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重难点突破 02 圆锥曲线中的定点、定值问
题
1．已知椭圆 过点 ；过原点且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交
于 ， 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）记椭圆 的右焦点为 ，分别延长 ， 交椭圆 于 ， 两点，探究：直
线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
2．如图，过顶点在原点、对称轴为 轴的抛物线 上的点 作斜率分别为 ， 的
直线，分别交抛物线 于 ， 两点．
（1）求抛物线 的标准方程和准线方程；
（2）若 ，证明：直线 恒过定点．3．平面直角坐标系 中， 是不在 轴上一个动点，满足条件：过 可作抛物线
的两条切线，两切点连线 与 垂直，设直线 与 ， 轴的交点分别为 ，
．
（1）证明： 是一个定点；
（2）求 的最小值．4．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线上一点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 为坐标原点），则直线 是否会
过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．5．已知椭圆 ，右焦点 的坐标为 ，且点 在椭圆 上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；
（Ⅱ）过点 的直线交椭圆于 ， 两点（直线不与 轴垂直），已知点 与点 关于
轴对称，证明：直线 恒过定点，并求出此定点坐标．
6．已知两定点 ， ，过动点 的两直线 和 的斜率之积为 ．设动点
的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 ，过 的直线 交曲线 于 、 两点（不与 、 重合）．设直线
与 的斜率分别为 ， ，证明 为定值．7．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的上顶点为 ，过 的两条直线 ， 分别与 交于异于点 的 ， 两
点，若直线 ， 的斜率之和为 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出该定点；若
不是，请说明理由．
8．已知椭圆 的离心率 ，且椭圆 经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且斜率不为零的直线与椭圆 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为
，求证：直线 与 轴交于定点 ．9．已知 为椭圆 上一点，点 与椭圆 的两个焦点构成的三
角形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）不经过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若直线 与 斜率的乘积为 ，
证明：直线 必过定点，并求出这个定点坐标．
10．已知以 为焦点的抛物线 的顶点为原点，点 是抛物线 的准线上任意一点，
过点 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点，设直线 、 的斜率分
别为 、 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若点 的纵坐标为1，计算 的值；
（3）求证：直线 过定点，并求出这个定点的坐标．11．已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线 的方程及其准线方程；
（2）设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为0的直线 交抛物线 于 、 两点，
直线 分别交直线 ， 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过定点．12．已知：平面内的动点 到定点为 和定直线 距离之比为 ，
（1）求动点 的轨迹曲线 的方程；
（2）若直线 与曲线 的交点为 ， ，点 ，
当满足a_____时，求证：b_____．
① ；
② ；
③直线 过定点，并求定点的坐标．
④直线 的斜率是定值，并求出定值．
请在①②里选择一个填在 处，在③④里选择一个填在 处，构成一个命题，在答题卡上
陈述你的命题，并证明你的命题．
13．已知双曲线 的左右顶点分别为点 ， ，其中 ，且
双曲线过点 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线分别交 的左、右支于 ， 两点，过点 作垂直于 轴的直线，交线段 于点 ，点 满足 ．证明：直线 过定点，并求出该定点．
14．已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，
过点 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，再过点 作斜率为 的直线交
椭圆 于点 ，问直线 与直线 的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，
请说明理由．15．抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与抛物线 交于 ， 两点，
当 垂直于 轴时 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 ，直线 ， 与抛物线 的交点分别为 ， ；探究直线 是否
过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
