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专题 7.6 向量法求空间角和距离
目录
题型一： 异面直线所成角...............................................................................................................2
题型二： 直线与平面所成角...........................................................................................................9
题型三： 平面与平面的夹角.........................................................................................................18
题型四： 点到平面的距离.............................................................................................................26
知识点总结
知识点一、用空间向量研究距离、夹角问题
分类 图示 计算公式
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
异面直线所成
的角
＝
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
直线与平面所
夹
成的角
＝
角
cos θ＝|cos〈n，n〉|＝
1 2
两个平面的夹
角
＝
距
点到直线的距 PQ＝＝(u是直线l的单位方向
离 向量)
离PQ＝＝
点到平面的距
离
＝(n是平面α的法向量)
例题精讲
题型一：异面直线所成角
【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和
异面直线所成角的范围即可求得答案．
【例1】在长方体 中，已知 ，点 是线段 的中点，则
异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ， ，
由几何体的特征可得 ，
所以异面直线 与 所成角为 ，设 ，则 ， ，
所以 ， ，
，
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【变式训练1】在正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与
所成角的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 与 所成角为 ．
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ．则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
， ，0， ， ，
设 ，
则 ， ．
， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
此时 ， ，
当且仅当 时等号成立．
．
故选： ．
【变式训练2】如图，在直三棱柱 中， ，则异面直线
与 所成角的余弦值等于
A． B． C． D．【解答】解：如图，将该几何体补成一个直四棱柱 ，由题易得底面
为菱形，且 为等边三角形．
连接 ， ，易得 ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所
成的角．
设 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】如图所示，在正方体 中， 为线段 上的动点，则下列
直线中与直线 夹角为定值的直线为
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解答】解：设正方体的棱长为1，如图，以 为原点，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
设 ， ， ， ， ，则 ， ，
， ， ，
，不是定值，故 错；
，不是定值，故 错；
，所以直线 与直线 所成角为 ，故 正确；
，不是定值，故 错．
故选： ．
【变式训练4】某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，
如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成
的角为 的位置有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：取正方体 的相邻两个面 ， ，
它们的中心分别为 ， ，是对应钟面圆心，0点时，两个钟面时针分别指向点 ， ，
显然 ，直线 ， 分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，
它们成 的角，即两个钟面时针分别指向点 时，两个时针所成的角为 ，
当两个钟面时针分别指向点 ， 时，有 ，
因此当时针从0点转到3点的过程中，两个时针所在直线所成的角从 逐渐增大到 ，
令成 角的位置时针分别指向棱 ， 上的点 ， ，
如图，建立空间直角坐标系，令 ，
则 ，1， ， ，2， ，设 ，
显然 ，则 ， ， ， ，2， ，
， ，
，解得 ，
因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为 的位置有1个，
同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为 的位置
各有1个，
所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为 的位置有4个．
故选： ．【变式训练5】正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，则 ，
则 （或其补角）为异面直线 与 所成角，
设正方体的棱长为 ，则在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故选： ．
题型二：直线与平面所成角
【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向
量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所
成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的
夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是.
【例2】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为
， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：（法一）
取 的中点 ，连接 ， ，
因为直三棱柱 中， 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 ， 分别 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（法二）
取 的中点 ，连接 ， ，
由直三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
又因为 为 的中点，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．因为点 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
而 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为在直三棱柱 中又有 ，
所以 ， ， 两两垂直，分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图
所示的空间直角坐标系：
则 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，1， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的法向量，
则 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成的角的余弦为 ．
【变式训练1】如图，在三棱台 中， 是等边三角形， ，
，侧棱 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点（不含端点
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成的锐角的余弦值为 ，试判断 点的位置．
【解答】（1）证明：因为 是等边三角形，点 是 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）解：在平面 中，作 ，以 为坐标原点，， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
因为 为等边三角形， ， ，
则 ， ， ，0， ，
因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
可得 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
可得 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，又因为 ，解得 ，
即平面 与平面 所成的锐角的余弦值为 时， 点与 重合．
【变式训练2】如图，在多面体 中，四边形 是一个矩形， ，
， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：设 ，连接 ，
由于 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：依题意，面 面 ， ，
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面 的法向量为 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ．
【变式训练3】如图，已知在四棱锥 中， 平面 ，点 在棱 上，且
，底面为直角梯形， ， 分
别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴
建立空间直角坐标系 ，
由题意可得： ， ，1， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
则有： ，
令 ，则平面 的法向量 ，2， ，
，又 平面 ，
平面 ．
（2）设 ， ， 为平面 的法向量，
又
则有： ，
令 ，则平面 的法向量 ，1， ，
又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．【变式训练4】如图，在三棱锥 中， ，平面 平面 ，平面
平面 ， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）求二面角 的余弦值．
【解答】（1）证明：在线段 上任取一点 ，过点 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，从而 ，
同理，由平面 平面 ，可得 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：以 为原点，过 作平行于 的直线为 轴， ， 所在直线分别为 ，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则 ，1， ， ，1， ， ，0， ， ，， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 得 ，
令 ，得 ，0， ，
易知平面 的一个法向量为 ，0， ，
设二面角 的大小为 ，观察可得 为锐角，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 ．
【变式训练5】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，
为线段 的中点， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又底面 为正方形，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）以 点为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
则 ，0， ， ，2， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，可得 ，1， ，
易知 ，2， 是平面 的一个法向量，
所以 ， ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
题型三：平面与平面的夹角
【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下：
(1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内．
(2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标．
(3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量．
(4)利用夹角公式求得法向量的夹角．(5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角．
【例3】如图，四边形 是边长为1的正方形， 平面 ，若 ，则平面
与平面 的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 平面 ，且 为正方形，
故可建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方形边长为1， ，
则 ，0， 、 ，1， 、 ，0， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
取平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，又 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知二面角 的平面角为
与平面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【解答】解：作 ，垂足为 ，连接 ，
，即 ， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ，故平面 ，平面 ，
为 在 内的射影，则 为 与平面 所成角，即 ，
， ，
为二面角 的平面角，即 ，
，
在 中，由正弦定理有：，
，
，又 ，
， ，又 ，
，即 ， ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余
弦值．
【解答】证明：（1）设 交 于 ，底面 是菱形，
则 ， 是 中点，
又 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，
则平面 平面 ．
（2） ， ，
不妨设 ，则 ， ， ，又 ，则 ，所以 ，
所以 ，
以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，1， ， ， ， ， ， ，0， ，
， ， ， ，
设平面 的一法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
同理，求得平面 的一法向量 ，
设平面 和平面 所成锐角为 ，
则 ，
所以，平面 和平面 所成锐角的余弦值为 ．
【变式训练3】如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，已
知 ， 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结 交 于 ，连结 ，
因为 为正方形，所以 是 中点，
又 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ， 为正方形，所以 ， ， 两两垂直．
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，
， ， ， ，
设 ， ， 是平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，可得 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角正弦值为 ；
（3）设 ， ， 是平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，可得 ，1， ，则 ， ，
显然二面角 是钝二面角，故其余弦值为 ．
【变式训练4】如图，平面 平面 ，点 为半圆弧 上异于 ， 的点，在
矩形 中， ，设平面 与平面 的交线为 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当 与半圆弧 相切时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明： 四边形 为矩形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ， 平面 ；
（Ⅱ）解：取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，则 ，
平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，
又 平面 ， ，当 与半圆弧 相切时， ，即 ，
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，易得 ， ， ， ，2， ， ， ， ， ，0， ，
则 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ， ，
令 ，得 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，得 ，
，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
【变式训练5】如图，四棱柱 中，底面 为正方形， 与 交于
点 ，平面 平面 ， 与底面 所成的角为 ．
（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：过 作 于 ，因为平面 平面 ，
又平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，所以 ，
又因为底面 为正方形， ，
所以 ，又 ， 是 中点，
可知 ， 为同一点，所以 平面 ；
（2）解：因为底面 是正方形，所以 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
设平面 的法向量是 ，则 ， ，
则有
令 ，得 ，
因为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
则有 令 ，得 ，
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
题型四：点到平面的距离
【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法：
①两点间的距离：设点A(x，y，z)，点B(x，y，z)，则AB＝|AB|＝；
1 1 1 2 2 2
②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则
B到平面α的距离为|BO|＝.
【例4】如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， 分别
在棱 ， ， 上， ， ， ，则点 到平面 的距离为A． B． C． D．
【解答】解：在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， 分别在
棱 ， ， 上， ， ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，点 到平面 的距离为 ．
故选： ．
【变式训练1】如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，
其中 ， ， ， ，则点 到平面 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间
直角坐标系 ，
则 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，4， ， ，4， ， ，4，
，
， ．
设 为平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ．
又 ，
点 到平面 的距离 ．故选： ．
【变式训练2】如图，点 为矩形 所在平面外一点， 平面 ， 为 的
中点， ， ， ，则点 到平面 的距离为
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，0， ， ，4， ， ，0， ， ，0， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
故 ，
所以点 到平面 的距离为 ．故选： ．
【变式训练3】正方体 的棱长为 ，则棱 到面 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ， ，设交点为 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 的长即为棱 到面 的距离，
由 ，知所求距离为 ．
故选： ．【变式训练4】在平行四边形 中， ， ， ，将 沿 折
起，使得平面 平面 ，则 到平面 的距离为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 ， ， ， 得
， ，
则 ， ，又四边形 为平行四边形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ，
在平面 内，作 于点 ， 平面 平面 ，平面 平面
，
平面 ，则 即为所求点 到平面 的距离，
在直角三角形 中， ，又 ，
．
到平面 的距离为 ．
故选： ．
【例5】正四棱柱 中， ， ， 为 中点， 为下底面正
方形的中心．求：（1）点 到直线 的距离；
（2）点 到平面 的距离．
【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，2， ， ，4， ， ，4， ， ，0， ，
，
所以 到直线 的距离为：
．
（2）由（1）得
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，可取 ， ，则 ，
可得 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
