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第二十章 数据的分析
01 思维导图
02 知识速记
一、平均数、中位数、众数
1、平均数
（1）算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。
（2）加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组
数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。
一般地，若n个数 的权分别是 ，则 叫做这n个数的加权平均
数。
2、中位数:将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间
位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、众数:一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。注：一组数据的众数可以为一个或多个。
二、极差、方差
1、极差：一组数据中，最大值与最小值的差称为极差.
2、方差:为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法：
n个数据 ，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ， ，… ，
设有
我们用这些值的平均数，即用：
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
03 题型归纳
题型一 求一组数据的平均数
例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜
长（单位： ）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平均数，根据平均数公式求解可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
巩固训练
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电
池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的
数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
【答案】6
【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解： ，10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的
数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本．
【答案】
【分析】本题主要考查平均数的计算公式，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．根据平均数的计算公式
求出答案即可．
【详解】解： 本，
故该小组平均每月阅读课外书为 本．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广东广州·期末）木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的
周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平均数的应用，根据题意得到各组最中间值，然后根据一组数的平均数等于
这组数据的总和除以数据的个数，计算得出答案即可，熟练掌握一组数的平均数等于这组数据的总和除以
数据的个数是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：各组最中间值为40，50，60，70，，
∴这批木棉树树干的平均周长约为 ，
故答案为： ．
题型二 已知平均数求未知数据的值
例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a
的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ．
故答案为：5．
巩固训练
1．（2024·湖南长沙·二模）已知一组数据 ， ， ， ，若这组数据的平均数是 ，则
．
【答案】
【分析】此题考查算术平均数的意义和求法，根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得： ．
故答案为： ．
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表：
成绩
50 60 70 80 90
（分）
人数
2 3 2
（人）
根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ．
【答案】 6 7
【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法
根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得： ．
∴ ．
3．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2， ，3，5的平均数是 ，则这组数据的平
均数为 ．
【答案】
【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案．
【详解】解：∵数据0，2， ，3，5的平均数是 ，
∴ ，
解得： ，
∴这组数据的平均数为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．
题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数
例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据 、
、 的平均数是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平均数；
根据数据a、b、c的平均数为5求出 ，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴数据 、 、 的平均数为： ，故答案为： ．
巩固训练
1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据 ， ， ， 的平均数是3，则数据 ，
， ， 的平均数是 ．
【答案】3
【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案．
【详解】解： ， ， ， 的平均数是3，
， ， ， 的和是12，
，
， ， ， 的平均数是 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键．
2．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则 的平均数
是
【答案】13
【分析】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键．先根据a，b，c，d的平
均数是6，求出 ，再用平均数定义求 转化为
整体代入即可．
【详解】解∵a，b，c，d的平均数是6，
∴ ，
∴ ，
，，
．
故答案为：13．
3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知： ， ， ， ， 的平均数是 ， ， ， ， ，
的平均数是 ，则 ， ， ， ， 的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前 个数的和，再求后 个数的和，然后利用平均数的定
义求出 个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ， ， 的平均数是 ， ， ， ， ， 的平均数是 ，
∴ ， ， ， ， 的平均数是 ，
故答案为： ．
题型四 求加权平均数
例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，
购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条
的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
【答案】21
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平
均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价．
【详解】解：由图可得，
所购买艾条的平均单价是： （元），
故答案为：21．巩固训练
1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历
史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占 ，“语言
表达”占 ，“形象风度”占 ，“整体效果”占 进行计算，小颖这四项的得分依次为85，
88，92，90，则她的最后得分是 分．
【答案】87.4
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是 （分 ，
故答案为：87.4．
2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按
2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分．
【答案】9
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，最终得分为 （分），
故答案为：9．
3．（23-24八年级下·广东江门·期末）“巨龙”腾飞逐天宫，神舟十八号载人飞船成功发射，见证我国从
航天大国迈向航天强国的奋进足迹，校团委以此为契机，组织了系列活动，下面是甲班、乙班两个班各项
目的成绩（单位：分）
班
知识竞赛 演讲比赛 版面创作
级
甲
83 89 86
班
乙
90 81 84
班
(1)若根据三项成绩的平均分计算最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
(2)若将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按 的比例确定最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
【答案】(1)甲班获胜
(2)乙班获胜
【分析】本题主要考查了算术平均数和加权平均数的应用，理解并掌握算术平均数和加权平均数的定义是
解题关键．
（1）根据算术平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案；
（2）根据加权平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案．
【详解】（1）解：甲班三项的平均分为 ，
乙班三项的平均分为 ，
∵ ，
∴根据三项成绩的平均分计算最后成绩，甲班获胜；
（2）解：甲班最后成绩为 ，
乙班最后成绩为 ，
∵ ，
∴将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按 的比例确定最后成绩，乙班获胜．
题型五 运用加权平均数做决策
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各
项的成绩（百分制）如下表：
测试（百分制）
候选
人
面试 笔试
小明 86 90
小张 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？
【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取
(2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．
（1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）小明的平均成绩是： （分 ，
小张的平均成绩是： （分 ，
，
从他们的成绩看，小明将被录取；
故答案为：小明；
（2）小明的平均成绩 （分 ，
小张的平均成绩 （分 ，
小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取．
巩固训练
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退
场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
甲班的成绩
项目 乙班的成绩（分）
（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按
的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；
(3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的
广播操比赛成绩最高?
【答案】(1)90，90
(2)甲班：89；乙班：91(3)见解析
【分析】本题考查了平均数和加权平均数；
（1）根据求平均数的公式即可求解；
（2）根据求加权平均数的公式即可求解；
（3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按 的比例计算成绩．
【详解】（1）解： ， ，解得： ；
故答案为： ，
（2）解：甲班： ，
乙班：
（3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按 的比例计算成绩，则
甲班： ，
乙班： ，
∴乙班成绩更高；
2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新
的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核
的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知
身体素质 篮球技能
识
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按 的比例确定最终评价成绩，计算说
明谁将获胜；
(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
【答案】(1)甲将获胜；
(2)乙将获胜；
(3)见解析【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
（1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（3）按第（2）问的标准即可．
【详解】（1）解：甲的成绩为 （分），
乙的成绩为 （分），
∵ ，
∴甲将获胜；
（2）解：甲的成绩为 （分），
乙的成绩为 （分），
∵ ，
∴乙将获胜；
（3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按 的比例确定最终评价成绩，乙将获胜，
理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成
绩按 的比例确定最终评价成绩．
题型六 求中位数、众数
例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区 户
家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（t）
户 数 2 3 2 2 1
则这 户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
出现3次，出现的最多，
故答空1答案为： ，
∵ ， ，
∴第5第6个数据是 和 ，∴中位数是： ，
故答空2答案为： ．
巩固训练
1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若
中位数为5，则这组数据的众数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定
义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案．
【详解】解：∵这组数据的中位数是5，
∴ ，
解得： ，
这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6．
故答案为6．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为
1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的
中位数是 ，众数是 ．
【答案】 3分 3分
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题
的关键．
根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答．
【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；
抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分．
故答案为：3分，3分．3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国
18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、
平均数分别为 （按顺序填）．
【答案】10.6，10.6，10.6
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，
10.8，
∴众数是10.6；
中位数是 ；
平均数是 ．
故答案为：10.6，10.6，10.6．
【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解答
本题的关键．
题型七 求方差
例题：（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）一组数据3，4，5，7， 的平均数是5，则这组数据的方差
是 ．
【答案】2
【知识点】求方差、已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题考查的是方差、平均数的计算，先根据平均数的计算公式求出x，再利用方差的计算公式计
算即可．
【详解】解：∵一组数据3，4，5，7， 的平均数是5，
∴ ，
解得 ，∴ ，
故答案为：2．
巩固训练
1．（2024八年级上·全国·专题练习）一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，方差是6，则，
， ， ， ， 的平均数和方差分别是 ．
【答案】16，54
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了平均数和方差的理解和应用，解题的关键是理解并掌握平均数和方差的定义及计算公
式；
根据平均数的定义和性质，以及题目给出的原数据的平均数，推导出新数据的平均数，根据方差的定义和
性质，以及题目给出的原数据的方差，推导出新数据的方差．
【详解】解： ， ， ， ， 的平均数是4，
， ， ， ， 的平均数
，
；
原数据的方差为6，即：
新数据，其方差为：，
，
．
2．（23-24八年级上·广东河源·期末）某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛
成绩各选出10名选手参加学校决赛，成绩如下：
七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 90 90 39
八年级 90
(1)直接写出 ， ， 的值；
(2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级选手的决赛成绩好．
【答案】(1) ； ；
(2)八年级选手的决赛成绩好
【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、利用平均数做决策
【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差，利用平均数作决策，掌握计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数，众数，方差的计算方法求解即可；
（2）中位数相同，比较平均数即可．
【详解】（1）解：八年级的平均数为：
，
因为90出现的次数最多，所以 ，
．
（2）解：由表格可知，七年级与八年级选手的中位数相同，八年级选手成绩的平均数较高，所以八年级选手的决赛成绩较好．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，
现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：
1
甲 7 9 7 9 6
0
1
乙 5 8 9 10 6
0
(1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环；
(2)求甲、乙测试成绩的方差；
(3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
【答案】(1)8，10
(2) ；
(3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析
【知识点】求方差、运用方差做决策、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数平以及和方差，准确方差的定义是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据平均数和方差的意义解答即可．
【详解】（1）解：甲成绩从小到大排序为：6，7，7，9，9，10，
甲成绩的中位数是 （环 ，
乙成绩的众数是10环．
故答案为：8，10；
（2）解：甲的平均成绩是 （环 ，
乙的平均成绩是 （环 ，
；
；
（3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．题型八 利用方差求未知数据的值
例题：（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：
，这组数据的众数是 ．
【答案】9
【知识点】求众数、 利用方差求未知数据的值
【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得
出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9，
所以这组数据的众数为9，
故答案为：9．
巩固训练
1．（23-24八年级上·江西吉安·期末）在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参
赛选手比赛成绩的方差计算公式为： ，上述公式中的“38”是
这组数据 ．
【答案】平均数
【知识点】 利用方差求未知数据的值
【分析】根据方差的计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方
差的计算公式．
【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： ，
∴上述公式中的“38”是这组数据平均数．
故答案为：平均数．
2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果一组数据的方差 ，
那么 的值为 ．
【答案】15
【知识点】 利用方差求未知数据的值
【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出 的
值．【详解】解：∵一组数据的方差 ，
∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8，
∴ ，
∴ ．
故答案为：15
3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，方差为3，另一
组数据 ， ， ， ， 的平均数与方差的和为 ．
【答案】17
【知识点】求一组数据的平均数、求方差、 利用已知的平均数求相关数据的平均数、 利用方差求未知数
据的值
【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出
， ，再根据平均数公式和方差
公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解．
【详解】解：∵这组数据的平均数是4，
∴ ，
∴ ，
∴ 另一组数据的平均数
；
∵这组数据的方差为3，∴ ，
∴另一组数据的方差
，
∴另一组数据 ， ， ， ， 的平均数与方差的和 ．
题型九 根据方差判断稳定性
例题：（湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年上学期九年级期末数学检测试卷）甲、乙两人进行射击测
试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是 ， ，则射击成绩较稳定的是
（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了方差，掌握方差越小数据越稳定是解题的关键．
根据方差越小数据越稳定求解即可．
【详解】解：∵甲、乙两人进行射击测试的平均数都是8.5环， ，
∴甲的射击成绩较稳定．
故答案为：甲．
巩固训练
1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阳光中学体育队要从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加跳高比
赛，在最近的几次训练中，他们三人的平均成绩相同，方差分别是 ， ， ，如果
学校要选择一名成绩最稳定的学生，应该选择 ．【答案】丙
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动
大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴如果学校要选择一名成绩最稳定的学生，应该选择丙．
故答案为：丙．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽
取 株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方
差分别是 ， ， ，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越
不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳
定．
【详解】解：∵ ，
∴乙种秧苗长势更整齐，
故答案为：乙．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是大同､运城今年5月份某周7天日最高气温统计图．为比较两
地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是 ．
【答案】方差【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，越稳定，方差越大，约不稳定，据此可得
答案．
【详解】解：为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是方差，
故答案为；方差．
题型十 运用方差做决策
例题：（山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）甲、乙、丙三名运动员进行射击
测试，每人10次射击成绩的平均数 （单位：环）及方差 （单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙
9.5 9.3 9.5
0.033
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是 ．
【答案】丙
【知识点】运用方差做决策
【分析】本题重点考查方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5，
∴从甲，丙中选取，
∵甲的方差是 ，丙的方差是 ，
∴甲的方差大于丙的方差，
∴发挥最稳定的运动员是丙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙．
故答案为：丙．
巩固训练
1．（24-25八年级上·福建三明·期末）某单位要买一批直径为 的零件，现有A，B两个零件加工厂，
他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径如图所示，分析折线统计图，你认为该单位应该选择购买 厂生产的这批零件．
【答案】B
【知识点】求方差、运用方差做决策
【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
一般地设n个数据， ， ，… 的平均数为 ，则方差 ．根据
方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可．
【详解】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为：
，
B厂生产的10个零件直径的平均数为：
，
A厂生产的10个零件直径的方差为：
，
，
∵ ，
∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在 附近，
∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件．
故答案为：B．
2．（24-25八年级上·山东东营·期中）下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表
中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 .队员1 队员2 队员3 队员4
平均数 （秒） 51 50 51 50
方差 （秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5
【答案】队员
【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．根据平均数和方差的意义求解可得．
【详解】解：在4名队员中，队员2和队员4的平均成绩少，
∴队员2和队员4的平均成绩好，
又队员2成绩的方差小于队员4成绩的方差，
∴队员2的成绩好，发挥稳定，
故答案为：队员2．
3．（2024·山西长治·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平
均数 （单位：环）及方差 （单位：环 ）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥
稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
9.5 9.5 9.2 9.5
1.3 0.2 1.6 0.5
【答案】乙
【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．此题考查了平均数和方差，方差是用
来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：由表知甲、乙、丁射击成绩的平均数相等，且大于丙的平均数，
从甲、乙、丁中选择一人参加竞赛，
乙的方差较小，乙发挥稳定，
选择乙参加比赛．
故答案为：乙．
题型十一 求极差、标准差
例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：
）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ．
【答案】
【知识点】求极差
【分析】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义求解即可．
【详解】解：这组数据的最大值为17，最小值为10，
所以这5天中该市最低气温的极差为 ，
故答案为：7．
巩固训练
1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）有5名学生的体重（单位： ）分别是41、50、53、67、49．这5
名学生体重的极差是 ．
【答案】26
【知识点】求极差
【分析】本题考查的是极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义计算即可．
【详解】解：数据41、50、53、67、49中最大数据为67，最小数据为41，
则这5名学生体重的极差为： ，
故答案为：26．
2．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ．
【答案】 或3
【知识点】 已知极差求未知数据
【分析】此题考查了极差，分两种情况讨论，当 是数据中最小的数时和当 是数据中最大的数时，根据
极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键．
【详解】解：当 是数据中最小的数时， ；
当 是数据中最大的数时 ．
则 或3；故答案为： 或3．
3．（23-24九年级上·浙江·期末）一组数据 的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数
据 的标准差是 ．
【答案】12
【知识点】标准差、求一个数的算术平方根、求一组数据的平均数、求方差
【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解
题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根．
分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，数据 的平均数为5，方差为16，
即 ，
，
则 的平均数
，
另一组数据 的方差
，
∴标准差 ．故答案为：12．
4．（24-25八年级上·全国·期末）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平
均数是 ，方差是 ，标准差是 ．
【答案】 8
【知识点】求一组数据的平均数、求方差、标准差
【分析】本题考查了平均数，方差及标准差的计算，根据平均数、方差的公式计算样本的平均数和方差，
然后求方差的算术平方根得到标准差，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：样本的平均数 ，
样本的方差 ，
样本的标准差 ，
故答案为： ， ， ．
题型十二 平均数、中位数、众数与方差的综合问题
例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．
在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组
平均数 中位数 众数 方差
别
甲
7 a 6 3.76
组
乙
b 7 c S 2
组 乙
(1)以上成绩统计分析表中 ， ， ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是
组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说
明理由．【答案】(1)6；7；7
(2)甲
(3)选乙组参加决赛，见解析
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数
是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组
数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．（1）根据
平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）
根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是 ，则中位数 ；
，
乙组学生成绩中，数据 出现了四次，次数最多，所以众数 ．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而 ，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
巩固训练
1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了
“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分
用x表示，共分成四组：A． ，B． ，C． ，D． ）
801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表中位
年级 平均数 众数 方差
数
801班
802班
802班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述 、 、 的值： ______， ______， ______．
(2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由．
(3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（ ）的学生总人数
是多少？
【答案】(1)40，94，96
(2)选派802班，理由见解析
(3)
【分析】（1）将801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b
和c的值；由题意可知802班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用 其它各组所占百分比即可求
出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【详解】（1）解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，
98，99，100，
∴ ．
∵成绩为96分的学生有2名，最多，
∴ ．
802班C组有3人，∴扇形统计图中C组所占百分比为 ，
∴扇形统计图中D组所占百分比为 ，
∴ ．
故答案为：40，94，96；
（2）解：选派802班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为 ，
∴802班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派802班．
（3）解：802班D组的人数为 人，
∴802班10名学生的成绩为优秀的有 人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀 的九年级学生人数是 人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本
估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某
校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数
据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A． ；B． ；
C． ；D． ），下面给出了部分信息．
七年级10个班餐后垃圾质量： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为： ， ， ， ， ．
七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表
平均 方
年级 中位数 众数 A等级所占百分比
数 差
七年级 a
八年级 b
八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条
理由即可）
【答案】(1) ， ，
(2)6个
(3)见解析
【分析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，解题的关键是：
（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解．
（3）从 等级的百分比评论即可．
【详解】（1）解：七年级10个数据中 最多，所以众数 ，
八年级 等级有5个， 、 等级为 个， 个，
所以 等级有 个，
所以 ，
所以中位数为 ， ；
（2） （个），
答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合 等级的班级数为6个；
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，
理由：七年级各班餐厨垃圾质量 等级的 高于八年级各班餐厨质量垃圾质量 等级的 （答案不唯
一）．
