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跟踪训练 02 圆的方程
一．选择题（共15小题）
1．已知方程 表示半径为1的圆，则实数
A．2 B．1 C． D．
2．设 ， ，则以线段 为直径的圆的方程是
A． B． C． D．
3．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．棱长为 1 的正方体 中， 为正方体表面上的一个动点，且总有
，则动点 的轨迹所围成图形的面积为
A． B． C． D．1
5．设 、 是两定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是
A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线
6．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就
是 他 的 研 究 成 果 之 一 ， 指 的 是 ： 已 知 动 点 与 两 定 点 ， 的 距 离 之 比
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗
尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点， ， 且 ，若点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
8．圆 关于直线 对称的圆的方程为
A． B．
C． D．
9．圆心为 ，且经过坐标原点的圆的标准方程为
A． B．
C． D．
10．已知线段 ，则平面上全体满足 为定值 的点 的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
11．若点 在圆 的外部，则 的取值范围为
A． B． C． D．
12．动点 满足 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
13．点 是直线 上的动点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点
A． 和 B． 和C． 和 D． 和
14．在平面直角坐标系 中，已知 ， 两点，若圆 以 为直径，则圆
的标准方程为
A． B．
C． D．
15．已知圆 的圆心为 ，且与直线 相切，则圆 的方程是
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知
， 点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，则下列说法正确的是
A．圆 的方程是
B．过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
C．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为2，则该直线的斜率为
D．过直线 上的一点 向圆 引切线 、 ，则四边形 的面积的
最小值为
17． 卵形线是由法国天文家 引入的．卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点 ， 的距离的乘积等于常数 ， 是正常数，设
， 的距离为 ，当 时称得到的卵形线为双纽线．已知在平面直角坐标系 中，
到两定点 ， 距离之积为常数的点的轨迹 是双纽线， ， 是曲线
上一点，则
A．曲线 关于原点 中心对称
B． 的取值范围是 ，
C． 的最大值为
D．曲线 上有且仅有一个点 满足
18．已知动点 到原点 与到点 的距离之比为 ，动点 的轨迹记为 ，直线
，则下列结论中正确的是
A． 的方程为
B．动点 到直线 的距离的取值范围为
C．直线 被 截得的弦长为
D． 上存在三个点到直线 的距离为
19．已知点 满足 ，点 ， ， ，则
A．当 最小时，
B．当 最大时，C．当 面积最大时，
D．当 最大时， 面积为
20．1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线
卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知在
平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 ，其轨迹为一条
连续的封闭曲线 ．则下列结论正确的是
A．曲线 关于 轴对称
B．曲线 与 轴交点为 ， ， ，
C． 面积的最大值为6
D． 的取值范围是 ，
三．填空题（共5小题）
21．已知 ， ， ，则过 ， ， 三点圆的一般方程为 ．
22．阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比
为常数 的点的轨迹为圆，已知 ， 分别是圆 与直线
上的点， 是坐标原点，则 的最小值为 ．
23．已知圆 经过 ， 两点，且在 轴上截得的弦长等于6，则圆 的方程
为 ．
24．写出一个圆心在 上，且与直线 和圆 都相切的圆的方程
．
25．已知正方体 的棱长为3，动点 在△ 内，满足 ，则点
的轨迹长度为 ．四．解答题（共3小题）
26．已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）已知点 ，点 在圆 上运动，求线段 中点 的轨迹方程．
27．已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，动点
满足 ．
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，
求 的最大值；
是否存在定点 ，使得 的值是定值？若存在，求出点 的坐标及该定值；若不
存在，请说明理由．28．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记 的
轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程，并说明 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 于 ， 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连
结 并延长交 于点 ．证明：直线 与 的斜率之积为定值．
