第八章立体几何初步知识总结_33272686(1)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第八章 立体几何初步 要点一：空间几何体的结构与特征 1．棱柱的有关概念、性质和分类 （1）概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几 何体叫做棱柱． （2）准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征： ①有两个面互相平行（底面）；②其余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平行． （3）棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两 条侧棱的截面是平行四边形， （4）棱柱的分类： ①按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱…… ②按侧棱与底面的位置关系分： （5）特殊的四棱柱： ① ； ②长方体对角线定理：长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和． 熟练掌握棱柱的概念，才能准确地应对概念题，也能准确地判断棱柱中的线面关系． 2．棱锥的概念和性质 （1）概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥． （2）正确理解棱锥的概念要注意它的两大特征： ①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共顶点的三角形． （3）一般棱锥的截面性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的 比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比． （4）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫 正棱锥． （5）正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是个等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；③棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影 也组成一个直角三角形． 掌握正棱锥的概念和性质，特别是其中的几个直角三角形，可求高、斜高、侧棱长等．另外，还要熟悉一 条侧棱垂直于底面的棱锥，高考中棱锥多半是这两种． 3．棱台的概念及性质 （1）概念：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．（2）棱台的有关概念： ①原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面； ②相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱； ③当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段的长或距离叫做棱台的高； ④正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． （3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． （4）正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形； ②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形； ③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形； ④两底面中心连线、侧棱和两底面相应外接圆的半径也组成一个直角梯形； ⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高； ⑥正四棱台的对角面是等腰梯形． 4．圆柱、圆锥、圆台的概念与性质 （1）概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋 转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台． （2）性质： ①平行于底面的截面都是圆； ②它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形． （3）圆台的中截面而积： ． （4）圆心角： ①圆锥侧面展开图的扇形圆心角： （其中l、r分别为圆锥的母线长、底面半径）； ②圆台侧面展开图的扇环圆心角： （其中l为圆台的母线长， 分别为圆台上、下 底面半径）． （5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开 图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． （6）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有 关截面及旋转体的轴截而将空间问题转化为平面问题． 5．球的概念与性质 （1）概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆面旋转一周所形成的几何体叫球 （2）球的性质： ①同一个球的半径都相等，直径也相等； ②用任意平面截球的截面都是一个圆，过球心的截面所得到的圆的直径最大． （3）与球有关的组合体问题：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位 置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心， 正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线的长等于球 的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球 心，或“切点”“接点”作出截面图．6．三视图和直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的 性质，由空间几何体可以画出它的节视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以 相互转化． （1）画三视图时，可以把垂直投影面的视像想象成平行光线从不同方向射向几何体所成的像，可见的轮 廓线（包括被遮挡但是可以经过想象透视的轮廓线）的投影就是所要画出的视图． （2）检验所画视图是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征． （3）旋转体的三视图中，一般有两个视图是相同的， 并且这两个相同的视图中包含有这个旋转体的轴截面． （4）斜二测画法的画图规则可以简要说成：“竖直或水平放置的线段画出时，长度、方向都不变；前后 方向放置的线段画出时，与水平方向成 （或 ）角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度）．” 在画出直观图时，首先应该画出图形中决定其形状、位置和大小的一些关键点． 7．柱、锥、台、球的表面积和体积 （1）直棱柱的侧面积计算公式： ． （其中h、c分别为直棱柱的高与底面多边形的周长）即直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积． （2）正棱锥的侧面积计算公式： ． （其中 分别为正棱锥的斜高与底面正多边形的周长）即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘 积的一半． （3）正棱台的侧面积计算公式： ． （其中 分别为正棱台的斜高及上、下底面正多边形的周长）即正棱台的侧面积等于它的上、下底边 的周长之和与斜高积的一半． （4）棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． （5）圆柱、圆锥、圆台的表面积： ①由圆柱侧面展开图为一矩形，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 ， 因此， ． ② 由 圆 锥 侧 面 展 开 图 为 一 扇 形 ， 设 圆 锥 底 面 半 径 为 r ， 母 线 长 为 l ， 则 ． （6）柱体、锥体、台体的体积： ①设柱体的底面积为S，高为h，则 ．②设锥体的底面积为S，高为h，则 ． ③设台体的上、下底面积分别为S、 ，高为h，则 ． （7）球的表面积和体积计算公式： ①球的表面积计算公式： （其中R为球的半径）即球面面积等于它的大圆面积的四倍． ②球的体积公式： ． ③球的表面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所 构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的关键． （8）球与其他几何体形成的组合体问题： ①球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此问题常常利用截面来表现 这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题． ②作适当的截面（如轴截面等）．对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方 体的两条对角线，才有利于解题． 要点二：平面基本性质 1.平面 (1)平面的概念 ①平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念. ②平面具有无限延展性.数学里所说的“平面”将空间分成了两部分，如果想从平面的一侧到另一侧， 必须穿过这个平面.平面无边沿. ③数学中的平面是点的集合，因此，在空间中，平面无大小，无厚薄，无所谓面积. (2)平面的画法:平面是无限延展的，只能用一个有限图形表示平面（类似于画线段表示直线）.可用 平行四边形、三角形、圆或梯形等平面图形来表示某个平面，而表示平面的这些平面图形可根据需要扩展 或缩小，因此，只要看到表示平面的图形、符号或文字，应当立即联想到平面是无限延展的. （3）平面的表示方法 平面通常用一个小写的希腊字母表示，如平面、平面  、平面  等，根据问题的实际需要有时也用 表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC ，平面BD；或者用表示多边形顶 点的字母来表示，如平面ABC. 2.平面的基本性质及应用 (1)平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.（即Al， Bl，A，Bl，如图 2-1 所示.）公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.（即A、B、C三点不共线有且只有一 个平面，A，B，C，如图2-2所示. ) 公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. (即 P=l 且Pl，如图2-3所示.) 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. (2)平面基本性质的应用. ①公理1 反映了平面与曲面的本质区别，通过直线的“直”和“无限延伸”的特性，揭示了平面的 “平”和“无限延展”的特性.它是判断直线在平面内的依据. ②以“直线在平面内”的意义为依据，可如下判定“点在平面内”：Al，l A. ③公理3说明了若两平面相交，必交于一条直线，这是由平面的无限延展性决定的.它是确定两平面交 线的依据，即先找两平面的两个公共点，再作连线. 公理3也是判定两平面相交的依据.即若两平面有两个公共点，则必相交于这两点确定的直线. A   A A  以“两平面相交”定义为依据，可判定“点在线上”： =a .(从而可证“点共线”“线共 点”） ④“确定一个平面”即“有且只有一个平面“有且只有一个”包含两层意思：“有”说明图形是存在 的；“只有一个”说明图形是唯一的. ⑤公理2及3推论，是确定平面及判断两个平面重合的依据，是证点、线共面的依据，也是作截面、 辅助面的依据.3.异面直线和共面直线 （1）把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 在同一平面内有且只有一个交点的两条直线叫相交直线. 在同一平面内没有公共点的两条直线叫平行直线. 相交直线和平行直线都为共面直线. （2）两条异面直线垂直的定义. 如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直. （3）对异面直线概念理解须注意的问题. ①异面直线所成的角的范围是090. ②为了求异面直线a、b所成的角，可以在空间中任取一点O，过O点分别作直线 a  a ， b  b 再通 过解三角形，求出a、b所成的角.但是，为了简便，点O常常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一 直线的某些特殊点，例如“端点”或“中点”处. ③将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使 平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科内的知识渗透. （4）异面直线的判定方法. ①依定义用反证法. ②异面直线的判定定理. 应用异面直线的判定定理时要注意定理中的四要素. 要点三：空间的平行与垂直关系 1.平行线的传递性 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补. 如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条直线垂直. 2.直线与平面平行的判定与性质定理 （1）判定定理： a  ba    a  b  . （2）性质定理： a     a a  b  =b . 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 (1)判定定理： a  ,b    a,b    ① ab=P  ，       ②    . (2)性质定理：     =aa  b  ① =b ，    a   ② a . 4.关于“线线平行”“线面平行”和“面面平行”相互转化的题型 5.直线与平面垂直的判定与性质定理 (1)判定定理： am,an   mn=A a a  b  b ① m,n ， ② a ， =b     ab a a  ③ a ， ④ a  . （2）性质定理： a a  b b . (3)掌握线面垂直的判定方法•特别是线面垂直的判定定理，在无条件的情况下，要创造条件（即作垂 线）把线面关系转化为线线关系.同一法、反证法也是证明线面垂直的一种方法. 6.平面与平面垂直的判定定理和性质定理 （1）判定定理： a  ① a ， ②依定义，二面角的平面角=90. （2）性质定理： , a ① a,ab  ，Aa,A a ② a, . 7.关于“面面垂直”“线面垂直”及“线线垂直”之间的相互转化 理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归 纳出以下判定定理： 总之，解决一切立体几何问题的核心任务是将空间问题转化为平面问题，这一点必须时时牢记. 类型一：柱体、锥体、台体及球的表面积和体积 例1.如图所示，半径为 的半圆 的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且分别切 于点 , 将半圆 与直角梯形 分别绕 所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，且球的表面积与圆台 的侧面积之比为 ，求圆台的体积. 分析：要求圆台的体积，只需求出上、下底面半径和高.由题设条件可知，圆台的高为 ，其上、下 底面半径之和等于母线长，再根据球的表面积与圆台的侧面积之比为 ，可求出圆台的上、下底面半径. 解：设圆台的上、下底面半径分别为 ，母线长为 ，则根据题意，得圆台的高 , ,所以 .又因为 ,且 , 所以 ,所以 , 所以 故圆台的体积为 . 解后反思：在本题计算过程中，采用了整体代入的方法避免了烦琐的计算，要注意此方法的应用. 类型二 球与其他几何体的简单组合体问题 例2.已知轴截面为等边三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积. 分析：作出轴截面，利用三角形及其内切圆之间的关系，求得球的半径. 解：如图作出轴截面，因为 是等边三角形， 所以 ,因为 cm, 所以 . 因为 ,所以 . 设 ,则 ,所以所以 ,所以 . 所以球的体积为 . 解后反思：圆锥的底面半径为1cm，其轴截面是边长为2cm的等边三角形，则问题为转化为求此等边 三角形内切球的半径问题. 类型三 几何体的截面问题 例3.一个圆锥的底面半径为2，高为6，该圆锥有一个高为 的内接圆柱. (1)用 表示圆柱的轴截面面积 ； (2)当 为何值是， 最大？ 分析：此题是圆柱与圆锥的一个组合体的计算应用问题，解题的关键是借助于它们的轴截面求解. 解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示.设圆柱的底面半径为 ， 则由三角形相似，得 ，解得 . (1) 圆柱的轴截面面积 (2)因为 所以当 时， 最大，最大值为6 解后反思：旋转体的轴截面可以使旋转体中的某些元素集中在同一个平面内，因此充分利用轴截面将 有助于我们研究旋转体各元素间的关系及计算. 类型四 割补法和等积法在求体积中的应用 例4.如图所示，已知三棱柱 ,侧面 的面积是 ，点 到侧面 的距离为 ，求证: 三棱柱 的体积 . 分析：本题有两种证法，即利用“分割法”或 “补全法”来解决. 证明：方法1(分割法)：如图1-9所示，连接 ,这样就把三棱柱分割成了两个棱锥. 三棱柱体积为 ，显然三棱锥 的体积是 ，而四棱锥 的体积为 ， 故有 ，即 . 方法2(补全法)： 如图1-10所示，将三棱柱 补成一个四棱柱 .其中 , .即四边形 是平行四边形. 显然三棱柱 的体积与原三棱柱 的体积相等. 以 为底面，点 到面 的距离为高， 显然补形后的四棱柱的体积为 . 故原三棱柱 的体积 . 解后反思：(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之. (2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等. (3)补台成锥是常用的解决台体侧面积与体积的方法.由台体的定义，我们在某种情况下，可以将台体 补充成锥体研究体积. 例5.如图所示，在棱台 中， ， ，求此棱台的体积.解：设 ， ,棱台的高为 . 因为 ，所以 又因为 所以 . 所以 ，则 . 又三棱锥 与三棱锥等 高， 而 . 所以 , 所以 解后反思：等积法也称等积变形或等积转换法，它是通过选择合适的底面来求体积的一种方法. 类型五 共点、共线、共面问题 例6 如图，在空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点， 、 分别在 、 上， 且 ，求证： （1） 、 、 、 四点共面； （2） 与 的交点在直线 上.分析：（1）由比例关系及中位线证 ；（2）设 与 的交点为 ，证 平面 ，且 平面 . 证明：（1）因为 ，所以 . 又因为 、 分别是 、 的中点，所以 . 所以 ，所以 、 、 、 四点共面. （2）因为 、 不是 、 的中点，所以 ，且 . 所以 EG 与FH 必相交,设交点为M ． 而 EG 平面 ABC ,HF 平面 ACD ． 所以M 平面 ABC ,且M 平面 ACD ． 因为平面 ABC 平面 ACD =  AC ， 所以 M AC ，即 EG 与HF 的交点在直线 AC 上． 解后反思：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化． 类型六 空间中的位置关系 m,n ， 例7．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面（ ） mn,n// m m//, m A．若 ,则 ． B．若 ,则 ． m,n,n m mn,n, m C．若 ,则 ． D．若 ,则 ． 解析:A中,由 mn,n// ，可得 m// 或 m 与  相交或 m ，错误；B中，由 m//, ， m// m  m C m,n m//n n 可得 或 与 相交或 ,错误； 中，由 ,可得 ，又 ，所以m ，正确；D中，又 mn,n, ,可得 m// 或 m 与  相交或 m ，错误． C 答案： ． 解后反思：对于判断空间中直线与平面之间的位置关系的问题，要考虑全面，不要遗漏某些特殊情况， 同时也可以借用常见的实物模型． m,n  例8．已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若 m//,n// ,则 m//n ． B．若 m,n ,则 mn ． C ．若 m,nm ,则 n// ． D．若 m//,mn ,则 n ． 解析：若 m//,n// ,则 m,n 可能平行、相交、异面，A错；若 m,n ,则 mn ,因为直线 与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若 m,nm ,则 n// 或 n ， C 错；若 m//,mn ,则 n 与  可能平行，可能相交，也可能 n ,D错． 解后反思：若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻 辑推理． 类型七 平行问题和垂直问题 例9．如图，在四棱锥 PABCD 中， AB//CD ，AB AD， CD 2AB ，平面PAD地面 ABCD ， PA AD,E 和F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： （1）PA地面 ABCD ； （2） BE// 平面PAD； （3）平面BEF 平面 PCD ．证明：（1）因为平面PAD底面 ABCD ，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面 ABCD ． AB//CD,CD 2AB,E CD （2）因为 为 的中点， 所以 AB//DE 且AB DE ． 所以四边形ABED为平行四边形． BE//AD 所以 ． 又因为 BE  平面PAD，AD平面PAD， 所以 BE// 平面PAD． （3）因为AB AD，而且四边形ABED为平行四边形， BE CD,AD CD 所以 ． 由（1），知PA底面 ABCD ， PACD 所以 ． 所以 CD  平面PAD． CD PD 所以 ． 因为E和F 分别是 CD 和 PC 的中点， PD//EF CD EF 所以 ．所以 ． 又因为 CD BE ， EF  BE  E ， 所以 CD  平面BEF ． 所以平面BEF 平面 PCD ． 在证明两个平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线 来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一 步转化为线线垂直．