文档内容
重难点突破 01 圆中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：斜率型....................................................................................................................................2
题型二：直线型....................................................................................................................................3
题型三：距离型....................................................................................................................................3
题型四：周长面积型............................................................................................................................4
题型五：数量积型................................................................................................................................4
题型六：坐标与角度型........................................................................................................................5
题型七：长度和差型............................................................................................................................6
题型八：方程中的参数型....................................................................................................................7
03 过关测试...........................................................................................................................................81、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y−b
μ=
（1）形如
x−a
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
t=ax+by
（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
m=(x−a) 2 +(y−b) 2
（3）形如 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值
问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
【典例1-1】已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如果实数 ， 满足 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若实数 、 满足条件 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数 满足条件 ，则 的范围是（ ）A． B． C． D．
【变式1-3】已知 为圆 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：直线型
【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点 是圆 上的动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【典例2-2】已知点 是圆 ： 上的一动点，若圆 经过点 ，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2-1】点 在圆 上，则 的范围是 ．
【变式2-2】已知 ， 满足 ，则 的范围是 ．
【变式2-3】如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是 ； 的最大值
是 ．
题型三：距离型
【典例3-1】已知点P(m，n)在圆 上运动，则 的最大值为 ，最小
值为 ， 的范围为 ．
【典例3-2】直线 过定点Q，若 为圆 上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知 ，点 在圆 上运动，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．32
【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆 上的点到直线 的距离的最大值为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．9
【变式3-3】已知 ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆 ，点 是 上的动点，过 作圆
的切线，切点分别为 ，直线 与 交于点 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
题型四：周长面积型
【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线 与圆 交于
A，B两点，则当 周长最小时，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
【典例4-2】在直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，则 面积
的范围为
【变式4-1】若圆C的方程为 ，则圆C的最小周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知点 在直线 上运动，且 ，点 在圆 上，则
的面积的最大值为（ ）
A．8 B．5 C．2 D．1
题型五：数量积型
【典例5-1】已知 是半径为5的圆 上的两条动弦， ，则 最大值是
（ ）A．7 B．12 C．14 D．16
【典例5-2】在 ABC中，BC＝2， ，D为BC中点，在 ABC所在平面内有一动点P满足
△ △
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知圆 的弦 的中点为 ，点 为圆上的动点，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C．8 D．
【变式5-2】在矩形 中， ， ， 为矩形 所在平面内的动点，且 ，则
的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
题型六：坐标与角度型
【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使
0 0
∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
【典例6-2】已知 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线 ： 与圆 ： ，过直线 上的任意
一点 作圆 的切线 ， ，切点分别为A， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知 是圆 上一点，，则 的正切值的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式6-4】已知圆D： 与x轴相交于A、B两点，且圆C： ，点
．若圆C与圆D相外切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：长度和差型
【典例7-1】已知复数 ， ， ， ， ， ，若 ，且 ，则
的最大值为 ．
【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆 上两点 ， ，O为坐标原点，
若 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．12
【变式7-1】设A为直线 上一点，P，Q分别在圆 与圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】在定圆 内过点 作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则
的范围是（ ）
A． B．
C． D．【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C： ，直线l： ，
若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：方程中的参数型
【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且
与 相切的圆上，则 的最大值为 ；若 ，则 的最大值为
.
【典例8-2】如图，在直角梯形 中， ，点M在以 为直径的半圆
上，且满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式8-1】已知 ， ， ， ，则 面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】已知过点 的动直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的切线，两切
线交于点 .若动点 ，则 的最小值为 ．1．（多选题）已知实数x，y满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最大值为 D． 的范围是
2．（多选题）已知圆 ，点 为圆 上一动点， 为坐标原点，则下列说法中正
确的是（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．直线 的斜率范围为
D．以线段 为直径的圆与圆 的公共弦方程为
3．（多选题）点 是圆 上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B． 既没有最大值，也没有最小值
C． 的范围是
D． 的最大值为72
4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知 ， ，动点C满足 ，记 的轨
迹为 .过 的直线与 交于 两点，直线 与 的另一个交点为 ，则( )
A． 关于 轴对称 B． 的面积的最大值为
C．当 时， D．直线 的斜率的范围为
5．（多选题）若实数 、 满足条件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 的范围是 B． 的范围是
C． 的最大值为1 D． 的范围是6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被
后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，
且其“欧拉线”与圆M： 相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线 的最小距离为
B．圆M上点到直线 的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为 的点有且仅有2个
D．圆 与圆M有公共点，则a的范围是
7．（多选题）设点 为圆 上一点，已知点 ， ，则下列结论正确的有
（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．存在点 使
D．过 点作圆 的切线，则切线长为
8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线 ，圆
为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为5
B． 的最大值为
C．直线 与圆 相切时，
D．圆心 到直线 的距离最大为4
9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼
斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常
数 （ ，且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知
，点M满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72
C．若 ，则 的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
10．（多选题）已知点 在圆C： 上，点 ， ，则（ ）
A．直线 与圆 相切
B．点 到直线 的距离小于7C．当 最大时，
D． 的最小值小于15°
11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知 为直线 上的一点，动点 与两个定点
， 的距离之比为2，则（ ）
A．动点 的轨迹方程为 B．
C． 的最小值为 D． 的最大角为
12．（多选题）已知点 在圆 上，点 是直线 上一点，过点 作圆 的
两条切线，切点分别为 、 ，又设直线 分别交 轴于 ， 两点，则（ ）
A． 的最小值为 B．直线 必过定点
C．满足 的点有两个 D． 的最小值为
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线 上一点 作圆 的两条
切线，切点分别为 ，则线段 的长度的范围是 ．
14．已知 与 相交于点 线段 是圆 的一
条动弦，且 则 的范围为
15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足
，则 的范围为 .
16．（2024·江西宜春·一模）已知点 ，若圆 上存在点 满足
，则实数 的取值的范围是 .
17．已知 若圆 上存在点P，使得 ，则
m的范围 ．
18．（2024·上海·一模）已知点 为圆 的弦 的中点，点 的坐标为 ，且 ，
则 的范围是 ．
19．已知 ， ，若圆 （ ）上恰有两点 ， ，使得 和 的面积
均为 ，则 的范围是 ．
20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 .21．已知圆 ，动点 在圆 上，则 面积的最大值为
．
22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点 ， 为圆 上一动点， 为直线 上一
点，则 的最小值为 .
23．已知 满足 ，则函数 的最小值为 ．
