文档内容
重难点突破 09 导数中的“距离”问题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................2
题型一：曲线与直线的距离................................................................................................................2
题型二：曲线与点的距离....................................................................................................................3
题型三：曲线与圆的距离....................................................................................................................3
题型四：曲线与抛物线的距离............................................................................................................4
题型五：曲线与曲线的距离................................................................................................................4
题型六：横向距离................................................................................................................................5
题型七：纵向距离................................................................................................................................6
题型八：直线与两曲线交点的距离....................................................................................................7
03 过关测试..........................................................................................................................................8导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的
距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题
转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导
数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数 的最小值为 ，则正实
数 （ ）
A．3 B． C． D．3或
【典例1-2】若函数 ，函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】点M是曲线 上的动点，则点M到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点 分别是函数 图象上的动点，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【变式1-4】已知函数 ， ，点 与 分别在函数 与
的图象上，若 的最小值为 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或3
【变式1-5】若实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式1-6】已知实数 ， ， ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
题型二：曲线与点的距离
【典例2-1】若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 ，P为曲线 上动点，若点A，
P间距离的最小值为 ，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实
数 为 .
题型三：曲线与圆的距离
【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆 和曲线
上，则 的最小值为 ．
【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 且 ，则
的最小值是（ ）A． B． C． D．8
【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若 ，则 最小值为( )
A． B．9 C． D．
【变式3-2】若 ， 分别是函数 与圆 上的点，则 的最小值为 ．
【变式3-3】已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段
长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
题型四：曲线与抛物线的距离
【典例4-1】设 ，当a，b变化时， 的最小值为
_______.
【典例4-2】设 . ，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：曲线与曲线的距离
【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为___________.
【典例5-2】设 ， ，则 的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则|
PQ|的最小值为 .
【变式5-2】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .【变式5-3】已知点P在函数 的图象上，点Q在函数 的图象上，则 的最小值
为 .
【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数 ， 上
运动，则 的最小值为 ．
【变式5-5】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-6】已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线 对称，若 ， 分别为它们图
象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点 分别是曲线 和曲线 上的
任意一点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：横向距离
【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 ， 的图象与直线y=m
分别交于A、B两点，则（ ）.
A．
B． ，曲线 在A处的切线总与曲线 在B处的切线相交
C． 的最小值为1
D． ，使得曲线 在点A处的切线也是曲线 的切线
∃【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线 ，曲线 交于点A，B，
则线段AB长度的最小值为 ．
【变式6-1】已知直线 ，分别与直线 和曲线 交于点M，N两点，则线段MN长度
的最小值是 ．
【变式6-2】直线 分别与曲线 ， 直线 交于 两点， 则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线 分别与直线 、曲线 交于点A，B，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知直线 分别与曲线 和曲线 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式6-5】已知函数 ， 的图象分别与直线 交于 两点，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
题型七：纵向距离
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线 与两曲线 分别交于 两点，且曲线
在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ，则下列结论：
① ，使得 ；②当 时， 取得最小值；
③ 的最小值为2；④ 最小值小于 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例7-2】直线 分别与曲线 和曲线 交于 ， 两点，则 的最小值
为A． B．2 C． D．
【变式7-1】动直线 （ ）与函数 ， 的图象分别交于点A，B，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知直线 与函数 ， 的图像分别交于A，B两点，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例8-1】已知直线 与曲线 ， 分别交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线 分别与直线 、曲线 交于点A，B，则
线段AB长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线 分别与直线 及曲线
交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．已知直线 与曲线 和直线 分别交于P，Q两点，则 的最小值为
．
2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常
需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学
知识来解答：若点 是曲线 上任意一点，则 到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．曲线 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知点P是曲线 上任意一点，点Q是直线 上任一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．若动点 在曲线 上，则动点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川·一模）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
10．若点 ， ，则 、 两点间距离 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．211．已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知实数a，b，c，d满足： ，其中e是自然对数的底数，则 的最小值
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．（2024·新疆·二模）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
16．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．9 B． C． D．
17．（2024·山东·模拟预测）若 ， ， ，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小
值为 .20．（2024·河北石家庄·一模）若实数 满足 ，则 的最
小值为 ．
21．已知实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为 ．
22．（2024·江西·一模）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意
一点（ 为自然对数的底），则线段 的长度的最小值为 ．
23．（2024·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足 ，则
的最小值为 ．
24．（2024·广东佛山·一模）若 分别是曲线 与圆 上的点，则 的最小值为 .
25．已知函数 的最小值是 ，则 的值是
