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重难点突破10 利用导数解决一类整数问题
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利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．（2023·贵州·校联考一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对 恒成立，求整数a的最小值．
例2．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；(2)当 时，关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
例3．（2023·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 为整数，且 恒成立，求 的最大值.
变式1．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知函数
(1)判断 的单调性，并比较 与 的大小；
(2)当 时，不等式 恒成立，求整数k的最大值．
变式2．（2023·天津河北·统考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数 在 上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？
若存在，请求出最大整数k的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ）
变式4．（2023·云南·校联考三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则
的取值范围是________.
变式5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若关于x的不等式 的
解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______．
变式6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，满足f（x）＜0恒成立的最
大整数m的值为___．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，
使得 ，则实数 的取值范围是____.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若对 ，关于x的不等式 恒成立，则整数
m的最小值为___________.
题型二：整数解问题之直接限制法
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若有且仅有两个整数
，满足 ，则实数a的取值范围为__________．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为整数，且关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.例6．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若m为整数，且关于x的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线 在点 处的切线不经过原点；
（Ⅲ）设整数 使得 对 恒成立，求整数 的最大值.
题型三：整数解问题之虚设零点
例7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，不等式 在 上恒成立，求整数 的最大值.
例8．（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 的图象在 处的切线方程为
．
(1)求 ， 的值；
(2)若关于 的不等式 对于任意 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据： ）例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 为整数，且函数 有4个零点，求 的最小值．
变式10．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且存在整数 使得 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数据： ， ）
变式11．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 为整数时，当 时， 恒成立，求 的最小值.
（参考数据： ， ， …）
题型四：整数解问题之必要性探路
例10．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）对于定义在 上的函数 ，若存在 ，使得
，则称 为 的一个不动点．设函数 ，已知 为函数 的
不动点．(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，且 对任意满足条件的 成立，求整数 的最大值．
（参考数据： ， ， ， ， ）
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ， ．
(1)若 ，求证： 在 上是增函数；
(2)若存在 ，使得 对于任意的 成立，求最大的整数 的值．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求整数a的最小值.
变式12．（2023·上海·高三专题练习） ，对 ， ，求整数 的最
小值．
