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大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（8 大题型）
数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简
单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心
而丢分.
+
题型一： 实数与根式的计算
1．（2023·湖南张家界·中考真题）计算：|−√3|−(4−π) 0−2sin60°+
(1) −1
．
5
2．（2023·湖北宜昌·一模）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
a
(1)若|a|=|b|，则a+b= ， = ．
b
(2)化简：√c2+√3 (a+b) 3−|c−b|．
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1
1）a0=1 （a≠0），a-n= （a≠0，n为正整数）
an
2）①|a-b|=a-ba>b ②|a-b|=0 a=b ③|a-b|=b-aab，则a±c > b±c
若ab, c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
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a b
基本性质3 若a>b ,c<0，则ac0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
④一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
2）一元二次方程根与系数的关系
①如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q .
②以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x 1+ x 2 ）x+
x •x ＝0.
1 2
③一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
④用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·江西新余·一模）关于x的方程 ．
x2−(2k+1)x+k2=0
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(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；
(2)设 和 是方程的两根，且 ，求k的值．
x x x2+x2=6+x x
1 2 1 2 1 2
题型七： 新定义问题
（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：3※1=3−1=2，
5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并
结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．
一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念．这类
试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与已学知识
联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
1．（2023·河北沧州·模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b=ab2+ab+a，例
如：2※5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※(−2)的值．
(2)若 ，求 的取值范围．
(m−√2)※2>14 m
2．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
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a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
3．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如
4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
( 1)
(2)若x☆ − =3，求x的值；
4
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
4．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b=a2−ab，根
据这个规则，解决下列问题：
(1)求(x+2)△5=0中x的值；
(2)证明：(x+m)△5=0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
题型八：比较大小
（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
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老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵ ，
(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
1）实数比较大小的6种基础方法：
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0ab2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/b<1a>b
3)任意负实数a，b，a/b>1ab
2 1 1 3 2 1 4 3 1 5 4 1
1．（2023·浙江温州·模拟预测）观察下面的等式： − = ， − = ， − = ， − = ……
3 2 6 4 3 12 5 4 20 6 5 30
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
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(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
2022 2021 2021 2020
(3)请用以上规律比较 − 与 − 的大小．
2023 2022 2022 2021
2．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）观察以下10个乘积，回答下列问题．
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式．
例如：11×29=x2−y2=(x+ y)(x−y)，列出方程组，解x，y的值即可．
按照以上思路写出“将11×29写成平方差的形式”的完整过程；
探究：观察以上10个乘积，当a+b=40时，ab______202；（比较大小）
(m) 2
拓展：当a+b=m时，比较ab与 的大小，并说明理由．
2
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）（1）计算： ( − 1) −2 +√3−8+|√3−2|+4sin60°+ 1
3 2+√3
（2）分解因式：−2ax3+12ax2−18ax．
2．（2024·江苏扬州·一模）解不等式组：¿，并求出它的所有整数解的和．
3 ． （ 2024· 江 西 吉 安 · 一 模 ） 先 化 简 ： ( a2−a 2 ) a2−4， 再 从
+ ÷
a2−2a+1 1−a a−1
−2，−1，0，1，2中选一个合适的数作为a值代入求值．
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x+3 2
4．（2024·陕西西安·二模）解方程： =1− ．
x−2 x+3
5．（2024·江苏南通·模拟预测）（1）化简： a2−9 a−3；
÷
a2+6a+9 a
（2）解方程：x(2x−5)=5−2x．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位
数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就是一个
“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算A(13)的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个“平方和数”，
①设k=x2+ y2，则A(k)=________；
k
②当A(k)= −18，求k的值．
2
7．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的方程为x2−2(m+2)x+m2+4=0．
(1)若方程有两个实数根，求实数m的取值范围；
(2)设方程的实数根为 ， ，求 的最小值．
x x y=x2+x2
1 2 1 2
8．（2024·贵州遵义·一模）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
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作差：首先计算两个数或代数式的差，即A−B．
变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易
判断的形式．
定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于B；若差式为负
数，则原数A小于B；若差式为零，则A等于B．
结论：根据变形和定号的结果得出结论，即A>B或A0
∴x2+1>2x−1
a a+2
(1)已知2b>3a>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
79 77
(2)比较大小： ______ （填“>”“=”或“<”）
118 115
9．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
√ 1
(1)化简：√(a+1) 2=_______；a − =______．
a
(2)若最简二次根式 与 是同类二次根式，求a的值．
√a2+a 3√6
1．（2023·内蒙古·中考真题）计算：|√8−2|+(π−2023) 0+ ( − 1) −2 −2cos60°．
2
2．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：( a 1 ) 1 ，其中 ，
− ÷ a b
a2−b2 a+b a2−ab
是方程x2+x−6=0的两个根．
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3．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，
(2x+ y) 2+(x−y)(x+ y)−5x(x−y)
其中x=√6−1，y=√6+1．
4．（2023·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
7x 4x−1
5．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
解：2×7x=(4x−1)+1，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
6．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游
戏：
(1)解不等式组：¿；
(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程x2−2x−m=0.
7．（2023·江苏徐州·中考真题）（1）解方程组¿
（2）解不等式组¿
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8．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
9．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金
分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；
我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
18
