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第八章 立体几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若 ， ，且 ， 的夹角的余弦值为 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． 或 D．2或
【答案】C
【分析】根据 ，解得即可得出答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
解得： 或 .
故选：C.
2．已知空间两不同直线 、 ，两不同平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 且 ，则D．若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
【答案】C
【分析】A选项， 与 可能平行、相交或异面， B选项，有 或 ， C选项，由面面垂直的判
定定理可知正确.D选项， 与 有可能垂直.
【详解】对于A选项，若 且 ，则 与 可能平行、相交或异面，故A错误.
对于B选项，若 且 ，则 或 ，故B错误.
对于C选项，因为 ，所以由线面平行的性质可得 内至少存在一条直线 ，使得 ，又 ，
所以 ，由面面垂直的判定定理可知 ，故C正确.
对于D选项，若 不垂直于 ，且 ， 与 有可能垂直，故D错误.
故选:C.
3．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以
为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为 ，圆
柱的侧面积为 ，则该毡帐的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再
利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，圆锥的母线长为 ，
因为圆锥的侧面积为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以联立解得 （负舍）.
因为圆柱的侧面积为 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以该毡帐的体积为 .故选：A.
4．如图， 是直三棱柱， ，点 ， 分别是 ， 的中点，若
，则 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.
【详解】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
可得 ， ，，
此时， 与 所成角的余弦值是 .
故选：A
5．如图，在正四棱台 中， ， 、 分别为棱 、 的中点，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A． 平面 B．
C． 平面 D．
【答案】C
【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取棱 的中点 ，连
接 、 ，推导出 、 相交，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接 ，如下图所示：
在正四棱台 中， ，则 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
由正四棱台的几何性质可知，四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，则平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ，A对；
对于B选项，将正四棱台 补成正四棱锥 ，
连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
又因为四边形 为正方形，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，故 ，B对；
对于C选项，取棱 的中点 ，连接 、 ，在梯形 中， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，故 且 ，
故四边形 为梯形，且 、 为两腰，则 、 相交，
又因为 平面 ，从而直线 与平面 有公共点，
即 与平面 不平行，C错；
对于D选项，连接 ，如下图所示：
因为 ， ， 为 的中点，则 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以， ，
若 ，则 ，不妨设 ， ，
在平面 内，以点 为坐标原点， 为 轴，
过点 且垂直于 的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点 到直线 的距离为 ，则 、 、 、 、 ，
， ，则 ，解得 ，
即当点 到直线 的距离为 时， ，D对.
故选：C.
6．圆锥的高为1，体积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面
积公式可确定其为直角三角形时面积最大.
【详解】圆锥的高为1，体积为 ，则底面圆的半径为 ，母线长为2，
轴截面的顶角为 ，
当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，
最大值为 ，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥
轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.
7．在 中， ， ， ，将 绕AB旋转至 处，使平面 平面
ABC，则在旋转的过程中，点C的运动轨迹长度至少为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，将三棱锥正方体中，结合条件可得点C的运动轨迹四分之一圆，即可得到结果.
【详解】
如图所示，将三棱锥 放到正方体模型中，
因为 ， ， ，则正方体的棱长为2，
在旋转过程中，C点的轨迹是以D点为圆心，DC为半径的圆的四分之一，其长度为 .
故选：A.
8．四棱锥 中，底面ABCD为边长为4的正方形， ， ，Q为正方形
ABCD内一动点且满足 ，若 ，则三棱锥 的体积的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】判断三角形全等，从而推出 ，通过线面垂直得到 ，确定点 在以 为直径的
半圆上，从而确定当点 是正方形 的中心时，三棱锥 的体积最小，从而利用三棱锥的体积
公式计算即可.【详解】
因为 ，所以 ,
,又 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 .
，又 ，所以 平面 ， ,
故点 在以 为直径的半圆上，
所以当点 是正方形 的中心时，三棱锥 的体积最小，
即三棱锥 的体积的最小值为 .
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量 则下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 B．以 ， 为邻边的平行四边形的面积是
C．若 ，则 ， 之间的夹角为钝角 D．若 ，则 ， 之间的夹角为锐角
【答案】BD
【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判
断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.
【详解】选项A，设 ，由 ⊥ ， ⊥ ，得 ，化简得 ，
因为 ，所以 或 ，即A错误；
选项B，由 ， ，
知 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以以 ， 为邻边的平行四边形的面积
，即B正确；
选项C，若 ，则 ，
即 ， 共线反向，故C错误；
选项D，若 ，则 ，
此时 ， 之间的夹角为锐角，故D正确，
故选:BD.
10．如图，在正方体 中，P是正方形 的中心，E是PC的中点，则以下结论
（ ）A． 平面BDE B．平面 平面BDE
C． D．异面直线PC与AB所成的角为
【答案】ABC
【分析】利用线面平行判定定理即可证得选项A 正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B 正确；利
用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.
【详解】选项A：设AC与BD交于点 ，连接OE，则 ，
又 平面BDE， 平面BDE，所以 平面BDE，故A正确；
选项B：连接PO，因为 平面ABCD，
所以 ，又 ， ，
所以 平面PAC，又 平面BDE，
所以平面 平面BDE，故B正确；
选项C：因为 平面PAC， 平面PAC，所以 ，故C正确；
选项D：因为 ，所以异面直线PC与AB所成的角为 或其补角，
设正方体的棱长为1，连接PD，则 ， ，
在 中， ，
所以异面直线PC与AB所成的角不等于 ，故D错误．故选：ABC．
11．如图，在直三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ，点M在 上，且
，P为线段 上的点，则( )
A． 平面
B．当P为 的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为
C．存在点P，使得
D．存在点P，使得三棱锥 的体积为
【答案】BD
【分析】A：假设 平面 ，则可得AC⊥平面 ，∠ACB=90°与已知矛盾，从而判断假设不
成立；B：取BC中点为N，可证PN⊥平面ABC，∠PAN为AP与平面ABC所成角，解△ANP即可；C：
假设CP⊥AM，可得CP⊥平面AMN，CP⊥MN，几何图形即可判断假设不成立；D：假设 =，求出△CPM的面积，判断△CPM面积是否小于或等于△ 面积即可．
【详解】对于A，假设 平面 ，则 AC，易知 ⊥AC， ∩ ，故AC⊥平面
，故AC⊥BC，这与∠ACB=60°矛盾，故假设不成立，故A错误；
对于B，当P为 的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN，
易知PN∥ ， ⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，
故∠PAN即为AP与平面ABC所成角，
则tan∠PAN= ，故B正确；
对于C，取BC中点为N，连接AN、NM，
由AN⊥BC，AN⊥ 知AN⊥平面 ，故AN⊥CP，若 ，∵AN∩AM=A，则CP⊥平面AMN，则CP⊥MN，
过C作CG∥MN交 于G，则CP⊥CG，即∠PCG=90°，易知∠PCG不可能为90°，故不存在P使得
，故C错误；
对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN⊥平面 ，AN= ，
若三棱锥 的体积为 ，
则 ，
∵
，
故存在P使 时，三棱锥 的体积为 ，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件，
然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面
的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可．
12．如图，在棱长为a的正方体 中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段 上的动
点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A．三棱锥 的体积为定值
B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°
C．不存在点P使得
D．当点P为 中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
【答案】AD
【分析】对于A，点 到平面 的距离为 为定值，利用体积公式即可判断；对于B，利用异面直线所
成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积
即可.
【详解】点 到平面 的距离为 为定值，
又 ，
所以 ，即三棱锥 的体积为定值，故 正确；
设 中点为 ，连接 ，
则 即为异面直线 与 所成的角
在 中，
所以异面直线 与 所成的最小角为45°，故 不正确；若 为 中点，则 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，故 不正确；
取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，
所以过 、 、 三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为 ，故 正确．
故选： ．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边
长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解.
【详解】如图所示， 分别是正四梭台不相邻两个侧面的高， ，
则 即为正四梭台的高， ，
由 ，得 ，
所以此方亭的表面积为 .故答案为： .14．在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，则
点Q的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.
【详解】由题意， 在面 的轨迹是以 为圆心，半径为 的四分之一圆弧，
所以轨迹长度为 .
故答案为：
15．已知三棱锥 ，若 ， ， 两两垂直，且 ， ，则三棱锥
的内切球半径为 ．
【答案】
【详解】试题分析：由题意，设三棱锥 的内切球的半径为 ，球心为 ，则由等体积
可得，∴ ．
考点：1．球的体积和表面积；2．棱锥的结构特征．
16．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，点
在 上，且 ，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：
①当点 是 中点时，直线 平面 ；
②平面 截正方体 所得的截面图形是六边形；
③ 不可能为直角三角形；
④ 面积的最小值是 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①，利用平面的性质构造相交线可判定②，
建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定③，利用空间中点到直线的距离可判定④
【详解】对①，如图所示，因为 是 中点， ，
连接 ，显然 也是 的中点，连接 ，所以 ，而 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ，①正确；
对②，如图直线 与 的延长线分别交于 连接 ，分别交 于 ，
连接 ，则五边形 即为所得的截面图形，故②错误；
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
对③，设 ，
则 ，则 ，
若 ，则 得 ，
由 ，故存在点 ，使得 ，
故 可能为直角三角形，③错误；
对④，由③得 到 的投影为 ，
故 到 的距离 ，
面积为 ，当 时， 取得最小值为 ，④正确.
故答案为：①④.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ， ， 分别是棱 ， ，
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接 ，证明平面 平面 ，即可说明 平面 ；
（2）先计算出 ，再利用等体积法 ，即可求出点 到平面 的距离.【详解】（1）证明：连接 ，∵在矩形 中， ， 分别是 ， 中点，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ .
∵ 是 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 .
∵ ，∴平面 平面 .
∵ 平面 ，∴ 平面 .
（2）解：法一：∵ 平面 ， ，∴ 平面 .
过 在平面 内，作 ，垂足为 ，则 .
∵ ，∴ 平面 ，∴ 长是点 到平面 的距离.
在矩形 中， 是 中点， ， ， .
∴ .
∵ ， ，∴ ，
即点 到平面 的距离为 .
法二：设 到平面 的距离为 ，
在矩形 中， ， ，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
∴ 的面积为 .
∵ 的面积为 ， ，
∴ ，∴ ，即点 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理证明线面平行、利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题．
18．如图，正三棱柱 中， 是侧棱 上一点，设平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为30°，求直线 与平面 所
成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据正三棱柱的结构特征得到 ，进而得 平面 ，然后利用线面平行的
性质定理即可得证；
（2）先寻找垂直关系建立空间直角坐标系，然后根据平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
30°，求得三棱柱的底面边长和侧棱长之间的关系，最后求解线面角的正弦值即可.
【详解】（1）解：（1）在正三棱柱 中，易知 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
（2）（2）取 的中点 ，连接 ，易知 是正三角形，所以 .
又三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 ，
所以以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴， ， 所在直线分别为 轴､ 轴建立如图所示
的空间直角坐标系.
设 ， ，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
易知平面 的一个法向量 ，
所以 .
因为平面 与平面 所成的锐二面角的大小为30°，
所以 ，整理得 ，
所以 ， ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 .
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于 ？
【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】（1）利用勾股定理证得 ，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点 ， ，求得平面 的法向量
，利用已知条件建立关于 的方程，进而得解.
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ，
在 中， ， ， ，
， ，所以 ，又 ， ，而 ，所以 ，
又 ， ， ，
又 ， ， 平面
（2）存在点F是 的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于 ．
以A为坐标原点，以 为x轴， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，设点 ，
因为点F在线段 上，设 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，则
设直线CF与平面 所成角为 ， ，
解得 或 （舍去），
，此时点F是 的中点，所以存在点F．
20．如图1，已知矩形ABCD，其中 ， ，线段AD，BC的中点分别为点E，F，现将 沿
着BE折叠，使点A到达点P，得到四棱锥 ，如图2.(1)求证： ；
(2)当四棱锥 体积最大时，求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明线线垂直，需先证明线面垂直，首先作辅助线，取BE的中点O，连接PO，OF，证
明 平面PFO；
（2）首先确定点 的位置，法一，利用坐标法，求二面角；法二，几何法，根据二面角的定义，得二面角
的平面角就是 ，即可求解.
【详解】（1）取BE的中点O，连接PO，OF，
因为 ， ，线段AD，BC的中点分别为点E，F，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，在等腰直角 中， ，
，所以 平面PFO，
因为 平面PFO，所以 .
（2）当四棱锥 体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O，即 平面BCDE.
法一：以OB，OF，OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系 .如图3.
则 ， ， ，
，
设平面PEC的法向量为 ，则
取 ，可得
易得平面ECB的一个法向量所以
因为二面角 是锐角，所以二面角 的大小为 .
法二：在 中，因为 ， ， ，所以 .
在 中， ， ， ，所以 .
由二面角的定义可知，二面角 的平面角就是 .
所以二面角 的大小为 .
21．如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的菱形， ， 为 的中点，
． 为 上的一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试确定 的值，并求出平面 与平面 所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析
(2) ；平面 与平面 所成二面角的正弦值为
【分析】（1）取 中点 ，利用等腰三角形三线合一性质和勾股定理可分别证得 ， ，
由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，由线面角的向量求法可构造方程
求得 ，由此可得 ；利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
， 为 中点， ；
， ， ；
四边形 为菱形， ， 为等边三角形， ，
又 分别为 中点， ，
，即 ；
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）连接 ，
由（1）知： 为等边三角形， ， ；
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ， ；
设 ，则 ，
，
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ，
，
解得： （舍）或 ，即 ， ；
由 得： ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ，
， ，即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
22．如图，在四棱柱 中，底面 是边长为2的菱形， ， ，平面
平面 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 的体积为6，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）解法一：作辅助线，在平面 内找到平行于 的一条直线，利用线面平行的判定定理
进行证明；解法二：作辅助线，找到过 且平行于平面 的一个平面，利用面面平行的判定定理可证
得平面 平面 ，再由面面平行的性质定理即可证明；
（2）由题意可证得 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，分别求出平面 和平面 的法向量，再由二
面角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】（1）解法一：连接 交 于 ，连接 ．在四棱柱 中，易知四边形 为平行四边形，
所以 是 的中点，
在 中，因为 是 的中点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
解法二：作辅助线，找到过 且平行于平面 的一个平面
取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 是 的中点，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
易知 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ．又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又 ，所以平面 平面 ．
又 平面 ，所以 平面 ．（2）由（1）中解法二：知 为 的中点，连接 ，
在 中， ，所以 ．
又平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
在四棱柱 中，底面 是棱长为2的菱形， ，
所以 ．
由四棱柱 的体积为6，得 ，解得 ．
连接 ，易知 为正三角形，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，
则由 ，得 ，取 ，则 , ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则由 ，得 ，
取 ，则 ， ，得 ． 所以 ，
易知二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
