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专题 9.2 二项式定理
目录
题型一： 求(a＋b)n形式的“特定项”..........................................................................................3
题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项..............................................................................4
题型三： 三项式的展开式...............................................................................................................4
题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题..............................................................5
题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和..........................................................................7
知识点总结
知识点一、二项式定理
二项式
(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋…＋ C a n － k b k ＋…＋ C b n (n∈N*)
定理
二项
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n
的二项展开式
展开式
C a n － k b k 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第 k ＋ 1 项，可记做
通项
T ＝Can－k·bk(k＝0,1,2，…，n)
k＋1
二项式
各项的系数 C ( k＝0,1,2，…，n)
系数
知识点二、二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这
一性质可直接由 得到 . 直线 r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称
轴.(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二
项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即 T
的二项式系数最大；如
n是奇数，那么其展开式中间两项T T
果 与 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项
式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识点三、杨辉三角的性质
(1)最外层全是 1，第二层(含 1)是自然数列 1,2,3,4，…，第三层(含 1,3)是三角形数列
1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数
斜左(右)下方的那个数．例题精讲
题型一：求(a＋b)n形式的“特定项”
【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可
依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定
项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出
其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．
【例1】在 的展开式中， 的系数为 ．
【变式训练1】若 的展开式中共有 个有理项，则 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式训练3】已知 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 的系数为
A．28 B． C．45 D．
【变式训练4】二项式 的展开式中含 项的系数是
A．6 B． C． D．12
【变式训练5】在 的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中 项的系数
A．15 B．54 C．12 D．【变式训练6】 的展开式中 项的系数是
A． B． C． D．
题型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项
【例2】已知 展开式中 的系数为48，则实数
A．1 B． C．2 D．
【变式训练1】 展开式中含 的系数是
A．28 B． C．84 D．
【变式训练2】 展开式中 的系数为
A．56 B． C．64 D．
【变式训练3】二项式 展开式中 的系数为
A．120 B．135 C． D．
【变式训练4】已知 的所有项的系数和为3，则 的系数为
A．80 B．40 C． D．
题型三：三项式的展开式
【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项
式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
【例3】在 的展开式中， 的系数为
A．60 B．15 C．120 D．30【变式训练1】 的展开式中， 的系数为
A． B．60 C． D．120
【变式训练2】 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【变式训练3】在 的展开式中， 的系数是
A．24 B．32 C．36 D．40
题型四：“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果
n是奇数，则中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等并最大.
【例4】已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数
的最小值为
A． B． C． D．
【变式训练1】 的展开式中各项系数的最大值为
A．112 B．448 C．896 D．1792
【变式训练2】设 为正整数， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【例5】已知 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求 的展开式中：
（1）所有二项式系数之和．
（2）系数绝对值最大的项．
【变式训练1】已知 ．
（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求 ；
（2）若展开式中存在常数项，求 的最小值．
题型五：“二项式系数”与“项的系数”的和
【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需
令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1
即可. ②若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数
0 1 2 n
之和为a＋a＋a＋…＝，偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.
0 2 4 1 3 5
(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，
则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”
法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m
＋x)的因式即可求解．
【例6】已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的展开式中含 项的系数．
【变式训练1】已知 ，其中 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的值．【变式训练2】已知在 的展开式中，前3项的系数分别为 ， ， ，且满足
．
（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中所有有理项．
【变式训练3】从①第4项的系数与第2项的系数之比是 ；②第3项与倒数第2项的二
项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．
已知 ，且 的二项展开式中，____．
（1）求 的值；
（2）①求二项展开式的中间项；②求 的值．
【变式训练4】在二项式 的展开式中，_______，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）【变式训练5】在二项式 的展开式中，
（1）若 ，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为 ，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
