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第十九章 一次函数（单元检测卷）
测试时间：120分钟 总分：120分 题量：26题
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中的曲线不表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【分析】运用函数的定义， 取一个值， 有唯一值对应，可直接得出答案．
【解答】解：结合函数的定义： 取一个值， 有唯一值对应，在图象上 取一个值，看 的对应值是几
个，即可得出答案．
结合图象可知， 错误．
故选： ．
【点评】此题主要考查了函数的定义，题目比较典型，是中考中热点问题．
2．对于函数 ，下列结论正确的是
A．它的图象必经过点
B． 的值随 值的增大而增大C．当 时，
D．它的图象与 轴的交点坐标为 ，
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数 的图象不经过点 及一次函数
的图象与 轴的交点坐标为 ， ；由 ，利用一次函数的性质可得出 的值随 的增
大而减小；代入 可得出 ．
【解答】解： ．当 时， ，
一次函数 的图象不经过点 ；
． ，
的值随 的增大而减小；
．当 时， ；
．当 时， ，
解得： ，
一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题
的关键．
3．一次函数 与一次函数 的图象的交点不可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质得到一次函数 的图象不经过第四象限，于是可判断两直线的交点不
可能在第四象限．【解答】解：因为次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选： ．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数
表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即 值相
同．
4．在平面直角坐标系中，直线 与 轴的交点坐标是
A． B． C． D． ，
【分析】根据 轴上点的坐标特征得到直与 轴的交点的横坐标为0，然后把 代入直线解析式求出对
应的 的值即可．
【解答】解：把 代入 得 ，
所以直线 与 轴的交点坐标是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了
轴上点的坐标特征．
5．已知点 和 都在直线 上，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据正比例函数的性质，求解即可．
【解答】解： ， ， 随 的增大而减小，
又 ，
故选： ．
【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的有关性质．
6．直线 与坐标轴交于 、 两点，点 在坐标轴上， 为等腰三角形，则满足条件的点 最
多有A．8 B．4 C．5 D．7
【分析】运用分类讨论的数学思想，分 为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题．
【解答】解：如图，对于直线 ，
当 时， ；
当 时， ，
直线 与两个坐标轴的交点分别为 ， ；
若以点 为圆心，以 的长为半径画弧，
则与 轴有两个交点，与 轴有一个交点（点 除外）；
若以点 为圆心，以 的长为半径画弧，
则与 轴有一个交点（点 除外），与 轴有两个交点；
以 为腰的等腰 有6个；
若以 为底，作 的垂直平分线，与坐标轴交于原点 ，
综上所述，满足条件的点 最多有7个，
故选： ．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，分 为腰或
底两种情况来分类解析，逐一判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
7．把直线 向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的平移性质“上加下减”，可直接判断向下平移1个单位长度后新的解析式．【解答】解：根据“上加下减”，可知把直线 向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为：
，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移法则“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
8．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车
行驶的时间为 （小时），两车之间的距离为 （千米），如图中的折线表示 与 之间的函数关系，下
列说法：
①动车的速度是270千米 小时；
②点 的实际意义是两车出发后3小时相遇；
③甲、乙两地相距1000千米；
④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时，
其中不正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①普通列车的速度是 （千米 小时），
设动车的速度为 千米 小时，
根据题意，得： ，
解得： ，
动车的速度为250千米 小时，
故①错误；
②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点 的实际意义是两车出发后3小时相遇，故②正确；
③由 时， 知，甲地和乙地相距1000千米，
故③正确；
④由图象知 时，动车到达乙地，
时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需12小时，
故④错误；
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
9．点 ， 的坐标分别为 ， ，点 在 轴上， 的值最小时，点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】得到点 关于 轴的对称点的坐标 ，可得到直线 的解析式，求得与 轴的交点即为所求点
的坐标．
【解答】解： 点 ，
点 关于 轴的对称点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ， ，
，
的坐标为 ．
故选： ．
【点评】考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点．
10．如图 1，四边形 中， ， ， ．动点 从点 出发，沿折线方向以 单位 秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积 与运动时间 （秒
的函数图象如图2所示，则四边形 的面积是
A．90 B．85 C．80 D．75
【分析】从图 2 看， ， ，过点 作 于点 ，在 中，
， ， 则 ， 当 点 在 点 处 时 ，
， 解 得 ， 则 四 边 形 的 面 积
，即可求解．
【解答】解：从图2看， ， ，
过点 作 于点 ，
则 ，
在 中， ， ，则 ，
当点 在点 处时， ，
解得 ，
则四边形 的面积 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则 0．
【分析】由于一次函数 的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定 ， ，然后即可确
定 的符号．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象的性质，首先根据图象经过的象限确定 、 的符号，然后即可
解决题目的问题．
12．如果直线 经过第二、四象限，则 的取值范围是 ．
【分析】根据反比例函数的性质得 ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数 中，当 时函
数的图象在二、四象限是解答此题的关键．13．在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，若点 和点
均在直线 上，则 ．
【分析】先求出直线 的解析式，把点 ，点 坐标代入可求解．
【解答】解：设直线 解析式为：
解得： ，
直线 解析式为：
点 和点 均在直线 上，
， ，
故答案为：
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是本
题的关键．
14．如图，直线 交 轴于点 ，以 为边作 ，使 ，交 轴于点 ；过点
作 轴，交 于点 ，以 为边作△ ，使 ，交 轴于点 ；过点 作
轴，交 于点 ，以 为边作△ ，使 ，交 轴于点 ； 这样依次得到
点 ， ， ， ， ，记点 的横坐标为 ，则 3 ， ．【分析】根据已知条件得到 △ ，△ ，△ 是等腰直角三角形，根据直线的解析式得到
，求得 ，得到 ，把 代入 得到 ，即可得到 ，从
而得到 ， 代入 得到 ，即可得到 ，从而得到 ，得到
，即可得到 ， ， ，于是得到结论．
【解答】解： ，过点 作 轴，交 于点 ，以 为边作△ ，使 ，
交 轴于点 ；过点 作 轴，交 于点 ，以 为边作△ ，使 ，交 轴
于点 ；
△ ，△ ，△ 是等腰直角三角形，
交 轴于点 ，
，
，
，
把 代入 得， ，，
，
，
把 代入 得 ，
，
，
，
；
， ，
记点 的横坐标为 ，
故 ， ，
故答案为3， ．
【点评】本本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点的坐标变化规律问题，解题的关键是依次
求出 ， ， 的横坐标，找出其横坐标的规律．
15．某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休
息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息 0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离 与出发时间 之间
的关系图象．结合图象，当乙回到侧门时，甲与侧门的距离是 4 千米．
【分析】先求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间，再将这个时间代入函数解析式即可
求出乙回到侧门时，甲到侧门的距离．
【解答】解：甲的速度为： ，
甲在休息前， 与 之间的函数关系式为： ；
设甲休息后对应的函数解析式为 ，对应的函数图象过点 ，
则 ，
解得 ，
甲休息后对应的函数解析式为： ，
乙回到侧门时，共用了 ，
将 代入 ，得 ，
乙回到侧门时，甲到侧门的距离是 ．
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数的意义，理解题意，求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间
是解题的关键．
16．明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程 （单位：千米）与时
间 （单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下
坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为 1 4 分钟．【分析】根据图象计算出上坡速度和下坡路程，然后根据放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速
度相同，下坡速度相同，再结合路程可得答案．
【解答】解：根据函数图象可得：上坡速度为 （千米 分），
下坡速度为 （千米 分），
放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，
那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为 千米 分，下坡路程为1千米，速度为 千米 分，
因此走这段路所用的时间为 ．
故答案为：14．
【点评】此题考查了从函数图象获取信息，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．
17．以 对角线的交点 为原点，平行于 边的直线 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点
的坐标为 ，点 的横坐标比点 的横坐标小1，则直线 对应的函数表达式为 ．
【分析】根据平行四边形中心对称性质得到 、 坐标，再利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解： 点 的坐标为 ，点 的横坐标比点 的横坐标小1，
，
根据平行四边形中心对称性质得到 、 坐标，设直线 的解析式为： ，代入点 、 坐标得：
，解得 ，
直线 的解析式为： ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
18．如图，已知：函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得不等式 的解集
是 ．
【分析】根据图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：由图象可得：当 时， ，
所以不等式 的解集是 ，
故答案为：
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．已知 是关于 的一次函数，点 ， 在函数图象上．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，求 的值．
【分析】（1）用待定系数法可得答案；
（2）结合（1）求出 时的函数值即可．【解答】解：（1）设该函数的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得 ，
该函数的解析式为 ；
（2）当 时， ；
的值为11．
【点评】布莱恩特考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
20．已知直线 经过点 ．
（1）求 的值；
（2）写出此直线与 轴， 轴的交点坐标．
【分析】（1）将点 的坐标代入直线的解析式求得 的值，从而得到直线的解析式，
（2）分别令 和 ，从而可求得对应的 值与 的值．
【解答】解：（1） 直线 经过点 ，
，解得： ，
（2）由（1）可得直线解析式为： ，
当 时， ，
直线与 轴的交点坐标为 ．
当 时， ，解得： ，直线与 轴的交点坐标为 ， ．
【点评】本题主要考查的是一次函数图象上交点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
21．在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点 ，点 在直线 上．
（1）求 的值；
（2）求直线 的解析式；
（3）直接写出关于 的不等式 的解集．
【分析】（1）把 代入 可求出 的值；
（2）利用待定系数法求直线 的解析式；
（3）写出直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）直线 与直线 交于点 ，所以 ．
解得 ．
（2）由（1）得点 ，直线 过点 ，点 ，
所以 ，解得
所以直线 的解析式为 ，
（3）不等式 的解集为 ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费
用以后每次打折收费．设消费次数为 时，所需费用为 元，且 与 的函数关系如图所示．根据图中信
息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时， 关于 的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【分析】（1）运用待定系数法，即可求出 与 之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的 ，求出对应的 的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设 ，
根据题意得 ，解得 ，
；
设 ，
根据题意得： ，
解得 ，
；
（2）解方程组
解得： ，
出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当 时， ，
；当 时， ，
解得 ；
，
选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出
正确信息是解题关键．
23．某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台
给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元 如下表：
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
设集团调配给甲连锁店 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为 （元 ．
（1）求 关于 的函数关系式，并求出 的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每
台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利
润达到最大？最大利润为多少？
【分析】（1）首先设调配给甲连锁店电冰箱 台，调配给乙连锁店空调机 台，电冰箱
台，列出不等式组求解即可；
（2）由（1）可得几种不同的分配方案；依题意得出 与 的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达
到最大的分配方案．
【解答】解：（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱 台，
调配给乙连锁店空调机 台，电冰箱为 台，
则 ，
即 ．．
；
（2）由题意得： ，
即 ．
，
．
当 时， ，函数 随 的增大而增大，
故当 时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱
30台；
当 时， 的取值在 内的所有方案利润相同；
当 时， ，函数 随 的增大而减小，
故当 时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱
0台．
最大利润为： 元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，
（1）根据40台空调机，60台电冰箱都能卖完，列出不等式关系式即可求解；
（2）由（1）关系式，结合让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，列不等
式解答，根据 的不同取值范围，代入利润关系式解答．
24．模型建立：如图①，在 中， ， ．直线 经过点 ，过点 作
于 ，过点 作 于 ．求证： ．
模型应用：
（1）如图②，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，将直线 绕着点
逆时针旋转 至 ．过点 作 交 于点 ，过点 作 轴于点 ．求直线 所对应的函数表达式．
（2）如图③，在矩形 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ， 、 两点分别在 轴、 轴上．
是线段 上的动点，点 在第四象限，且是直线 上的一点．若 是不以点 为直角顶
点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 接 写 出 点 的 横 坐 标 ．
【分析】模型建立：主要利用“三直角”模型，角与角互余，证得对应角相等，从而证得三角形全等．
模型应用：（1）利用模型建立的方法，证得两个小直角三角形全等，从而得出点 的坐标；两点确定一
条直线，再利用待定系数法，求出直线的解析式；
（2）分类讨论，分别以点 为顶点、点 为顶点，求出点 的坐标．
【解答】模型建立： ， ，
．
；
，
，
；
，
．
模型应用：
（1） 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，， ，
， ，
，
，
，
，
，
轴， ．
由模型建立，得 ，
， ，
．
设直线 所对应的函数表达式为 ，
将 ， 代入上式，
得
解得
直线 所对应的函数表达式为 ．
（2）当点 为等腰直角三角形的顶点，即 时，
①当点 在线段 的上方，点 的横坐标为：4，②当点 在线段 的下方，点 的横坐标为： ，
当点 为等腰直角三角形的顶点，即 时，
①当点 在线段 的下方，点 的横坐标为： ，②当点 在线段 的上方，点 与直线 无交点，
不存在，舍去．综上所述，点 的横坐标为4， ， ．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及的知识点有：全等、待定系数法、等腰直角三角形的性质
等，体现了数学的数形结合思想、分类讨论思想等．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，以
为边在第二象限内作正方形 ．
（1）求正方形 的面积；
（2）求点 和点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．【分析】（1）由题意可以得到 、 的坐标，从而得到线段 的长度，进一步可以得到正方形 的
面积；
（2）由题意和（1）可以得到 ，从而得到线段 、 、 、 的值，然后可
以得到点 和点 的坐标；
（3）找出点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此时 周长最小．由待定系数法
求出 的解析式，然后令 ，即可得到 的坐标．
【解答】解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ；令 ，得到 ，
， ，
， ，
在 中， ，
正方形 面积为20；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点
，
四边形 是正方形，， ，
， ， ， ，
，
，
， ，
， ，
， ；
（3）如图，找出点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，则此时 周长最小：
，
，
设直线 的解析式为： ，
把 与 坐标代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
对于 ，令 ，得到 ，
．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，勾股定理，正方形的性质，
全等三角形的判定和性质，轴对称 最短路径等，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、勾股定
理的应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等是解题关键．
26．定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，则称这个点为另两个点的等腰点．如图 1，矩形
的点 、 分别在 轴和 轴上，点 的坐标为 ，
（1）在矩形 的边上是 、 两点的等腰点的坐标为 、 、 ；
（2）点 从 轴上的某一点出发，沿起始点 运动．设点 的运动时间为 秒时 的面
积为 ，图2是点 从起始点开始运动后 关于 的部分函数图象．
①请直接写出起始点的坐标和点 的运动速度；
②请求出点 从起始点运动至点 的 关于 的函数关系式，并补全函数图象；
③点 从点 出发沿射线 运动．若点 、 同时出发，点 的横坐标变化速度为每秒4个单位长度，
请直接写出当点 从起始点出发运动至点 的过程中，点 是点 、 两点的等腰点时 的值．
【分析】（1）根据等腰点的定义解决问题即可．
（2）①利用图象（2）求出 的长以及从 到 的运动时间，即可解决问题．
②分三种情形：点 在线段 上，在线段 上，在线段 上，分别求解即可．
③根据等腰点的定义，分三种情形分别求解即可．
【解答】解：（1） 四边形 是矩形， ，
， ，
， ，根据等腰点的定义可知， 、 两点的等腰点的坐标为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
（2）①起始位置时， ，则 ，
，
此时 ，
运动速度 单位长度 秒，
②当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
综上所述， ．
函数图象如图所示：
③ ，
，当 时， ，解得 ．
或 ，解得
当 时， ，解得
综上所述，满足条件的 的值为1或 或 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰点的定义，运动速度，时间，路程的关系等知
识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
