重难点突破10导数大题60题专项训练（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 10 导数大题 60 题专项训练 1．求下列函数的导数． （1） ； （2） ． 【解答】解：（1）因为 ，则 ． （2）因为 ，则 ． 2．已知函数 的图像与直线 相切，切点为 ． （1）求 ， ， 的值； （2）设 ，求 在 ， 上的最大值和最小值． 【解答】解：（1） ， 函数 的图像与直线 相切，切点为 ， 则 ． （2）由（1）可知， ， ， 或 ； ． 则 在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，在 ， 上单调递增， 故 ， （2） ， ，， （4） ， ． 3．已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程； （2）求 在区间 ， 上的最值． 【解答】解：（Ⅰ）对函数 求导， ， （2） ， （2） ， 所求得的切线方程为 ，即 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）有 ， 令 ，解得： 或者 ， 故函数 在 ， 递增，在 ， 递减， 故函数 在 取最大值 ， ， ， 故函数在 ， 的最大值为4，最小值为0． 4．已知函数 （a R）． （1）a＝0时，求函数f（x）的单调性； ∈ （2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性； （ 3 ） 若 对 任 意 的 a [﹣ 2 ， ﹣ 1 ） ， 当 x ， x [1 ， e] 时 恒 有 1 2 ∈ ∈ 成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵ （a R）， ∈∴当a＝0时， ，x （0，+∞）， ∈ ∴ ， 当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 即f（∈x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． （2）当a≠0时，函数 （a R），x （0，+∞）， ∈ ∈ ， ①当a＞0时，2ax+1＞0， ∴当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增， 当x （∈1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减； ∈ ②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或 ， （i）若 ，则 ， ∴当 时，f'（x）＞0，函数f（x）在 上单调递增， 当 时，f'（x）＜0，函数f（x）在 上单调递减， 当x （1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增； ∈ （ii）若 时，则 恒成立， ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （iii）若 ，则 ， ∴当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增， ∈ 当 时，f'（x）＜0，函数f（x）在 上单调递减， 当 时，f'（x）＞0，函数f（x）在 上单调递增；综上可得：当a＞0时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 当 时f（x）在 和（1，+∞）上单调递增，在 上单调递 减； 当 时f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当 时f（x）在（0，1）和 上单调递增，在 上单 调递减． （3）当a [﹣2，﹣1）时，由（2）可知，函数f（x）在[1，e]上单调递增， ∈ ∴ ， ∵ 对任意的a [﹣2，﹣1），当x ，x [1，e]时 1 2 恒成立， ∈ ∈ ∴ 对任意的a [﹣2，﹣1）恒成立， ∈ 即 对任意的a [﹣2，﹣1）恒成立， ∈ ∵当 时 单调递增，所以 ， ∴m≤5， 故实数m的取值范围为（﹣∞，5]； 5．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）求函数 的最小值； （3）若函数 的图象与直线 有两个不同的交点 ， 、 ， ，证明： ．【解答】解：（1） ， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； （2）令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． ，即 的最小值是 ； 证明：（3）由（2）可知 ， 即 ， 直线 为函数 的一条切线， 由 ，得 ，取 ，得 ，又 ， 在 处的切线方程为 ，即 ， 令 ， ， 令 ， ， 单调递增， 又 ，可得当 时， ， 单调递减，当 ， 时， ， 单调递增， ， 可得函数 图像夹在直线 和直线 之间， 直线 与直线 的交点为 ， 与直线 的交点为 ，不妨设 ， 则 ． 6．已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）过坐标原点作曲线 的切线，求切点坐标． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以函数 的单调递增区间为 ， ， ，单调递减区间为 ； （2）不妨设切点坐标为 ， 此时 ，① 因为 ， 所以 ，此时切线斜率 ， 整理得 ，② 联立①②，解得 ， 所以 ， 故切点坐标为 ． 7．已知函数 ． （1）讨论 的极值点的个数； （2）若 恒成立，求实数 的最大值． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得 ： 的 定 义 域 为 ， 且 ， ①当 时， 恒成立， 在 上单调递减，无极值点； ②当 时， ， 设 ， 因为 对 恒成立，所以 在 上递增， 又因为 ，且 ， 所以存在 ，使得 ，即 ， ， 0 单调递减 极小值 单调递增所以 在 上恰有1个极小值点； 综上所述：当 时， 极小值点个数为0； 当 时， 极小值点个数为1． （2）由题意 ，由（1）可知： 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 则 ， 其中 ，则 ，且 ， 于是不等式 恒成立， 整理得 ， 设 ， 则 ， 则 在 上单调递增，且 ，所以 可得 ， 又 因 为 在 定 义 域 内 单 调 递 减 ， 可 得 ， 所以 ，即 的最大值为 ． 8．已知函数 ． （1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；（2）若 对任意的 恒成立，求整数 的最小值； （3）求证： ， ． 【解答】解：（1）当 ， ， ， ， ， 所以 的图象在 处的切线方程为 ， （2） 对任意的 恒成立，等价于为 恒成立， 构造函数 ， ， 因为函数 ， 在 单调递减， 所以函数 在 单调递减， 且 ， ， ， ， ， ， 所以存在唯一的实数 ， ，使得 ，即 ， 当 时， ， ， 单调递增， 当 时， ， ， 单调递减， 所以当 时，时， 取极大值也是最大值， ， 因为函数 ， 在 ， 单调递增，且均为正，故 单调递增，因此 ，所以 ， 所以整数 的最小值为1； （3）由（2）知当 时， 对任意的 恒成立，即 对任意 的 恒成立， 取 ，则 ， 所以 ， 因此 ， 故 ， ． 9．已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ，且对任意 ， ， （其中 都有 ， 求实数 的最小值． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， 恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增， 所以对任意 ， ， ，都有 ， 已知 ， 可得 ， 当 ， 时， ， 单调递减， 所以对任意 ， ， ，都有 ， 易知当 ， 时， ， 因为 ， 所以 ， 整理得 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 ， 所以函数 在定义域上单调递增，则 ， 即 ， 所以当 ， ， 时， 恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 恒成立， 所以 在 ， 恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 ， 当 时， ， 所以 ， 单调递减， 则 （3） ， 可得 ， 故实数 的最小值为 ． 10．已知函数 恰有两个零点 ， ． （1）求实数 的取值范围； （2）若函数 ，求证： 在 上单调递减； （3）证明： ． 【解答】解：（1）由题意得 ， 当 时， ；当 时， ．函数 在 上单调递增；在 上单调递减， ． 又当 时， ， 可取到负的无穷小值； 当 时， ， 也可取到负的无穷小值； 函数 恰有两个零点， ，即 ． 实数 的取值范围为 ． （2）证明： ， ， ，令 ， ， ， 又 时，有 ， ， ， 在 上单调递增， 在 上单调递增，从而 ， 在 上单调递减． （3）证明：由（1）知， ， 要证 ，只需证 ， 在 上单调递减，只需证 ． ， 只需证 ，其中 ， 只需证 ，其中 ， 由（2）知，当 时， ， ． ． 11．已知函数 ． （1）当 时，求 曲线在 处的切线方程； （2）讨论 的单调性． 【解答】解：（1） 时， ， 则 ， 故 （1） ， （1） ， 故切线方程是： ，即 ； （2）因为 ， 对 求导， ， ， ①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增； ②当 ，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递增；③当 时，令 ，解得 ， 因为当 ， ，当 ， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 综上可知，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． 12．已知函数 ，求函数的极值． 【解答】解： ， ， ， ， 当 时， ；当 ， 时， ， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 仅有极小值为 ． 13．已知函数 ． （1）若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围； （2）若函数 在 上存在零点，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题得 ， 在 ， 上单调递增， 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立，， ，即 的取值范围是 ， ． （2） ， ， 注意到： ， 若 ，则 ， 在 上单调递增， ， 在 上不存在零点； 若 ，则 ， 在 上单调递减， ， 在 上不存在零点； 若 ，显然 ，在 上不存在零点； 若 ，显然存在 ，使得 ，且 在 上单调递增， ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 注意到： ， ，且 ， 存在唯一 使得 ， 综上， ，即实数 的取值范围是 ． 14．已知 在 处的切线方程为 ． （1）求函数 的解析式； （2） 是 的导函数，证明：对任意 ， ，都有 ．【解答】解：（1）由题意可得， （1） ，且 ，则 （1） ，即 ， 则 ， ， 所以 ； （2）证明：由（1）可知， ， ， 所以 ， 令 ， 则 ， 所以 时， ， 即 在 ， 上单调递减， 所以 （1），即 ， 所以 ，即 ． 15．已知 ， ， ． （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）若 恒成立，且存在 使得方程 恒有两个交点，求 的范围． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， ， 当 ， ， 可得 ， 此时 （1） ，又 （1） ， 所以曲线 在 处的切线方程为 ， 即 ； （2）若 恒成立， 此时 （1） ， 解得 ， 因为存在 使得方程 恒有两个交点， 此时函数 在定义域上不单调， 即 在 上存在零点， 当 时， ， 函数 在 ， 上单调递增，不符合题意； 当 时， 因为 在 ， 上单调递增， 若 （1） ，即 时， 可得 恒成立，函数 单调递减，不符合题意； 若 （1） ，即 时， 可得 ， 因为 ， 所以 ，此时需满足 在 上存在实数根， 不妨设 ，，函数定义域为 ， 可得 ， 所以函数 在定义域上单调递增， 此时 （1）， 即 ， 此时在区间 上存在一点 ，使得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 符合题意， 综上，满足条件的 的取值范围为 ． 16．已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性； （3）判断 与1.01的大小关系，并说明理由． 【解答】解：（1） ，所以 ， ，所以切点为 ， 所以曲线 在点 ， 处的切线方程为 ．（2）定义域为 ， 当 时， 对 恒成立， 在 上为增函数； 当 时，令 ，所以 ， ， ， ，函数单调递减， ， ，函数单调递增， 综上所述：当 时， 在 上为增函数； 当 时， ，函数单调递减； ，函数单调递增； （3）记 ，则 ， 当 时， ，故 在 上单调递增， ，即 ， ， 故有： ． 17．已知函数 ， 为 的导数． （1）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2） ，若对任意 ， ，均存在 ， ，使得 ，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ，所以 ， ， 从而曲线 在点 ， 处的切线方程为 ．（2）由已知，转化为 ，且 （1） ． 设 ，则 ， ． 当 时， ； 当 时， ， 所以 在 单调递增，在 单调递减． 又 ， ， ， 故 在 存在唯一零点． 所以 在 存在唯一零点． 设为 ，且当 时， ； 当 ， 时， ， 所以 在 单调递增，在 ， 单调递减． 又 ， ， 所以当 ， 时， ． 所以 ，即 ， 因此， 的取值范围是 ． 18．已知函数 ，其中 ． （1）若 ，求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程； （2）若对于任意 ， ，都有 成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）函数的定义域为 ．当 时， ， （2） ， ，则 （2） ． 所以曲线 在点 ， （2） 处的切线方程为 ， 即 ． （2）因为对于任意 ， ，都有 成立， 则 ，等价于 ． 令 ，则当 ， 时， ， ． 因为当 ， 时， ，所以 在 ， 上单调递增． 所以 （e） ． 所以 ． 即 的取值范围是 ． 19．已知函数 ． （1）证明 ； （2）关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】（1）证明： ， 由 ，可得 ；由 ，可得 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 （1），即 ． （2）解：由 得 ， 因为 为增函数，则 ， 则 ， 令 ，则 ， 由 ，可得 ，由 ，可得 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 最大值为 （1） ， 所以实数 的取值范围是 ， ， 20．已知函数 ． （1）若 是 的极值点，求 的值； （2）求函数 的单调区间； （3）若函数 在 ， 上有且仅有2个零点，求 的取值范围． 【解答】解：（1）因为 ， 则 （1） ，即 ，所以 ，经检验符合题意； （2） ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时，由 ，得 ， 若 ，则 ；若 ，则 ，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， 综上所述，当 时，函数 的增区间为 ， 当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ； （3）当 ， 时，由 可得 ，令 ，其中 ， ， 则直线 与函数 在 ， 上的图像有两个交点， ，当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减． 所以，函数 的极大值为 ，且 （1） ， ，如下图所示： 由图可知，当 时，直线 与函数 在 ， 上的图像有两个交点， 因此，实数 的取值范围是 ． 21．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）求函数 在区间 ， 上的最大值与最小值． 【解答】解：（1） 函数 ， ，由 ，解得 或 ； 由 ，解得 ； 函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ． （2）由（1）的单调性可得： 当 时， 取得极大值 ， 当 时， 取得极小值 （1） ， 又 ， （2） ． 在区间 ， 上的最大值为11，最小值为 ． 22．已知函数 ． （1）当 时，求 的极值； （2）若函数 至少有两个不同的零点，求 的最大值． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 当 时， ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极大值，极大值 ， 当 时，函数 取得极小值，极小值 （1） ；（2）若函数 至少有两个不同的零点， 此时方程 至少有两个相异实数根， 即方程 至少有两个相异实数根， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值也是最小值，最小值 ， 又 （1） ， 所以当 时， ， 因为 ， 所以在区间 ， 上存在一点 ，使得 ， 当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增，所以当 时，函数 取得极大值；当 时，函数 取得极小值，极小值 （1） ， 又 （1） ， ， 当 时， ， 此时 （1） ， 则当 时，函数 与直线 的图象至少有两个交点， 故 的最大值为 ． 23．已知函数 ． （1）求 在 处的切线； （2）若 ，证明当 时， ． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 （a） ， 切线斜率为 因为 （a） ， 所以切点为 ， 切线方程为 ，即 ； （2）证明：令 ， ， 所以 ， 所以 在 单调递增， ，， 所以 ， 所以 ， 所以要证 ，只需证明 ， 变形得 ， 因为 ， 所以只需证明 ，即 ， 两边同取对数得： ， 令 ， 则 ， 显然 在 递增， ， （2） ， 所以存在 ，当 时， （a） ， （a）递减， 当 时， （a） ， （a）递增； 因为 ， 所以 （a） 在 上恒成立，所以原命题成立． 24．已知函数 ． （1）当 时，求函数 在 ， 上的最大值和最小值； （2）试讨论函数 的单调性．【解答】解：（1）当 时， ， ， 令 ，得 或 ， 所以在 上， ， 单调递减， 在 ， 上， 单调递增， ， ， （1） ， （4） ， 所以 ， ． （2） ， 令 得 或 ， 当 ，即 时， ， 所以 在 上单递增， 当 ，即 时， 在 ， 上， ， 单调递增， 在 上， ， 单调递减， 当 ，即 时， 在 ， 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减， 综上所述，当 时， 在 上单递增， 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． 25．已知函数 有两个零点． （1）求 的取值范围； （2）设 ， 是 的两个零点，证明： ． 【解答】解：（1） ， ， 当 时， ， 在 上递增， 至多一个零点； 所以 ，且 时， ； 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 须有 ， ． 又 时， ； 时， ． 所以 有两个零点， 的取值范围为 ． 证明：（2）不妨设 ，由 ，则 ． 设 ， ， 因为 ， ，即 ，所以 在 上单调递增，又 ， 所以 ， ， ． 又 ， ． 又 ， ， 在 上递减， 所以 ，即 ， 所以 ． 26．已知函数 ． （1）若函数 在区间 上恰有两个极值点，求 的取值范围； （2）证明：当 时，在 上， 恒成立． 【解答】解：（1）由已知可得， ， 由 可得， ． 令 ，则 ， 当 时，有 ，所以 ，所以 在 上单调递减． 又 ， 所以 在 上的值域为 ； 当 时，有 ，所以 ，所以 在 上单调递增．又 ，所以 在 上的值域为 ． 作出函数 在 的图象如下图所示， 由图象可知，当 时， 有两解， 设为 ， ，且 ， ． 由图象可知，当 时，有 ，即 ； 当 时，有 ，即 ； 当 时，有 ，即 ． 所以， 在 处取得极大值，在 处取得极小值． 综上所述， 的取值范围为 ． （2）构造函数 ， ，则 ， 令 ，则 在 时恒成立， 所以即 在 上单调递增，所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 ，所以，当 时， ． 因为 ，故在 上， ． 令 ，则 ， 令 ， ， 故 ，即 为增函数，所以 ， 所以 为增函数，所以 ， 即 ，即 ， 所以， ． 又 ， 所以，当 时，有 ； 在 上，因为 ， ， 所以 ． 令 ， 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以当 时，有 ， 所以 ．又 ，所以 ． 综上所述，在 上， 恒成立． 27．已知函数 ． （1）当 时，求函数 的极值； （2）函数 的图象与 轴交于两点 ， ， ， ， ， 且 ，证 明： ． 【解答】解：（1）当 时， ， ， 求导得 ， 令 得， ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以当 时， 取得极大值 （1） ，无极小值； 根据定义域，容易得到在 处取得最大值，得到函数的最大值为 ． 证明：（2）根据条件得到 ， ， 两式相减得 ， 即 ， 因为 ， 所 以因为 ，所以 ，要证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 设 ，原式即证 ， 即证 ， 构造 ，则 ， 因为 ，所以 恒成立， 所以 在 上单调递减， 所以 （1） 得证． 28．已知函数 ，其中 为实数， 为自然对数底数， ． （1）已知函数 ， ，求实数 取值的集合； （2）已知函数 有两个不同极值点 、 ． ①求实数 的取值范围； ②证明： ．【解答】解：（1）由 ，得 ， 当 时， ，不合题意， 当 时，当 ， 时， ， 单调递减， 当 ， 时， ， 单调递增， ， 要 ，只需 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， （1） ，则由 ，得 ， ，故实数 的取值的集合为 ； （2）①由已知 ， ， 函数 有两个不同极值点 、 ． 有两个零点， 若 时，则 在 上单调递增， 在 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去， 当 时，由 ，得 ，令 ， ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减，， （1） ，当 ， ， ， ， 故实数 的取值范围 ， ； ②证明：设 ．由①得 ． ， ， ， ，取对数得 ， 令 ， ，则 ，即 ， ． 令 ，则 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 令 ，则 ， 在 上单调递增， 又 （1） ， 时， （1） ，即 ， ， ， 在）1， 上单调递增， ， ，即 ． ， 故 成立． 29．已知函数 有两个零点 ， ，且 ， （1）求 的取值范围；（2）证明： ． 【解答】解：（1）因为 的定义域为 ， 所以 ． 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增， 故 不可能有两个零点，故舍去； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，要使 有两个零点，则 ， 解得 ， 又 ， 设 ， ， ， 所以 在 单调递减， 所以 （2） ， 所以 ， 所以 ， 所以当 时， 在 和 上各有一个零点 ， ， 且 ，所以 ，由 单调性知： 当 ， 时， ；当 ， 时， ；因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，而 ，所以 ，所以 ， 令 ， ， 则 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 ． （2）只需证 ， 由题意： ，设 ， ． 所以 ，即 ，所以 ， ，即 ，所以 ， 令 ， ， 令 ， ， 设 ， 所以函数 在 单调递增， （1） ， 在 单调递增，（1） ， 在 单调递增， （2） ． ， ， ，（由于 ，此处无法取得等号），得证． 30．已知 的两个极值点分别为 ，2． （1）求 ， 的值； （2）求函数 在区间 ， 上的最值． 【解答】解：（1）由题意可得： ， 则 ， 解得 经检验， ，2为函数 的极值点， 故 ， ． （2）由（1）知 ， ． 令 ，解得， 或 ； 令 ，解得 ， 则 的递增区间为 ， ，递减区间为 ， 因为 ， ， 所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减， 则函数 在区间 ， 上的最大值为 ，又因为 ， （2） ，即 （2）， 则函数 在区间 ， 上的最小值为 （2） ， 故函数 在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 （2） ． 31．已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （ 2 ） 函 数 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ， ， 证 明 ： ． 【解答】解：（1） ， 当 时， ，则 在 为增函数， 当 时，令 得 ， 当 时 ，当 时， ， 在 为减函数，在 为增函数， 综上：当 时， 在 为增函数； 当 时， 在 为减函数，在 为增函数． （2）证明： ， ， 则 ， ， ， 要证 ，只要证 ，即证 ，， ， 只要证 ，只要证 ， 设 ，则只要证 ， 只要证 ， 设 ，则 ， ， 为减函数， （1） ， 为增函数， （1） ， 成立， 原式得证． 32．已知函数 ， 为常数，且 ． （1）判断 的单调性； （2）当 时，如果存在两个不同的正实数 ， 且 ，证明： ． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， ， 设 ， △ ，即 时， 恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，△ ， 即 时 ， 方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 根 ， 且 ， ， 所以任意 ， ， ， 单调递增， 任意 ， ， ， ， 单调递减， 任意 ， ， ， ， 单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）证明：因为 （1） ， 所以 （1）， 由（1）可得 时， 在 上单调递增， 不妨设 ， 要证 ，即证 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 设 ， ，， 所以 时， ， 单调递增， 所以 （1） （1） ， 所以 ． 33．已知函数 在 处有极值． （Ⅰ）求 的值并判断 是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）求函数 在区间 ， 上的最值． 【解答】解：（Ⅰ） ， 若函数 在 时取得极值， 则 （2） ，解得： ， 时， ， 令 ，解得： 或 ， 令 ，解得： ， 在 递增，在 递减，在 递增； 是极小值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）得： ， 在 ， 递减，在 ， 递增， 在最小值是 （2） ， 的最大值是 ． 34．已知函数 在 时取得极大值4． （1）求实数 ， 的值；（2）求函数 在区间 ， 上的最值． 【解答】解：（1） ，由题意得 ，解得 ， ， 此时 ， ， 当 时， ，所以 在 单调递增， 当 时， ，所以 在 单调递减， 当 时， ，所以 在 单调递增， 所以 在 时取得极大值． 所以 ， ． （2）由（1）可知， 在 ， 单调递增，在 单调递减，在 ， 单调递增． 又因为 ， ， ， （1） ， 所以函数 在区间 ， 上的最大值为4，最小值为0． 35．已知函数 ． （1）当 时，求 在 ， 上的最值； （2）讨论 的单调性． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 当 时， ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极大值，极大值 ， 当 时，函数 取得极小值，极小值 （2） ， 又 ， （4） ， 所以 在 ， 上的最大值为32，最小值为 ； （2）易知 ， 若 ，即 时， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 若 ，即 时， ， 单调递增； 若 ，即 时， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 综上，当 时，函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减． 36．已知函数 ． （Ⅰ）求 的图象在点 ， （1） 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当 时， ． 【解答】解：（Ⅰ） ， 则 （1） ， 又 （1） ， 则 的图象在点 ， （1） 处的切线方程为 ； （Ⅱ）证明： ，即 ，即 ， 设 ，则 ， 易知当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 则 ， 则当 时， ． 37．已知函数 ． （Ⅰ）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围；（Ⅱ）当 时，判断0是否为函数 的极值点，并说明理由； （Ⅲ）判断 的零点个数，并说明理由． 【解答】解： ，则 ， 若 在 上是增函数，即 恒成立，得 ， 设 ， ， 得 ， 得 ， 即 在 递减，在 递增，则 ， 故 ，即 ， ． （Ⅱ）当 时， ， ， 得 ， 则 递增， ， 则 时， ， 时， ， 则 在 上递减，在 上递增， 故 是函数的极小值点． （Ⅲ）令 ，即 ，显然 是函数 的一个零点， 时， ， 无零点，故 有1个零点， 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ， 故 时， 有2个零点，分别为 ，0， 时， 个零点，为0， 时， 个零点，为0， ，综上： 或 时， 个零点，为0， 或 时， 个零点，为0， ． 38．（1）已知函数 ，指出函数 的单调性．（不需要证明过 程）； （ 2 ） 若 关 于 的 方 程 在 有 实数解，求实数 的最大值． 【解答】解：（1）当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． （2）因为 ， ， 令 ， ， 则 ， ， 则原方程化简为 ， 因为 ， 所以 ， 令 ， 由（1）及 ， ，知 ， ，所以 ， 由（1）知关于 的函数在 ， 上单调递减， 所以当 时， 的最大值为 ． 39．已知函数 ， ， ．若 在 处与直线 相切． （1）求 ， 的值； （2）求 在 ， （其中 为自然对数的底数）上的最大值和最小值． 【解答】解：（1） 函数 ， ， 函数 在 处与直线 相切， ，解得 ； （2）由（1）可得 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，在 处取得极大值即最大值， 所以 （1） ， 又 ， ， 所以 ． 40．已知函数 ， ．（1）若 ，求函数 的图象在 ， 处的切线方程； （2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）当 时， ， 则 ， ， 又 ， 函数 的图象在 ， 处的切线方程为 ，即 ． （2） ， 令 ， 则 ， ， ，则 单调递增， ， ①当 时， ， 在 ， 上单调递增， ， 对任意的 ， 恒成立， ，解得 ， ， ②当 时，存在 ，使 ，即 ，即 ， 当 ， 时， ， 上单调递减，当 ， 时， ， 上 单调递增，对任意的 ， 恒成立， ， ， ， 又 ， ， 设 ， ， 则 ， 在 ， 上单调递减， ， 即 ， ， 综上所述， 的取值范围为 ， ． 41．已知函数 ． （1）若 的单调递减区间为 ，求实数 的值； （2）若函数 在 ， 单调递减，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得 ， 因为 的单调递减区间为 ， 即 的解集为 ， 故 ，1是 的两根，即 ， ， 当 时， ， 由 ，解得 ， 等号仅在 ，1时取得，即 的单调递减区间为 ，符合题意， 故 ． （2）函数 在 ， 单调递减，即 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 此时 ， 即 在 ， 上恒成立， 而 ， 故 ， 经验证当 时， 即 ， ，等号仅在 ，1时取得， 此时函数 在 ， 单调递减，符合题意， 故实数 的取值范围是 ， ． 42．已知函数 ，其中 为常数，函数 是其导函数，且满足 （2） ， ． （1）求函数 的解析式；（2）若函数 在某点处的切线过点 ，求该切线的一般式方程． 【解答】解：（1）由 ，得 ， 又 （2） ， ， ，解得 ， 函数 的解析式为 ； （2） ， 点 不在函数 的图象上，即其不是切点，设切点为 ， ． 由 ，得 ，即切线的斜率为 ． 又 该切线过点 ， ，解得 或 ． 当 时， ，此时切线方程为 ； 当 时， ，此时切线方程为 ，即 ． 综上所述，所求切线的一般式方程为 或 ． 43．已知函数 ， ． （Ⅰ）求 的极小值； （Ⅱ）若对任意的 ， ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ） ， ， 令 ，解得 或 ，令 ，解得 ， 故 在 递增，在 递减，在 递增， 故 （2） ． （Ⅱ）若对任意的 ， ， ，不等式 恒成立， 则 在 ， 恒成立， 结合（Ⅰ） ， 时， 在 ， 递减，在 ， 递增， 故 （2） ， 由 ，得 ， ① 时， ， 在 ， 递增， 故 （e） ， 则 ，解得 （舍 ， ② 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在 递增，在 ， 递减， ，即 时， 在 ， 递减， （1） ， 则 ，则 ； ，即 时， 在 ， 递增，在 ， 递减， 故 ， 则 ，解得 （舍 ；，即 时， 在 ， 递增， 故 （e） ， 故 ，解得 （舍； 综上： 的取值范围是 ， ． 44．已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1） ， 当 时， ， 单调递增， 当 时，令 ，得 ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 ， 上， ， 单调递减， 综上所述，当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）对任意的 ，都有 恒成立， 即任意的 ，都有 恒成立， 所以任意的 ，都有 对 恒成立， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 又 （1） ， ， 所以存在 ， ，使得 ，即 ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 ， 上 ， 单调递增， 由 ，得 ， 设 ， ， ， 所以 在 上为增函数， 所以由 ，得 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 的取值范围为 ． 45．已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；（Ⅱ）若 在区间 ， 上的最小值为0，求 在该区间上的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）当 时， ， 则 ， （1） ， （1） ， 故曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，即 ； （Ⅱ）函数 ， 则 ， ， ， 故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ， 在 的极小值也为该函数的最小值， 故 ，解得 ， 所以 ， ， （4） ， 故 在该区间上的最大值为20． 46．设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ． （1）求实数 ， 的值． （2）证明： ． 【解答】解：（1） ， ，， 函数 的图象在点 处切线的斜率为 ， （1） ， （1） ， 解得 ． （2）证明：要证明 ． 即证明 ，化为 ． 令 ， ， ， ， 可得函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 时，函数 取得极小值即最小值， ． ， 可得函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 时，函数 取得极大值即最大值， ． ， ， ， ． 47．已知函数 ． （1）若 是函数 的极小值点，求 的值； （2）讨论 的单调性．【解答】解：（1） ， 令 ，得： ， ， 由于 是函数 的极小值点，所以 （1） ，即 ， 此时因为 时， ， 在 上单调递增， 时， ， 在 上单调递减， 时， ， 在 上单调递增， 所以 是函数 的极小值点，故 满足题意． （2） 时 或 ， 时， 的解为 或 ，此时 在 ， 和 ， 上单调递增； 的解为 ，此时 在 ， 上单调递减； 时， 的解为 或 ，此时 在 ， 和 上单调递增； 的解为 ，此时 在 ， 上单调递减； 时， 恒成立，此时 在 上单调递增． 48．已知函数 ， ． （1）设 ，求函数 的极大值点； （2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）函数 ，求导得 ，由 ，得 ，当 时， ，即 ，函数 单调递增； 当 时， ，即 ，函数 单调递减， 因此函数 在 处有极大值， 所以函数 的极大值点为 ． （2）依题意， ， ，不等式 ， 当 时， 成立，则 ， 当 时， ， ， 令 ， ， 求 导 得 ， 令 ， ， 求 导 得 ， 因 此 在 上 单 调 递 增 ， 即 有 ， 而 ， 又函数 在 上的值域是 ， ，则函数 ，即 在 上的值域 是 ， ， 当 时， ，当且仅当 ， 时取等号，于是函数 在 上单调 递增， 对 ， ，因此 ，当 时，存在 ，使得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，不符合题意， 所以 的取值范围为 ， ． 49．已知函数 ， ． （Ⅰ）当 时，证明 ； （Ⅱ）若直线 是曲线 的切线，设 ，求证：对任意的 ，都有 ． 【解答】证明：（Ⅰ）当 时，设 ， 则 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 故 ，故 成立． （Ⅱ）由已知得 ，设切点为 ， 则 且 ，解得： ， ， 所以 ， ， 要证 ， 即证 ， 即证 ，即证 ，令 ， ，原不等式等价于 ，即 ， 设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增， 所以 ，所以 成立， 所以对任意 ，都有 ． 50．已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 有且仅有2个零点，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ， 时， 恒成立， 在 上是增函数； 时， 时， ， 是减函数， 时， ， 是增函数； 综上， 时， 在 上是增函数， 时， 在 上是减函数，在 上是增函数； （2）当 时，由（1）得 在 上是增函数，不符合题意； 当 时，由（1）得 ； ①当 时， ， 只有一个零点，不符合题意； ②当 时， ，故 在 有一个零点， 又 在 上是增函数，设 （a） （a） ， （a） （a） ， （a） （1） ， （a）在 单调递增， （a） （1） ， （a）在 单调递增， （a） （a） （1） ， 设 ，由 知， 当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增， （1） ，即 ， 故 在 有一个零点，故函数有两个零点； ③当 时， ，故 有一个零点， 又 在 上是减函数， ，由②得 ， 故 在 有一个零点，故函数有两个零点； 综上， 或 ， 实数 的取值范围为 ， ， ． 51．已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程． （2）若 在定义域上恒成立，则 的取值范围． 【解答】解：（1）函数 ． ， （1） ， （1） ， 所以曲线 在 处的切线方程： ，即 ．（2） ，令 ．可得 ， 时， ，函数是减函 数， ， 时， ，函数是增函数， 所以 时，函数取得最小值，可得 ． 所以 ．即 ， ． 52．已知函数 ． （1）求函数 的极值点； （2）若 在 ， 上单调递减，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ，定义域是 ， ， 令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 递减，在 ， 递增， 故 是函数的极小值点，无极大值点； （2）若 在 ， 上单调递减， 则 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 令 ， ， ，则 ， 令 ， ， ， 则 ， 令 ，则 ， 故 ，故 ， 在 ， 单调递减， 故 （1） ，故 ， 在 ， 单调递减， 故 （1） ， 故 的取值范围是 ， ． 53．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个相异零点 ， ，求证： ． 【解答】解：（1）由题意得 的定义域是 ， ， 当 时， ； 当 时，由 得 ，由 得 ， 综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； （2）证明：因为 有两个相异的零点，又由于 ，故不妨令 ，且有 ， ， ， ， 要证 ， 令 ，则 ， 故只要证明当 时， 恒成立， 令 ， ， 则 ， 故 在 上单调递增， （1） ， 时， 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立，从而证明 ， 故 ． 54．已知函数 ， 为自然对数的底数． （1）求曲线 在 处的切线方程；（2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的值； （3）若关于 的方程 有两个实根 ， ，求证： ． 【解答】解：（1）对函数 求导得 ， ， 又 ， 曲线 在 处的切线方程为 ， 即 ； （2）记 ，其中 ， 由题意知 在 上恒成立， 下面求函数 的最小值， 对 求导得 ， 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： ， 0 递减 极小值 递增 ， ， 记 ，则 ，令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： 1 0 递增 极大值 递减 （1） ， 故 当且仅当 时取等号， 又 ，从而得到 ； （3）证明：先证 ， 记 ，则 ， 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： ， 0 递减 极小值 递增 ， 恒成立，即 ， 记直线 ， 分别与 交于 ， ， ， ， 不妨设 ，则 ， 从而 ，当且仅当 时取等号，由（2）知， ，则 ， 从而 ，当且仅当 时取等号， 故 ， 因等号成立的条件不能同时满足，故 ． 55．已知函数 ， ． （Ⅰ）若 在区间 上恰有一个极值点，求实数 的取值范围； （Ⅱ）求 的零点个数； （Ⅲ）若 ，求证：对于任意 ，恒有 ． 【解答】解：（Ⅰ）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值， 若 在区间 上恰有一个极值点， 此时 ， 解得 ， 则实数 的取值范围为 ； （Ⅱ）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值， 当 时， ， 即 ， 此时函数 在 上无零点； 当 时， 易知 ， （e） ， 所以函数 在 ， 上存在唯一一个零点， 综上， 有1个零点； （Ⅲ）证明：若 ， 此时 ， 若对于任意 ，恒有 ， 此时 在 上恒成立， 即证 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，所以当 时，函数 取得极小值也是最小值，最小值 （1） ， 则 ， ， 故对于任意 ，恒有 ． 56．已知 ． （1）若 在区间 ， 上单调递减，求实数 的取值范围； （2）设函数 在 ， 上有两个零点，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）已知 ， 可得 ， 若函数 在区间 ， 上单调递减， 此时 在区间 ， 恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 ， 所以函数 在定义域上单调递增， 此时 （1） ， 所以 ， 即 ， 则实数 的取值范围为 ， ；（2）若函数 在 ， 上有两个零点， 可得 在 ， 上有两个不等的实根， 即 在 ， 上有两个不等的实根， 不妨设 ， 易知函数 为开口向上的二次函数，对称轴 ， 要使函数 与 轴有两个交点， 此时△ ，且 ， 需满足 ， 解得 ， 则实数 的取值范围为 ， ． 57．若对任意的实数 ， ，函数 与直线 总相切，则称函数 为“恒切函数”． （1）判断函数 是否为“恒切函数”； （2）若函数 是“恒切函数”，求实数 ， 满足的关系式； （3）若函数 是“恒切函数”，求证： ． 【解答】解：（1）根据题意，若函数 为“恒切函数”，设切点为 ， ． 则 ，即 ． 对于函数 ， ．设切点为 ， ，则有 ， 解得： ． 故 是“恒切函数”； （2）若函数 是“恒切函数”，设切点为 ， ． 则 ，则有 ， 解得： ，即 ． 故实数 ， 满足的关系式为： ； （3）证明：根据题意，函数 是“恒切函数”，设切点为 ， ． 又由 ，则 ， 则有 ，即 ． 考查方程 的解， 设 ． ，令 ，解得： ． 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． ； 当 时 ， ， ， 在上有唯一零点 ． 又 ， 则 ． 当 时 ， 在 上有唯一零点0， 则 ． 综上可知： ． 58．已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，证明：当 时， ． 【解答】解：（1） ， ①当 时， ， 所以当 ， ， 当 ， ， 所以 增区间为 ，减区间为 ， ②当 时， 得 ， 若 ，即 时， 恒成立， 所以 为 上的增函数 若 ，即 时，令 ，得 或 ， 令 ，得 ， 所以 增区间为 ， ，减区间为 ， 若 ，即 时， 令 ，得 或 ， 令 ，得 ， 所以 增区间为 ， ，减区间为 ， 综上得：当 时， 增区间为 ，减区间为 ， 当 时， 增区间为 ， 当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ， 当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ． （2）证明：当 时，要证 ， 即证 ， 即证 因为 ， 令 ， ， 所以 ， 令 ，得 ，所以在 上 ， 单调递增， 在 ， 上 ， 单调递减， 所以 最大值为 ， 所以 ，得证． 59．已知函数 ． （1）证明：函数 有唯一的极值点 ，及唯一的零点 ； （2）对于（1）问中 ， ，比较 与 的大小，并证明你的结论． 【解答】解：（1）证明：已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减， 又 ， ， 所以函数 在 ， 上有且仅有一个零点，无极值点； 当 时，不妨设 ， 可得 ， 易知函数 和 在 上单调递减， 所以 单调递减， 又 ， ，此时在区间 上存在一点 ，使得 ， 当 时， ， 单调递增， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 单调递减， 又 ， ， 所以当 时， 恒成立， 且在区间 ， 上存在一点 ，使得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以当 时，函数 取得极大值， 又 ， ， 所以当 时， 恒成立，函数 零点， 综上，函数 有唯一的极值点 ，及唯一的零点 ； （2）由（1）知 ， ， 因为 是函数 的极值点， 所以 ， 即 ， 此时 ， 不妨设 ，函数定义域为 ，可得 ， 所以函数 在定义域上单调递增， 此时 ， 即 ， 则 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 所以函数 在定义域上单调递减， 此时 ， 则 ， 又函数 在 ， 上单调递减， 故 ． 60．已知函数 ， 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）求函数 的极值的最大值． 【解答】解：（Ⅰ） 函数 ， 为自然对数的底数）， 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时，令 ，得 ，当 ， 时， ，当 ， 时， ， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增． 综上，当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时， 无极值， 当 时， 存在极小值，且极小值为 ． 无极大值， 设 ， ，则 ， 令 ，得 ， 当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 的最大值为 （1） ， 函数 的极值的最大值为1．