第八章立体几何（综合检测）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）参考答案_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

第八章 立体几何章末检测 参考答案 1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．A 7．A 8．B 9．BD 10．ABC 11．BD 12．AD 13． 14． 15． 16．①④ 17．【详解】（1）证明：连接 ，∵在矩形 中， ， 分别是 ， 中点， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ . ∵ 是 的中点，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 平面 . ∵ ，∴平面 平面 . ∵ 平面 ，∴ 平面 . （2）解：法一：∵ 平面 ， ，∴ 平面 . 过 在平面 内，作 ，垂足为 ，则 . ∵ ，∴ 平面 ，∴ 长是点 到平面 的距离. 在矩形 中， 是 中点， ， ， .∴ . ∵ ， ，∴ ， 即点 到平面 的距离为 . 法二：设 到平面 的距离为 ， 在矩形 中， ， ，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ 的面积为 . ∵ 的面积为 ， ， ∴ ，∴ ，即点 到平面 的距离为 . 18．【详解】（1）解：（1）在正三棱柱 中，易知 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . （2）（2）取 的中点 ，连接 ，易知 是正三角形，所以 . 又三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 ， 所以以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴， ， 所在直线分别为 轴､ 轴建立如图所示 的空间直角坐标系. 设 ， ，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 则 ，令 ，则 ，所以 ， 易知平面 的一个法向量 ， 所以 . 因为平面 与平面 所成的锐二面角的大小为30°， 所以 ，整理得 ， 所以 ， ， 设直线 与平面 所成角的大小为 ， 则 . 19．【详解】（1）取 中点为 ，连接 ， 在 中， ， ， ，， ，所以 ， 又 ， ，而 ，所以 ， 又 ， ， ， 又 ， ， 平面 （2）存在点F是 的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于 ． 以A为坐标原点，以 为x轴， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，设点 ， 因为点F在线段 上，设 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， 则 ，令 ，则 设直线CF与平面 所成角为 ， ， 解得 或 （舍去）， ，此时点F是 的中点，所以存在点F． 20．【详解】（1）取BE的中点O，连接PO，OF，因为 ， ，线段AD，BC的中点分别为点E，F，所以 ， ， 又因为 ，所以 ，在等腰直角 中， ， ，所以 平面PFO， 因为 平面PFO，所以 . （2）当四棱锥 体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O，即 平面BCDE. 法一：以OB，OF，OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系 .如图3. 则 ， ， ， ， 设平面PEC的法向量为 ，则 取 ，可得 易得平面ECB的一个法向量 所以 因为二面角 是锐角，所以二面角 的大小为 . 法二：在 中，因为 ， ， ，所以 . 在 中， ， ， ，所以 . 由二面角的定义可知，二面角 的平面角就是 .所以二面角 的大小为 .21．【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， 为 中点， ； ， ， ； 四边形 为菱形， ， 为等边三角形， ， 又 分别为 中点， ， ，即 ； ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （2）连接 ， 由（1）知： 为等边三角形， ， ； 以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ； 设 ，则 ， ， 轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ， ， 解得： （舍）或 ，即 ， ； 由 得： ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，解得： ， ， ； 轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ， ， ，即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 22．【详解】（1）解法一：连接 交 于 ，连接 ． 在四棱柱 中，易知四边形 为平行四边形， 所以 是 的中点， 在 中，因为 是 的中点，所以 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 解法二：作辅助线，找到过 且平行于平面 的一个平面 取 的中点 ，连接 ， ， ， 因为 是 的中点，所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 易知 ， ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ．又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．又 ，所以平面 平面 ． 又 平面 ，所以 平面 ．（2）由（1）中解法二：知 为 的中点，连接 ， 在 中， ，所以 ． 又平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ． 在四棱柱 中，底面 是棱长为2的菱形， ， 所以 ． 由四棱柱 的体积为6，得 ，解得 ． 连接 ，易知 为正三角形，因为 为 的中点，所以 ， 所以 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ， 则由 ，得 ，取 ，则 , ，得 ． 设平面 的法向量为 ， 则由 ，得 ，取 ，则 ， ，得 ． 所以 ，易知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 ．