积 ． 9．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点 ， ， 是椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆 的方程； （2）若 为椭圆上一点， ，则三角形 的面积． 【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ； （2）在△ 中， ， ， 由 ，得 ， 设 ，则 时， 在△ 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 ；所以 ， 所以 ． 10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线 的右顶 点 ，且 ． （1）求双曲线 的方程； （2）动直线 与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ， 设 为坐标原点，求证： 的面积为定值 【解答】解：（1）不妨设 ， ， 因为双曲线 的右顶点 ， 所以 ， 此时 ， ， 则 ，① 又 ，② 联立①②，解得 ， 则双曲线 的标准方程 ； （2）证明：不妨设直线 与 轴交于 点， 易知双曲线的渐近线方程为 ， 因为动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ， 当动直线 的斜率不存在时， ，当动直线 的斜率存在时，且斜率 ， 不妨设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 因为 且 ，△ ， 整理得 ， 联立 ， 解得 ， 同理得 ， 所以 ， 因为原点 到直线 的距离 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 故 的面积是为定值，定值为 ．11．已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点及上顶点分别记为 、 、 ，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，以及取得 最大值时直线 的方程． 【解答】解：（1）易知 ， ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，① 又 ， ② 联立①②，解得 或 （舍去）， 所以 ， ， 则椭圆 的方程为 ； （2）不妨设 ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 所以 ， ， 此时△ ， 解得 ，所以 ， 而原点 到直线 的距离 ， 所以 ， 令 ， 可得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 面积取得最大值 ，直线方程为 ． 12．已知椭圆 经过点 ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 交椭圆 于 ， 两点， 是坐标原点，求 的面积 ． 【解答】解：（1）因为椭圆 经过点 ， 所以 ， 将点 的坐标代入方程 ， 此时 ， 解得 ，所以椭圆 的方程为 ； （2）若直线 交椭圆 于 ， 两点， 联立 消去 并整理得 ， 解得 ， 或 ， ， 不妨设 ， ， 则 ． 13．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点，点 是椭圆的 上顶点，以点 为圆心且过 的圆恰好与直线 相切． （1）求椭圆 的方程； （2）斜率为1的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值． 【解答】解：（1）因为 是椭圆 的左焦点， 所以 ， 因为点 是椭圆的上顶点， 所以以点 为圆心且过 的圆的半径 ， 又 ， 则椭圆 的方程为 ； （2）不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立 ，消去 并整理得 ， 因为直线 交椭圆 于 ， 两点， 所以△ ， 解得 ， 由韦达定理得 ， ， 此时 ， 易知点 到直线 的距离 ， 所以 ， 当且即当 ，即 时，等号成立， 故 面积的最大值为 ． 14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，设点 ，在△ 中， ，周长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过左焦点 作倾斜角为 的直线 交椭圆 于 、 两点，求 的面积． 【解答】解：（1）已知在△ 中， ，可得 ， 所以 ，① 因为△ 的周长为 ， 所以 ，② 又 ，③ 联立①②③，解得 ， ， 则椭圆 的方程为 ； （2）由（1）知椭圆 的左焦点 ， 则直线 的方程为 ， 不妨设 ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 由韦达定理得 ， ， 所以 ， 而点 到直线 的距离 ， 则 ．15．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，过 ， 作直线 的垂线分别交 于另一点 ， ，求四边形 的面积． 【解答】解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为 ， 因为的一条渐近线的倾斜角为 ， 所以 ，① 因为一个焦点到 上的点的最小距离为 ， 所以 ，② 又 ，③ 联立①②③，解得 ， ， 则 的方程为 ； （Ⅱ）联立 ，消去 并整理得 ， 不妨设 ， ， ， ， 由韦达定理得 ， ， 不妨设 ， 所以 ， ，此时 ， 易知直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 由韦达定理得 ， 同理 ， 所以 ， 故四边形 的面积 ．