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第 05 讲 椭圆及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的方程为 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意， ，即 ，
可得 ，则 .
故选：C
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若
一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结
论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一
点 ，若平行光与桌面夹角为 ，球的半径为 ，则点 到球与桌面切点距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，如图所示，则 ，
所以 到球与桌面切点距离的最大值为：
，
，
，
故选：D
3．（2023·青海西宁·统考二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．
他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆
的蒙日圆．若椭圆： （ ）的蒙日圆为 ，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图， 分别与椭圆相切，显然 .
所以点 在蒙日圆 上，
所以 ，所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：D4．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁
重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要
交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平
面截桥面为线段 ，且 过椭圆的下焦点， 米，桥塔最高点 距桥面 米，则此椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，依题意可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：D．
5．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）P为椭圆 上一点，曲线 与坐
标轴的交点为A，B，C，D，若 ，则P到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 中，令 得 ，令 得 ，
不妨设 ， ， ， ，则A，B为椭圆 的焦点，
则 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，
由椭圆定义可知，P点在以 ， 为焦点的椭圆上，
其中 ，故 ， ，
所以P为椭圆 上一点，
由 ，解得 ，则 ，故P到x轴的距离为 ．
故选：D
6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被
称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
【答案】D
【解析】由椭圆方程知 ， ，则 ，离心率为 ，A正确；
当长方形 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为 和4，其对角线长为 ，因此
蒙日圆半径为 ，圆方程为 ，B正确；
设矩形的边长分别为 ，因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以长方形
的面积的最大值是20，此时该长方形 为正方形，边长为 ，C正确，D错误．
故选：D．
7．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知 、 是椭圆 的左右焦点，点 为 上一
动点，且 ，若 为 的内心，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆的方程可得 ， ， ，
设内切圆的半径为 ，则 ，
可得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
故选：C．
8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 .若点 关于直线 的对称点 恰好在 上，且直线 与 的另一个交点为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 关于直线 的对称点 ，
由 ，得 ．
可知 ，又知 ，
所以 ，则 为直角，
由题意，点 恰好在 上，根据椭圆定义 ，得 ，
，设 ，则 ，
在直角三角形 中， ，
解得 ，从而 ，
所以 .
故选：D．
9．（多选题）（2023·广东韶关·统考模拟预测）曲线C的方程为 ，则（ ）
A．当 时，曲线C是焦距为 的双曲线
B．当 时，曲线C是焦距为 的双曲线
C．曲线C不可能为圆D．当 时，曲线C是焦距为 的椭圆
【答案】AD
【解析】对于A，当 时，方程 化为 ，曲线 是焦距为 的
双曲线，A正确；
对于B，当 时，方程 化为 ，
曲线 是焦点在y轴上，焦距为 的椭圆，B错误；
对于C，当 时，曲线 表示圆 ，C错误；
对于D，当 时，方程 化为 ，
曲线 是焦点在x轴上，焦距为 的椭圆，D正确.
故选：AD
10．（多选题）（2023·云南·校联考二模）已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一
点，且 ，若 交C点于点Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
【答案】AD
【解析】由题意，在椭圆 中， ，不妨设 在 轴上方，
则 ， ，
所以 ，故B错；
的周长为 ，A正确；
设 ，在 中，
得 ，
所以 ，D正确；
，
所以 ，
故C不正确，
故选：AD．
11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知椭圆 的上顶点为
，两个焦点为 ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 两点，若 的周长是
26，则（ ）
A． B．
C．直线 的斜率为 D．
【答案】ACD
【解析】如图所示：
∵椭圆 的离心率为 ，
∴不妨设椭圆 ．
∵ 的上顶点为 ，两个焦点为 ，
∴ 为等边三角形，∵过 且垂直于 的直线与 交于 两点，
∴ ．故C项正确．
由等腰三角形的性质可得 ．
由椭圆的定义可得 的周长为 ，
∴ ．故A项正确，B项错误．
对于D项，设 ，联立 ，
消去y得： ，
则 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，故D项正确．
故选：ACD
12．（多选题）（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦点在 轴上，且 分别为
椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的离心率为
C．存在 ，使得
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，椭圆 的焦点在 轴上，故 ，解得 ，A正确；
B选项，设 ，则 ，
故 的离心率为 ，B错误；C选项，以 为直径的圆的方程为 ，与椭圆 联立得， ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，满足要求，
故存在 ，使得 ，C正确；
D选项，因为 ，故当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，
故最大面积为 ，
因为 ，所以当 时， 面积取得最大值，最大值为 ，D正确.
故选：ACD
13．（多选题）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，直
线 与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记 面积为S，则（ ）
A． B． 时，
C．S的最大值为 D．当 时，
【答案】ABD
【解析】由题知， ， ，设 ，则 ，
对于A，根据椭圆的定义，
，故A正确；
对于B， ，故 ，
因为 ，即 ，所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，即
所以， 面积为 ，即 的最大值为 ，故C错误；
对于D， ，所以 ，因为 ，
所以 ，
由点 在椭圆C得 ，又 ，
所以 ，整理得 ，即
，解得 ，
所以 ，所以 面积为 ，故D正确；
故选：ABD.
14．（多选题）（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当 时，四边形ABFF 为矩形
1 2
C．若 ，则
D．存在实数m使得四边形ABFO为平行四边形
1
【答案】ABD
【解析】
由椭圆与 关于 轴对称，可得 ，故A正确；当 时，可得 ，又 ，
则 ，则四边形 为矩形，故B正确；
设 ，则 ，
若 ，则 ，又 ，
联立消元得 ，解得 ，故C错误；
若四边形 为平行四边形，则 ，即 的横坐标为 即可，
代入椭圆方程可得 ，故当 时，四边形 为平行四边形，故D正确．
故选：ABD．
15．（2023·江西鹰潭·统考一模） ， 是椭圆E： 的左，右焦点，点M为椭圆E上
一点，点N在x轴上，满足 ， ，则椭圆E的离心率为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，则 是 的角平分线，
所以 ，
又因为 ，所以 ，设 ，
由椭圆定义得 ，
即 ，解得 ，
则 ，
则 ，
所以 ，则 ，
故答案为：
16．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分
别为 ，左顶点为 ，上顶点为 ，点 是椭圆上位于第一象限内的点，且 为坐标原
点，则椭圆的离心率为 .
【答案】 /
【解析】设 为半焦距，因为 ，所以 ，故点 ，
因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，
所以 ，得 ，又 ，所以 .
故答案为：17．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知 是椭圆 的左，右焦点，过点 的直线
与椭圆交于A，B两点，设 的内切圆圆心为 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 为 的内切圆圆心，则 ，
显然 是锐角，当且仅当 最大时， 最大，且 最大，
又 ，即有 最小，
在椭圆 中， ，
在 中，
，当且仅当 时取等号，
因此当 ，即 为正三角形时， 取得最大值 ， 取最大值 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
18．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面
上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为 ， 垂直于地面且与球相切，
，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】依题意，平面 截球O得球面大圆.
如图， 是球O大圆的外切三角形，其中 ， 切圆O于点E，F，显然 ，
而 ，则 ，
又 ，则 ，
由圆的切线性质知 .
在 中， ，则 ，于是得椭圆长轴长 ，
即 .
又F为椭圆的一个焦点，令椭圆的半焦距为c，即 ，因此 ，
所以椭圆的离心率 .
故答案为：
19．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设 内接于椭圆 ， 与
椭圆的上顶点重合，边 过 的中心 ，若 边上中线 过点 ，其中 为椭圆 的半焦距，则
该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】如图：
边 过 的中心 ，所以 为 的中点，
则 为边 上的中线， 边上中线 过点 ，
所以两中线的交点为 ，即 为 的重心，
所以 ，即 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
20．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）设椭圆 的左、右焦点
分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
【解析】（1）由题设 及 ，不妨设 ，
所以 ， ，解得 或 （舍去），从而 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，
原点 到直线 的距离为 ，将 代入整理得 ，
即 ，
所以离心率 .
（2）由（1）问可设椭圆方程为 ，则 ，
因为 ，所以 为平行四边形，
所以直线 过 点，则 斜率为 ，
则设直线 方程为 ，
联立椭圆方程得 ，显然 ，则 ，
则 ，解得 （负值舍去），
所以 ，所以椭圆方程为 .1．（2022•甲卷）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若
直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】已知 ，设 ， ，则 ， ，
，
，
故 ①，
，即 ②，
②代入①整理得： ，
．
故选： ．
2．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】【解析】 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最大值为9．
故选： ．
3．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，
则 的离心率的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】点 的坐标为 ，设 ， ，
则 ，
，
故 ， ， ，
又对称轴 ，
当 时，即 时，
则当 时， 最大，此时 ，
故只需要满足 ，即 ，则 ，
所以 ，
又 ，
故 的范围为 ， ，
当 时，即 时，
则当 时， 最大，此时 ，
当且仅当 即 时等号成立，
又 ，所以 ，即 ，
故不满足题意，
综上所述的 的范围为 ， ，
方法二：根据题意，有 ，设 ， ，则 ，
也即 ，
不妨设 ，则 ， ， ，
也即 ， ， ，
也即 ， ， ，
从而可得 ， ，
从而离心率的取值范围为 ， ，
故选： ．
4．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】 是椭圆 的上顶点，所以 ，
点 在 上，设 ， ， ， ，
所以
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
故选： ．
5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是 ．
【答案】13．
【解析】 椭圆 的离心率为 ，
不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
△ 为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，解得 ，
的周长等价于 ．
故答案为：13．
6．（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，由 ， ，
相减可得： ，
则 ，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，
，解得 ，
， ，化为： ．
， ，解得 ．
的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
7．（2021•甲卷）已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】8．
【解析】因为 ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，
所以四边形 为矩形，
设 ， ，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
所以四边形 的面积为 ．
故答案为：8．
8．（2021•浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ， ．若过 的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ．
【答案】 ．
【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过 ，设直线的方程为 ，
直线和圆 相切，
圆心 到直线的距离与半径相等，
，解得 ，
9．（2021•上海）已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛物线
交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
【答案】 ．
【解析】设 ， ，则抛物线 ，
直线 ，联立方程组 ，解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，所以 ，又
所以 ，
则 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
故答案为： ．
10．（2020•上海）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、
两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方程是
．
【答案】 ．
【解析】椭圆 的右焦点为 ，
直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点（点 在第二象限），
若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，可知直线 的斜率为 ，所以直线 的方程是： ，
即 ．
故答案为： ．
11．（2023•北京）已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为 的上、下顶点， 、
分别为 的左、右顶点， ．
（1）求 的方程；
（2）点 为第一象限内 上的一个动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
求证： ．
【解析】（1）由题意可得： ， ， ，
解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）证明： ， ， ， ，
直线 的方程为 ，化为 ．
设直线 的方程为： ， ， ， ．
联立 ，化为： ，
解得 或 ，
， ．直线 方程为： ，即 ，
与 联立，解得 ， ．
， ．
，
，
．
12．（2022•北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点
， ．当 时，求 的值．
【解析】（Ⅰ）由题意得，
， ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设过点 的直线为 ， ， ， ， ，
联立得 ，即 ，
直线与椭圆相交， △ ， ，
由韦达定理得 ， ，
， 直线 为 ，
令 ，则 ， ， ，同理 ， ，，
， ，
．
