文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（8 大题型）
数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简
单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心
而丢分.
+
题型一： 实数与根式的计算
1．（2023·湖南张家界·中考真题）计算：|−√3|−(4−π) 0−2sin60°+
(1) −1
．
5
2．（2023·湖北宜昌·一模）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
a
(1)若|a|=|b|，则a+b= ， = ．
b
(2)化简：√c2+√3 (a+b) 3−|c−b|．
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
1）a0=1 （a≠0），a-n= （a≠0，n为正整数）
an
2）①|a-b|=a-ba>b ②|a-b|=0 a=b ③|a-b|=b-aa<b
3）特殊的三角函数要记牢.
4）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
1 −1
1．（2022·湖南娄底·中考真题）计算：(2022−π) 0+( ) +|1−√3|−2sin60°．
2
2．（2023·湖北宜昌·一模）已知a，b满足√a+1+|b−1|=0，求a2022+b2023−4ab的平方根．
3．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：
．
√a2−|a+c|+√(c−b) 2−√(b−a) 2
题型二： 代数式的混合计算
1．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ．
(2a−3) 2−(a+5)(a−5)
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）化简：( a ) a2−a．
1− ÷
a+1 a2−1
3．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式P．
(2)将整式P因式分解．
(3)P的最小值为______．
1）幂的运算
2）乘法公式
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3）因式分解
1．（2024·重庆·模拟预测）计算：
(1)
(a+2b)(a−2b)+(a−b) 2
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 3 ) x2−4x+4
(2) x−1− ÷ ．
x+1 x+1
2．（2024·湖南·模拟预测）已知整式A=4x2+4x−24．
(1)将整式A分解因式；
(2)求证：若x取整数，则A能被4整除．
题型三： 化简求值
√5+1
1．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：(x−2y) 2+x(5 y−x)−4 y2，其中x= ，
2
√5−1
y= ．
2
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：( x2−1
−
1 )
÷
3 ，其中
x=
(1) −1
+(−3)
0．
x2−2x+1 x−1 x−1 2
化简求值常见方法汇总：
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使
它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为
0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数
的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的
符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况
进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分
简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又
可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一
个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
3
1．（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值：(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)(a−b) ，其中a=− ，b=2．
2
2 ． （ 2024· 山 东 滨 州 · 一 模 ） 先 化 简 再 求 值 ： ( x2 2x ) x ， 其 中
− ÷
x−1 x−1 x−1
x=(√3−1) 0+
(1) −1
+√(−√5) 2 −|−1|．
2
3．（2024·四川广元·二模）先化简，再求值： x2−2x ( 2x−1) 其中 x 是不
÷ x+1− ，
x2−1 x−1
等式组 ¿的整数解．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式( x+2 x−1 ) x−4 的
− ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
值，其中x=2(tan45°−cos30°)．
题型四： 解方程（组）相关计算
4x−3 2x−2
1.解关于x的一元一次方程： −1= ．
5 3
2.（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组¿
2x−5 3x−3
3．（2023·江苏连云港·中考真题）解方程： = −3．
x−2 x−2
4．（2023·广东广州·中考真题）解方程：x2−6x+5=0．
1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为1；
2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
①当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
②当b=0时，首选直接开平方法；
③当c=0时，可选因式分解法或配方法；
④当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
⑤当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
3）解分式方程时易错点：
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0的根，它不是原分式方程的
根．
④解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
⑤分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去
分母后的整式方程无解.
3x−2 5−4x
1．（2023·浙江·一模）解方程： −1=
3 6
2．（2023·陕西西安·二模）解方程组：¿
3．（2023·江苏连云港·模拟预测）解下列方程：
3x−5 1
（1） =1− ；
x−2 2−x
（2）x2−4x+3=0．
题型五： 解一元一次不等式组
（2023·江苏·中考真题）解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
1）不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c
若a<b，则a±c < b±c
a b
基本性质2 若a>b, c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
a b
基本性质3 若a>b ,c<0，则ac<bc（或 < ）
c c
2）不等式组解集的确定有两种方法：
①数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
②口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
3）解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出不等式组中各不等式的解集.
②将各不等式的解决在数轴上表示出来.
③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2023·山东济南·中考真题）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
题型六： 根与系数关系和根的判别式综合应用
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
2．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程
x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若 ， 是方程的两个实数根，且x x 5，求m的值．
x x 2+ 1=−
1 2 x x 2
1 2
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1）根的判别式
①求根公式的使用条件：a≠0且△≥0.
②使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
③利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
④一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
2）一元二次方程根与系数的关系
①如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q .
②以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x 1+ x 2 ）x+
x •x ＝0.
1 2
③一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
④用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·江西新余·一模）关于x的方程 ．
x2−(2k+1)x+k2=0
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；
(2)设 和 是方程的两根，且 ，求k的值．
x x x2+x2=6+x x
1 2 1 2 1 2
题型七： 新定义问题
（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：3※1=3−1=2，
5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并
结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．
一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念．这类
试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与已学知识
联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
1．（2023·河北沧州·模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b=ab2+ab+a，例
如：2※5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※(−2)的值．
(2)若 ，求 的取值范围．
(m−√2)※2>14 m
2．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
3．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如
4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
( 1)
(2)若x☆ − =3，求x的值；
4
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
4．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b=a2−ab，根
据这个规则，解决下列问题：
(1)求(x+2)△5=0中x的值；
(2)证明：(x+m)△5=0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
题型八：比较大小
（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵ ，
(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
1）实数比较大小的6种基础方法：
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b
4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b
5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b
6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b
2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b
3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b
2 1 1 3 2 1 4 3 1 5 4 1
1．（2023·浙江温州·模拟预测）观察下面的等式： − = ， − = ， − = ， − = ……
3 2 6 4 3 12 5 4 20 6 5 30
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
2022 2021 2021 2020
(3)请用以上规律比较 − 与 − 的大小．
2023 2022 2022 2021
2．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）观察以下10个乘积，回答下列问题．
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式．
例如：11×29=x2−y2=(x+ y)(x−y)，列出方程组，解x，y的值即可．
按照以上思路写出“将11×29写成平方差的形式”的完整过程；
探究：观察以上10个乘积，当a+b=40时，ab______202；（比较大小）
(m) 2
拓展：当a+b=m时，比较ab与 的大小，并说明理由．
2
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）（1）计算： ( − 1) −2 +√3−8+|√3−2|+4sin60°+ 1
3 2+√3
（2）分解因式：−2ax3+12ax2−18ax．
2．（2024·江苏扬州·一模）解不等式组：¿，并求出它的所有整数解的和．
3 ． （ 2024· 江 西 吉 安 · 一 模 ） 先 化 简 ： ( a2−a 2 ) a2−4， 再 从
+ ÷
a2−2a+1 1−a a−1
−2，−1，0，1，2中选一个合适的数作为a值代入求值．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x+3 2
4．（2024·陕西西安·二模）解方程： =1− ．
x−2 x+3
5．（2024·江苏南通·模拟预测）（1）化简： a2−9 a−3；
÷
a2+6a+9 a
（2）解方程：x(2x−5)=5−2x．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位
数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就是一个
“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算A(13)的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个“平方和数”，
①设k=x2+ y2，则A(k)=________；
k
②当A(k)= −18，求k的值．
2
7．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的方程为x2−2(m+2)x+m2+4=0．
(1)若方程有两个实数根，求实数m的取值范围；
(2)设方程的实数根为 ， ，求 的最小值．
x x y=x2+x2
1 2 1 2
8．（2024·贵州遵义·一模）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
作差：首先计算两个数或代数式的差，即A−B．
变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易
判断的形式．
定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于B；若差式为负
数，则原数A小于B；若差式为零，则A等于B．
结论：根据变形和定号的结果得出结论，即A>B或A<B．
例：比较x2+1与2x−1的大小．
∴ ，
(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0
∴x2+1>2x−1
a a+2
(1)已知2b>3a>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
79 77
(2)比较大小： ______ （填“>”“=”或“<”）
118 115
9．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
√ 1
(1)化简：√(a+1) 2=_______；a − =______．
a
(2)若最简二次根式 与 是同类二次根式，求a的值．
√a2+a 3√6
1．（2023·内蒙古·中考真题）计算：|√8−2|+(π−2023) 0+ ( − 1) −2 −2cos60°．
2
2．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：( a 1 ) 1 ，其中 ，
− ÷ a b
a2−b2 a+b a2−ab
是方程x2+x−6=0的两个根．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，
(2x+ y) 2+(x−y)(x+ y)−5x(x−y)
其中x=√6−1，y=√6+1．
4．（2023·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
7x 4x−1
5．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
解：2×7x=(4x−1)+1，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
6．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游
戏：
(1)解不等式组：¿；
(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程x2−2x−m=0.
7．（2023·江苏徐州·中考真题）（1）解方程组¿
（2）解不等式组¿
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
9．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金
分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；
我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
18
