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第八章 立体几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若 ， ，且 ， 的夹角的余弦值为 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． 或 D．2或
2．已知空间两不同直线 、 ，两不同平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 且 ，则
D．若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
3．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以
为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为 ，圆
柱的侧面积为 ，则该毡帐的体积为（ ）
A． B． C． D．4．如图， 是直三棱柱， ，点 ， 分别是 ， 的中点，若
，则 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正四棱台 中， ， 、 分别为棱 、 的中点，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A． 平面 B．
C． 平面 D．
6．圆锥的高为1，体积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．在 中， ， ， ，将 绕AB旋转至 处，使平面 平面
ABC，则在旋转的过程中，点C的运动轨迹长度至少为（ ）A． B． C． D．
8．四棱锥 中，底面ABCD为边长为4的正方形， ， ，Q为正方形
ABCD内一动点且满足 ，若 ，则三棱锥 的体积的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量 则下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 B．以 ， 为邻边的平行四边形的面积是
C．若 ，则 ， 之间的夹角为钝角 D．若 ，则 ， 之间的夹角为锐角
10．如图，在正方体 中，P是正方形 的中心，E是PC的中点，则以下结论
（ ）
A． 平面BDE B．平面 平面BDE
C． D．异面直线PC与AB所成的角为11．如图，在直三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ，点M在 上，且
，P为线段 上的点，则( )
A． 平面
B．当P为 的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为
C．存在点P，使得
D．存在点P，使得三棱锥 的体积为
12．如图，在棱长为a的正方体 中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段 上的动
点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°
C．不存在点P使得D．当点P为 中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边
长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
14．在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，则
点Q的轨迹长度为 ．
15．已知三棱锥 ，若 ， ， 两两垂直，且 ， ，则三棱锥
的内切球半径为 ．
16．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，点
在 上，且 ，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：
①当点 是 中点时，直线 平面 ；
②平面 截正方体 所得的截面图形是六边形；
③ 不可能为直角三角形；④ 面积的最小值是 .
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ， ， 分别是棱 ， ，
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求点 到平面 的距离.
18．如图，正三棱柱 中， 是侧棱 上一点，设平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为30°，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于 ？
20．如图1，已知矩形ABCD，其中 ， ，线段AD，BC的中点分别为点E，F，现将 沿
着BE折叠，使点A到达点P，得到四棱锥 ，如图2.
(1)求证： ；
(2)当四棱锥 体积最大时，求二面角 的大小.21．如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的菱形， ， 为 的中点，
． 为 上的一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试确定 的值，并求出平面 与平面 所成二面角的正弦值．
22．如图，在四棱柱 中，底面 是边长为2的菱形， ， ，平面
平面 ， 为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 的体积为6，求二面角 的余弦值．
