文档内容
重难点突破 09 导数中的“距离”问题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................2
题型一：曲线与直线的距离................................................................................................................2
题型二：曲线与点的距离....................................................................................................................7
题型三：曲线与圆的距离....................................................................................................................8
题型四：曲线与抛物线的距离..........................................................................................................12
题型五：曲线与曲线的距离..............................................................................................................14
题型六：横向距离..............................................................................................................................19
题型七：纵向距离..............................................................................................................................23
题型八：直线与两曲线交点的距离..................................................................................................26
03 过关测试........................................................................................................................................28导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的
距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题
转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导
数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数 的最小值为 ，则正实
数 （ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【解析】 表示点 与点 的距离的平方，
点 在曲线 上，点 在曲线 上，
如图，可得 ，
设与 平行的直线与曲线 相切于点 ， ．
， ， ①
点 与点 的距离的平方的最小值等于点 ， 到直线 的距离．， ②
结合①②得 ， ，或 ， .
故选：D.
【典例1-2】若函数 ，函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.
∵
∴
∵直线 的斜率为1
∴令 ，解得 ，则 ，
即曲线 在 处的切线和直线 平行，
则最短距离为点 到 的距离 ，
∴ 的最小值为
故选：B
【变式1-1】点M是曲线 上的动点，则点M到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．由 ，所以 ，
易得函数 为在 上单调递增函数， 为零点，
此时M的坐标为 ，
由点到直线的距离公式可得M到直线 的距离的最小值为 .
故选:
【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点 分别是函数 图象上的动点，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当函数 在点 处的切线与 平行时， 最小.
，令 得 或 （舍），所以切点为 ，
所以 的最小值为切点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 .
故选：D.
【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】由题意，设函数 ，直线 ，
设直线 与函数 的切点为可得 ，可得 ，解得 ，可得 ，
即切点坐标为 ，则切点到直线 的距离为 ，
又因为 表示点 到直线 的距离为平方，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【变式1-4】已知函数 ， ，点 与 分别在函数 与
的图象上，若 的最小值为 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或3
【答案】A
【解析】因为 ，令 ，解得 ，
而 ，
则函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
则 ，即点 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， 与函数 的图象相交，
所以 .
故选：A.
【变式1-5】若实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】由 ，得 ，令 ，则 ，
令 得 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增；
由 ，得 ，令 ，
的图像如下图：则 表示 上一点 与 上一点 的距离的平方，
显然，当过M点的 的切线与 平行时， 最小，
设 上与 平行的切线的切点为 ，由 ，解得 ，
所以切点为 ，切点到 的距离的平方为 ，
即 的最小值为8；
故选：A.
【变式1-6】已知实数 ， ， ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由 得， ， ，即 ， ，
的几何意义为曲线 上的点 到直线 上的点 连线的距离的平方，
不妨设曲线 ，直线 ，设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为
，
显然直线 与直线 的距离的平方即为所求，
由 ，得 ，设切点为 ， ，
则 ，解得 ，
直线 与直线 的距离为 ，
的最小值为8．
故选：B.题型二：曲线与点的距离
【典例2-1】若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数 的值.因为 ,所以 由题意得
以A为圆心， 为半径的圆与曲线 相切于点B,设 ,则在B点处切线的斜率为 ，所以
，选D.
【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 ，P为曲线 上动点，若点A，
P间距离的最小值为 ，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，记 ，
，易知 是增函数，且 的值域是 ，
∴ 的唯一解 ，且 时， ， 时， ，即 ，
由题意 ，而 ， ，
∴ ，解得 ， ．
∴ ．
故选：C．
【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实
数 为 .
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，对函数 求导得 ，由题意可知，直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则 ，
得 ，
由两点间的距离公式得 ，
由于 的最小值为 ，即 ， ，解得 ，
因此， .
故答案为：
题型三：曲线与圆的距离
【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆 和曲线
上，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，即圆心 在 上，半径为 ，
故 的最小值等于 的最小值减去半径 ，
设 ，由于 与 关于 对称，
的最小值等于 到直线 的距离的最小值的2倍，
由 ，可得 ，令 ，解得 ，
故 在点 处的切线与 平行，此时 到 的距离最小，
最小值为 ，
故 的最小值为 ，
则 的最小值等于 .故答案为：
【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 且 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】代数式
可以看成点 到点 距离的平方，点 在平面直角坐标系 中，表示单位圆
上的点，
点 表示曲线 上的点，如下图所示：
，由 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，
此时直线 与直线 垂直于点 ，交圆于点 ，
由数形结合思想可以确定：
当点 运动到 点时，当点 运用到点 时， 有最小值，即
，故选：B
【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若 ，则 最小值为( )
A． B．9 C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 在以 为圆心，1为半径的圆上，
表示点 与点 的距离的平方，
即表示圆 上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设 为y＝lnx上一点，且在 处的y＝lnx的切线与 和 连线垂直，可得
，
即有 ，
由 在 时递增，且 ，可得m＝1，即切点为 ，
圆心与切点的距离为 ，
由此可得 的最小值为 ．
故选：C．
【变式3-2】若 ， 分别是函数 与圆 上的点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】设圆 的圆心为 ，半径为 ，
当 垂直于抛物线在点 处的切线时， 取得最小值，为 ，如图所示，设点 ，则直线 的斜率为 ，且 ，
由 知， ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
因为直线 与切线垂直，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 恒成立，所以 ，即 ，
此时 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式3-3】已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段
长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值．
设 图象上一点 ，令 图象上一点 的切线为
由 的导数为 ，即切线 的斜率为 ，
当 时，圆心 到函数 图象上一点的距离最小，
此时 ，即有 ，
由 ，可得 ， 递增，又 ，
所以 ， ，
所以点 到点 的距离最小，且为 ，
则线段 的长度的最小值为 ，
故选：A．题型四：曲线与抛物线的距离
【典例4-1】设 ，当a，b变化时， 的最小值为
_______.
【答案】 .
【解析】 ，
函数表示点 和 的距离加上 的纵坐标，
画出 和 的图像，如图所示：
故 ，当 共线时等号成立.
设 ，则 ， ，
当 时， ，故 ，函数单调递增；
当 时， ，故 ，函数单调递减.
，故 .
综上所述： 的最小值是 .
故答案为： .
【典例4-2】设 . ，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C【解析】由题可得：设 ，所以 为 上任意一点到 上任一点及抛物线焦点的
距离之和，所以距离表达式为 ,令 ， ，显然在
递减， 递增所以 ，故 最小值为
【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ， ，则点 在函数 图象上， 在函数 的图象上，
容易知道 图象是抛物线 图象的上半部分，
记抛物线焦点为 ，过 作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ，如图所示：
则 ，
当且仅当 在线段 上时，取最小值.
设这时 点坐标为 ，又 ，
所以有 ，解得 ，即该点为 ，
所以 ，因此 .
故选：A.
题型五：曲线与曲线的距离
【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为___________.【答案】
【解析】由于曲线 是由 向右平移1个单位得到的， 是由 现右平移1个单位
得到的，所以 的最小值可以看成曲线 上的点与 上的点间的最小值，
因为 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
所以所求的最小值为曲线 上的点 到直线 的最小距离的2倍，
设与直线 平行的直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，由 ，得 ，
所以切点 ，
所以点 到直线 的最小距离为 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
【典例5-2】设 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由两点距离公式的几何意义可知 表示点 到 的距离，
表示点 到 的距离，
而 是 上的点， 是 上的点， 是 上的点，且 与 关于
直线 对称，
所以 的最小值可转化为 图像上的动点与 图像上的动
点最小距离，
显然， 与平行 的切线 的切点 ，和 与平行 的切线 的切点 ，它们之间的距离
就是所求最小距离，
对于 ，设切点为 ，有 ，则 ，故 ，则 ，故 ，
对于 ，设切点为 ，有 ，则 ，故 ，则 ，故 ，
所以 ，所以题设式子的最小值为 .
故答案为： .【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则|
PQ|的最小值为 .
【答案】
【解析】令 、 分别向上平移一个单位可得 、 ，而
与 关于 对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与 平行时，P、Q关于 对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到
、 后，P、Q关于 对称即可，
∴令 ，则 ，
∴ 有 ，则 ，即 ，
∴ 到 的距离 ，
.
∴
故答案为： .
【变式5-2】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由 ，得： ， .
所以 与 互为反函数．
则它们的图象关于 对称．要使 的距离最小，则线段 垂直直线 .
点 在曲线 上，点Q在曲线 上，
设 ， .
又P，Q的距离为P或Q中一个点到 的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线 的最短距离
所以当 ，即 时，d取得最小值 ，
则 的最小值等于 .
故答案为：
【变式5-3】已知点P在函数 的图象上，点Q在函数 的图象上，则 的最小值
为 .
【答案】
【解析】
由函数 ，求导可得： ，则 ，
在 处的切线方程为 ，整理可得： ；
由函数 ，求导可得： ，则 ，
在 处的切线方程为 ，整理可得 ；
由直线 的斜率 ，易知：直线 分别与两条切线垂直..故答案为： .
【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数 ， 上
运动，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又 ， 在定义域上分别单
调递增、单调递减，所以函数 递增的速度由慢到快， 递增的速度由快到慢，设动点 ，
，当且仅当满足： 时， 取得最小值，由图象的示意图不难发
现，该方程组有唯一一组 ， ，所以 ， ，所以 的最小值为
．
故答案为： .
【变式5-5】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 与 互为反函数，其图像关于直线 对称
先求出曲线 上的点到直线 的最小距离．
设与直线 平行且与曲线 相切的切点 ， ．
， ，解得 ． ．得到切点 ，点P到直线 的距离 ．
最小值为 ．
故选：B．
【变式5-6】已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线 对称，若 ， 分别为它们图
象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 为函数 图象上任意一点，则 ， 关于直线 的对称点为 ，
又 ，即点 在函数 的图象上，
所以函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
所以这 ， 两点之间距离的最小值等于点 到直线 距离最小值的 倍，
由 ，则 ，
函数 在点 处的切线斜率为 ，令 ，解得 ， ，
所以点 到直线 距离的最小值为 ，
所以这 ， 两点之间距离的最小值为 .
故选：D
【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点 分别是曲线 和曲线 上的
任意一点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 与 互为反函数，所以其图象关于直线 对称，
先求出曲线 上的点到直线 的最小距离，该距离的2倍即为所求.
设与直线 平行且与曲线 相切的直线切点为 ，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，即切点为 ，
点P到直线 的距离 ，
所以线段 的最小值为 .
故选：B
题型六：横向距离
【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 ， 的图象与直线y=m
分别交于A、B两点，则（ ）.
A．
B． ，曲线 在A处的切线总与曲线 在B处的切线相交
C． 的最小值为1
D． ，使得曲线 在点A处的切线也是曲线 的切线
【答案】∃ACD
【解析】设A、B的横坐标分别为x，x，
1 2
则
由于 ，故 ，故A正确；
当 时 ,
,
所以曲线 在A处的切线总与曲线 在B处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误；
,
设 则 ,是单调递增函数，且 ,
所以在 上 单调递减，在 上， 单调递增，
所以 ,故C正确；
曲线 在点A处的切线方程为 ,若此切线同时也是曲线 的切线，可设切点
为 ,则 ,
消去 得 ,
设 ,
,
因为 的图象是连续的，所以 至少有两个零点（可以证明恰有两个零点，因与本题结论无关，在
此从略），
故 有解，进而得到 的值是存在的且大于零的，故D正确.
故选：ACD.
【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线 ，曲线 交于点A，B，
则线段AB长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，设与 平行的 的切线的点为 ，则切线斜率为
， 切线方程为 ， 则
与 ， 被直线与切线截得的线段长，就是 被直线 和曲线 截得
线段 的最小值，因为 取任何值时， 被两平行线截得的线段长相等，所以令 ，可得
，线段 的最小值 ，故答案为 .
【变式6-1】已知直线 ，分别与直线 和曲线 交于点M，N两点，则线段MN长度
的最小值是 ．
【答案】
【解析】设与 平行且与 相切的直线的切点为 ，
因为 ， ，切点为 ，
切线方程为 ，即 ，
长度的最小值就是 被 与 截得的弦长，
则有 ，故答案为： .
【变式6-2】直线 分别与曲线 ， 直线 交于 两点， 则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，设 到直线 的距离为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
又 ， ，故 最小即 最小，即为当过点 处的切线与直线 平行时最小，
由曲线 ，得 ，所以切点为 ，
可求得点 到直线 的距离最小值为
故 ，
故选：C
【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线 分别与直线 、曲线 交于点A，B，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，直线 与直线 的交点 ，直线 与曲线 交点 ，
满足 ，
则 ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ； ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，故选：B．
【变式6-4】已知直线 分别与曲线 和曲线 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 分别与曲线 和曲线 交于 两点，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为函数 在 上都为增函数，
所以函数 在 为增函数，又 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：A.
【变式6-5】已知函数 ， 的图象分别与直线 交于 两点，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图像与直线 分别交于 两点，
所以 ， ，其中 ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，令 得： ；
所以易得： 时， ； 时， ；
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，即 的最小值为 .
故答案为：B.
题型七：纵向距离
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线 与两曲线 分别交于 两点，且曲线
在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ，则下列结论：
① ，使得 ；②当 时， 取得最小值；
③ 的最小值为2；④ 最小值小于 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由直线 与两曲线 分别交于 两点可知：
曲线 上 点坐标 ，可求导数 ，则切线 斜率 ，可知切线 ： .
曲线 上 点坐标 ，可求导数 ，则切线 斜率 .
令 ，则 ，令 ， ，
由零点存在定理， 使 ，即 ，使 ，即 ，故①正确.
，令 ，由 同理可知有 ，使 ，令
， 在 处取最小值，即当 时， 取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在 上是减函数，，故③错误，④正确.
故选：C
【典例7-2】直线 分别与曲线 和曲线 交于 ， 两点，则 的最小值
为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可设 ， ，即可表示出 ，构造函数 并求得
，令 求得极值点并判断函数的单调性，即可求得 的最小值.直线 分别与曲线
和曲线 交于 ， 两点，
设 ， ，
且 ， ，
， ．
， ， ，
令 解得 ， （舍），
当 时 ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增．
所以 ，
综上可知 的最小值为 ．
故选：D.
【变式7-1】动直线 （ ）与函数 ， 的图象分别交于点A，B，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
故选：A
【变式7-2】已知直线 与函数 ， 的图像分别交于A，B两点，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例8-1】已知直线 与曲线 ， 分别交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e【答案】B
【解析】设与直线 垂直，且与 相切的直线为 ，
设与直线 垂直，且与 相切的直线为 ，
所以， ，
设直线 与 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
此时 ，
所以，当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .
故选：B
【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线 分别与直线 、曲线 交于点A，B，则
线段AB长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
所以直线 在曲线 的上方，由 ，则 ，
由 ，则 ，则 ．
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ．
故选：C．
【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线 分别与直线 及曲线
交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，由 ，得 ，
，
， ，则 ， ，则 ，
在 上递减，在 上递增，
，即 两点间距离的最小值为 ，
故选：D.
1．已知直线 与曲线 和直线 分别交于P，Q两点，则 的最小值为
．
【答案】4
【解析】设点P到直线 的距离为d，则 ，
所以当点P到直线 的距离最小时 最小，
又当曲线在点P处的切线与直线 平行时d最小，所以此时 最小，
设 ，
因为函数 的定义域为 ， ，
令 ，解得 或 （舍去），
所以切点为 ，
点P到直线 的距离 ，
所以 的最小值为4，
故答案为：4.2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达
到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常
需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学
知识来解答：若点 是曲线 上任意一点，则 到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，可得 ，令 ，可得 ，
因为 ，可得 ，则 ，
即平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标为 ，
由点到直线的距离公式，可得点 到直线 的距离为 .
故选：B
3．曲线 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为 ，
则 ，解得 ，
所以切点为 ，代入切线方程，可得 ，
即切线为 ，由两平行线间的距离 ，
所以最小值为 ，
故选：C．
4．已知点P是曲线 上任意一点，点Q是直线 上任一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为全体正实数，
，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，函数图象如下图：
过点 的曲线 的切线与直线 平行时， 最小，
即有 ，
所以 ，
故选：A
5．若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直线
距离最小.
设切点为 ，
所以切线斜率为 ，由题知 ，解得 或 （舍），
，此时点 到直线 距离 .
故选：D
6．若动点 在曲线 上，则动点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由题意知 ，
则在点 处的切线斜率为 ，
当在点 处的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最小，由 ，得 ，则 ，
所以点 到直线的距离 .
所以动点 到直线 的距离的最小值为 .
故选：A
7．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 与 互为反函数，它们图像关于直线 对称；
故可先求点P到直线 的最近距离d，
又 ，当曲线上切线的斜率 时，得 ， ，
则切点 到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D．
8．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 与 互为反函数，
所以 与 的图像关于直线 对称，
设 ，则 ，令 得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 与 无交点，则 与 也无交点，
下面求出曲线 上的点到直线 的最小距离，
设与直线 平行且与曲线 相切的切点 ， ，
，
，解得 ，
，
得到切点 ，到直线 的距离 ，
的最小值为 ，
故选：D．
9．（2024·四川·一模）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直线
距离的最小.
设切点为 ， ，
所以，切线斜率为 ，
由题知 得 或 （舍），
所以， ，此时点 到直线 距离 .
故选：C10．若点 ， ，则 、 两点间距离 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】点 在直线 ，点 在 上， ，设 的切线的切点为 ，
令 ，所以 在点 处的切线为 ,此时切线 与直线 平行，
直线 与 之间的距离 为 的最小值，
故选：B
11．已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，则点 在函数 上，
，则点 在函数 上，
则 表示 、 两点的距离的平方，
要求 的最小值，即求 的最小值，
当过 的点切线与直线 平行时，点 到直线 的距离即为 的最小值，
由 可得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 到 的距离 ，即 ，
所以 的最小值为 ；
故选：C
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】根据题意，点 是函数 图像上一点，
点 是直线 上一点
函数 的导函数为 ，
所以其图像上一点 处切线的斜率为
当过点 的切线与直线 平行时，点 与点 之间的距离最小
且两点间的距离可转化两平行线之间的距离
此时有， ，从而可得
此时函数 图像上过点 的切线方程为
化简为 ，其与直线 间的距离为
所以 的最小值为 .
故选：C.
13．已知实数a，b，c，d满足： ，其中e是自然对数的底数，则 的最小值
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】因为实数a，b，c，d满足： ，
所以 ， .
所以点 在曲线 上，点 在 上.
所以 的几何意义就是曲线 上的任一点到 上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当 的某一条切线与 平行时，两平行线间距离最小.
设 在点 处的切线与 平行，则有：
，解得： ，即切点为 .
此时 到直线 的距离为 就是两曲线间距离的最小值，
所以 的最小值为 .故选：B
14．（2024·新疆·二模）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得 ， ，
则 的最小值即为曲线 的点到直线 的距离最小值的平方，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
，
曲线 与 平行的切线相切于 ，
则所求距离的最小值为点 到直线 的距离的平方，即 .
故选：D.
15．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 可以转化为： 是函数 图象上的点，
是函数 上的点， .
当与直线 平行且与 的图象相切时，切点到直线 的距离为 的最小值.
令 ，解得 或 ，（舍去），又 ，
所以切点 到直线 的距离即为 的最小值.
所以 ，所以 .
故选：B.
16．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．9 B． C． D．【答案】B
【解析】由 ，则 ，又 ，
的最小值转化为： 上的点与 上的点的距离的平方的最小值，
由 ，得： ，与 平行的直线的斜率为1，
∴ ，解得 或 （舍 ，可得切点为 ，
切点到直线 之间的距离的平方，即为 的最小值，
的最小值为： .
故选：B.
17．（2024·山东·模拟预测）若 ， ， ，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】问题可以转化为： 是函数 图象上的点，
是函数 上的点， .
当与直线 平行且与 的图象相切时，切点到直线 的距离为 的最小值.
，舍去负值，
又 ，所以 到直线 的距离即为 的最小值.
， .
故选：C.
18．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题，得 ，设 是曲线 的点， 是直线 的点，
可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，
对 求导得 ，令 ，得 ，
所以曲线C上的点 到直线l的距离最小，
该点到直线l的距离为 ，
因此 的最小值为 .
故选：D
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小
值为 .
【答案】 /
【解析】
由题意 的最小值为曲线上点A到直线 距离的最小值，
而点A就是曲线与直线 相切的切点，因为曲线上其它点到直线 的距离都大于 ，
对 求导有 ，由 可得 ，即 ，
故 .
故答案为： .
20．（2024·河北石家庄·一模）若实数 满足 ，则 的最
小值为 ．
【答案】8【解析】 实数 、 、 、 满足：
，
，设 ， ，则有： ，且 ，设 ， ，则有： ，
就是曲线 与直线 之间的最小距离的平方值，
对曲线 求导： ，
与 平行的切线斜率 ，解得： 或 （舍 ，
把 代入 ，得： ，即切点为 ，
切点到直线 的距离： ，
的最小值就是8．
故答案为： 8.
21．已知实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】8
【解析】由 可得 ，
所以点 在曲线 上，点 在 上，
则 的最小值即为曲线 上点到直线 距离最小值的平方，
设 上平行于 的切线方程的切点为 ，
则 ，则 ，解得 （舍）或 ，则切点为 ，
则切点到直线 的距离为 ，
故 的最小值为8.
故答案为：8.
22．（2024·江西·一模）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意
一点（ 为自然对数的底），则线段 的长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆心 ，先求 的最小值，设 ，所以以点 为切点的切线方程为
，当 垂直切线时， ，此时点 ，函数图象
上任意点到点 的距离大于点 到切线的距离即 ，所以 的最小值是 ，故答案为.
23．（2024·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得， ，
即求曲线 上一点到 距离最小值，
又因为 在直线 上，
所以当切线与直线 平行时，距离取得最小值，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时，点 到直线 距离为 ，
即所求曲线 上一点到 距离最小值为 .
故答案为：
24．（2024·广东佛山·一模）若 分别是曲线 与圆 上的点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设圆 圆心为 ，如下图所示，
由题意可知， 取得最小值时， 取得最小值，
当 垂直于曲线 在点 处的切线时， 最小，
设 ，则对 求导得 ，
所以 ，即 ，由于 时满足上式，且 在 单调递增，
所以 有唯一解 ，
所以 ，此时 ，所以
故答案为：
25．已知函数 的最小值是 ，则 的值是
【答案】 /
【解析】函数
，
可得 表示两点 ， 的距离的平方，
即有函数 ， 图象上的两点距离的最小值的平方为 ，
设直线 与函数 的图象相切，
，
设切点为 ，可得 ，解得 ，则 ，
即有切点为 ，
则 ，
解得 ，
则 的值为 ．
故答案为： ．
