文档内容
重难点突破 02 向量中的隐圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数量积隐圆............................................................................................................................3
题型二：平方和隐圆............................................................................................................................6
题型三：定幂方和隐圆........................................................................................................................8
题型四：与向量模相关构成隐圆......................................................................................................11
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）..............................................................................................15
03 过关测试.........................................................................................................................................19技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
乘积型：
√ 1
λ+ AB2
定理：平面内，若 A,B 为定点，且 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ,则P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆
1 √1
PM2 − AB2 =λ PM= AB2 +λ
证明：由 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ，根据极化恒等式可知， 4 ，所以 4 ，P的轨迹
√ 1
λ+ AB2
是以M为圆心 4 为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：PA2 +PB2 =λ
√ λ− 1 AB2
2
定理：若 A，B 为定点，P满足 PA2 +PB2 =λ ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 2 为半
1
(λ− AB2 >0)
径的圆。 2
√ λ− 1 AB2
1 2
PA2 +PB2 =2[PM2 +( AB) 2 ]=λ PM=
证明： 2 ，所以 2 ，即P的轨迹是以AB中点M为圆
√ λ− 1 AB2
2
心， 2 为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
{mPA 2 PB 2 {PA 2 mPB 2
n¿ n¿
+ = + = ¿¿¿
若 A，B 为定点， ，则P的轨迹为圆．
mPA2 +PB2 =n⇒m[(x+c) 2 +y2 ]+[(x−c) 2 +y2 ]=n
证明：
⇒(m+1)(x2 +y2 )+2c(m−1)x+(m+1)c2 −n=0
2(m−1)c c2 (m+1)−n
⇒x2 +y2 + ⋅x+ =0
m+1 m+1 ．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：数量积隐圆
【典例1-1】已知平面向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，易知 与 的夹角为 ，设 ， ， ，由 ，
可得 ，所以原问题等价于，圆 上一动点与点 之间距
离的最小值， 利用圆心和点 的距离与半径的差，即可求出结果.因为 ，所以 与 的
夹角为 ，设 ， ， ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以原问题等价于，圆 上一动点与点 之间距离的最小值，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，所以点 与圆
上一动点距离的最小值为 .
故选：A.
【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量 ， ， 满足 ，若 ，则
的最小值为
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为平面向量 ， ， 满足 ， ，， ，
设 ， ， ，
，
所以 的最小值为 ．
故选B．
【变式1-1】设平面向量 满足 与 的夹角为 且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，
不妨令 ，因为 与 的夹角为
所以 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
由 ，所以 ，
即 ，即 ，
即 点表示以 为圆心， 为半径的圆，又所以 ；
故选：A
【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 对任意 都恒成立，
所以 .
不妨设 又 .
当 ，设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 对应的点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
所以 可以看成是 到 的距离，
所以 的最小值为 .
当 时，同理可得 的最小值为1.
故选：A题型二：平方和隐圆
【典例2-1】已知 是单位向量，满足 ，则 的最大值为
________．
【答案】
【解析】依题意， 可为与x轴、y轴同向的单位向量，设
化简得：
运用辅助角公式得：
，
即得： ，
故 ；
故答案为：
【典例2-2】已知平面向量 、 满足 ， ，设 ，则
________.【答案】
【解析】因为 且 ，所以 ；
又因为 ，所以 ；
由 ，所以 ；
根据 可知：
，
左端取等号时： 三点共线且 在线段 外且 靠近 点；右端取等号时， 三点共线且 在
线段 外且 靠近 点，
所以 ，所以 .
故答案为： .
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，若圆 上存在点 ，
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设 ，则
，
所以 ，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以 ，
所以 .
故选：B
【变式2-2】在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点 满足
（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
∵直线 与点 ，直线 上存在点 满足 ，
∴ ，
整理,得 ①，
∵直线 上存在点M,满足 ，
∴方程①有解，
∴ ，
解得： ，
故选D.
题型三：定幂方和隐圆
【典例3-1】已知点 ， ，直线 ： 上存在点 ，使得 成立，则实
数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得：直线 ，
因此直线 经过定点 ；
设点 坐标为 ， ； ，
化简得： ，
因此点 为 与直线 的交点．
所以应当满足圆心 到直线的距离小于等于半径
解得：
故答案为【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，作 ， ， ，取 的中点 ，连接 ，
以点 为圆心， 为半径作圆 ，
， ， ，
所以， 为等边三角形，
为 的中点， ，所以， 的底边 上的高为 ，
， ，
所以， ，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当 、 、 三点共线且 为线段 上的点时，
的面积取得最大值，此时， 的底边 上的高 取最大值，即 ，则
，
因此， 的最大值为 .故选：B.
【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 ， 的夹角为60°，向量
满足 ，若对任意的 ，记 的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 推出 ，所以 ，如图，
终点的轨迹是以 为半径的圆，设 ， ， ， ，所以 表示 的距离，
显然当 时 最小，M的最大值为圆心到 的距离加半径，即 ，
故选：A
【变式3-2】已知 ， 是两个单位向量，与 ， 共面的向量 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得 ，设 ，
则 ，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC AB时，|DC|≥|DC′|，
设 ，利用三角函数求 的最值．由 得： ⊥ ，即
，
设 ，
则 ，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC AB时，|DC|≥|DC′|，
设 ，
⊥
则 ，
所以当 时，|DC|取最大值 ，
故选：C．
题型四：与向量模相关构成隐圆
【典例4-1】已知平面向量 ， ，且 ， ，向量 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
如图，令 ，则 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
设 ，则点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
令 ， 则 ，
所以当 ，且C，P，Q三点共线时， 取最小值，
则 ，
故选：A
【典例4-2】已知向量 满足 ，且向量 在 方向上的投影向量为 ．若动点C满
足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
根据投影向量， ，则 ，且 ，
因为 ，所以点C在以O为圆心，半径 的圆上运动．设M是AB的中点，由极化恒等式得： ，
因为 ，此时 ，
即 的最小值为 ，
故选：D．
【变式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足
，则 最小值为 .
【答案】
【解析】如图， ，设 ，则向量 满足 ，设 ，所以点
为以 为圆心，以 为半径的圆上的一点，
所以 ，同理 ，
取点 ，则 ，又因 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由三角形的三边关系知 .
故填： .
【变式4-2】已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若 ，则
的最小值为____________．
【答案】【解析】
作图， ，则 ， ，
因为 ，所以 起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理， ，所以 起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以 的最小值则为 ，
因为 ， ，当 ， ， 三点共线时， ，所以
.
故答案为： .
【变式4-3】已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是________.
【答案】 /
【解析】法一 由 ，得 .
如图所示，分别作 ,作 ，
由于 是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以 ,
作 ，则 ,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，| |取得最大值 ,
1
故| |的最大值是 ,
故答案为：
法二 由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，设 ，由 ，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
【典例5-1】已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
依题意设 ， ， ， ， ，
则 ，故C在以 为圆心，半径为1的圆上，
如图，取点 ，则 ， ，且 ，
因此 ， ，故 ，
又 ，由于 ，
当E，M，C三点共线且点C在线段 上时，等号取到，
因此 .
故选:C.
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设 ，
则 ，故点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
如图：取点 ,则 ,且 ,
因此 ,所以 ,故 ,
由于
,当 三点共线且点 在线段 上时，等号取到，
因此 ，
故选：D
【变式5-1】已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系，由题意可设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，故C在以 为圆心，半径为1的圆上，
取 ，则 在AD上，则 ，又 ，∴ ，∴ ，即
，
.
∴
故选：D
【变式5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 ， ， 满足 ⊥ ，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，
则 ， ，
即C在以 为圆心，2为半径的圆上，如图，取 ，则 ，又 ，
所以有 ～ ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
故选：B.
【变式5-3】已知平面向量 ， ， 满足： ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图， 为单位圆， 、 、 在 上， ， ，
在 的延长线上， ， 为 中点， 为 中点， 在 的延长线上， ，
设 ， ， 为 上一点， ，
则 ，
△ ，
，
同理 ，
，
故选：A．1．已知平面向量 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
建立平面直角坐标系 ，设 ，由 ，不妨设 ，
又 ，不妨设 在直线 上，又 可得 ，即
，则 ，设 ，则 ，则 ，即 ，则 在以 为圆心，
1为半径的圆上；
又 ，则 的最小值等价于 的最小值，即以 为圆心，1为半径的圆上
一点
到直线 上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即 ，则
的最小值是 .
故选：D.
2．已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是( )
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】 是平面内两个互相垂直的单位向量，如图所示，
设 ， ， ，
则 ， ，
由 可知 ，所以C点在以AB为直径的圆上，即 四点共圆
当 为圆的直径时， 最大，此时
故选：A
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设 ， ， ，
则 ， ，因为 ，所以 ，
整理得到 ，即 ，
故 的最大值为 ，
故选：B.
4．已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ， ， ， ，
则 ， ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 在以 为直径的圆上，故 的最大值为圆的直径 ，
故选：C.
5．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和，
和 两点确定的直线为 ，即 ，
原点到 的距离 ，
与 相交，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故选：B.
6．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最小
值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线建立 轴，建立平面直角坐标系，
由 ， ，则 ，
所以 ， ， ，设 ，
则 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值，此时 ， .
故选：B
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点 ，点P满足，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
，所以 的最小值为 .
故选：A
8．已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，依题意令 ， ， ，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
，则 ，
则 ，
则 的最小值为4.
故选：C.
9．已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】设 ， 共起点，
由 ，可得 ，
所以 与 垂直，如图
由向量减法的几何意义可知，向量 的终点落在图中的圆上，
由题意可知 的终点在图中所示的射线上，
所以 的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求 的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故 的最小值为 .
故选： .
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设 且 ，
因为 ，可得 ，
则 ，
所以 ，
又因为向量 满足 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
，则 ，
设 ，因为 ，当且仅当 ，
所以 ，
又因为 在 上为单调递增函数，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：A.
11．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，
，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故答案为： .
12．已知 是平面中的三个单位向量，且 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】根据题意可设 ， ，设 ， 则， ，又 为单位向量，所以 ，
所以
表示单位圆上的点 到点 ， 的距离之和，
又过点 ， 两点的直线方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线的距离 ，所以直线与圆 相交，
所以 的最小值距离为点 ， 之间的距离.
即 的最小值为 .
故答案为：
13．在平面内，已知非零向量 与单位向量 的夹角为 ，若向量 满足 ，则 的最
小值为 .
【答案】
【解析】设 ， ， ，
由 得： ，
即 ，
所以向量 的末端落在以 为圆心,以 为半径的圆上,即图中的虚线圆上.因为非零向量 与单位向量 的夹角为 ,
所以向量 的末端落在如图所示的射线上.
由向量减法的三角形法则可知,
向量 是从圆上的点到射线上的点形成的向量.
由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可.
由几何分析可知,如图:
圆心到射线的距离减去圆的半径即为 最小值.
所以 .
故答案为:
14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量 ， ， ，若 ， ，且 ，且
满足 ，则 的最小值 ．
【答案】
【解析】由 ，得 与 之间的夹角为90°.由 ，得 ，即
与 夹角为90°.数形结合得 点在以点 为圆心，1为半径的圆上运动．再根据阿波罗尼斯圆的
性质求出 的最小值. ，且 ，则 与 之间的夹角为90°.
将 可以改写成 ，因此 与 夹角为90°.
因此综上条件我们可以做出如下图象
点在以 点为圆心，1为半径的圆上动．
根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由 所构成的圆
（以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ）.
， ，
.
故答案为： .
15．已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且 若 ，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】解法1：如图，因为 ，所以 ，故四边形 为矩形，设 的中点为S，连接 ，则 ，
所以 ，
又 为直角三角形，所以 ，故 ①，
设 ，则由①可得 ，
整理得： ，
从而点S的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以 ，
因为 ，所以 ；
解法2：如图，因为 ,所以 ，
故四边形 为矩形，由矩形性质， ，
所以 ，从而 ，
故Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以 .
故答案为： .
16．已知 是边长为2的正三角形，点 在平面 内且 ，则 的最大值为 ，
最小值为 .【答案】 3
【解析】因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，
记 的中点分别为 ，
则 ，
因为 是边长为2的正三角形， ，所以 ，
易知，当 三点共线时 取得最大值，此时 ，
所以 的最大值为 ，
当 重合时 取得最小值，此时 的最小值为 .
故答案为：3; .
17．已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 为单位向量，有 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
而 ，
则
当且仅当 与 方向相反时“=”成立
所以 的最小值为 ；
故答案为：
18．设向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为【答案】4
【解析】如图所示，
设 因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 四点共圆，因为 ， ，
所以 ，由正弦定理知 ，
即过 四点的圆的直径为4，
所以 的最大值等于直径4.
故答案为：4.
19．设 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】单位向量 满足 ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，当且仅当 同向时取等号，
因此 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
故答案为：20．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， 且 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意可设： ，
则 ，
若 ，即 ，则 ，
可知点C在以 为直径的圆上，即圆心为 ，半径 ，
则 在 方向上的投影数量的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
21．已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得： ，设 ， ， ，
， ， ， ，
整理得： ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
22．已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ， ，则 的最大值为.
【答案】
【解析】设 ， ， ，
以 所在的直线为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ， ，设 ，
即 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
圆心坐标为 ，半径 ， 表示点 到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心 到原点的距离为 ，所以 .
故答案为： .
23．在平面内，若有 ， ， ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由向量 ， ，可得 ，
可得 ，所以 ，
如图所示，作 ，则 ，且 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
作 ，连接 ，则 ，所以 ，所以点 在以 为直径的圆上，
所以当 运动到圆的最右侧时， 在 上的投影最大，此时 最大，
由 ， ,
因为 ，且 ，所以 ，
所以 在 上的最大投影为 ，
所以 .
故答案为： .
