文档内容
第11讲 极值点偏移问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】对称化构造函数............................................................................................................2
【考点二】比值代换.......................................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................4
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常
出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移
问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
真题自测
一、解答题
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
考点突破
【考点一】对称化构造函数
一、单选题
1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于 的方程 有两个不等的实根 ，且 ，则下列
说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2022·吉林·三模）已知函数 的极大值点为0，则实数m的值为 ；设 ，且
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
6．（2023·山东泰安·二模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，证明：
（i） ；
（ii） .
7．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
规律方法：
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x＋x>2x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)．
1 2 0 0
(2)对结论xx>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边
1 2
取对数，转化成ln x＋ln x>2ln x，再把ln x，ln x 看成两变量即可．
1 2 0 1 2
【考点二】比值代换
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学科网（北京）股份有限公司一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设 ， 为函数 （ ）的两个零点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
5．（2023·陕西安康·二模）已知函数 ， （e为自然对数的底数）
(1)当 时，恰好存在一条过原点的直线与 ， 都相切，求b的值；
(2)若 ，方程 有两个根 ，（ ），求证： ．
规律方法：
比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
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学科网（北京）股份有限公司调性证明．
专题精练
一、单选题
1．（2023·江西·模拟预测）已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川成都·一模）已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 恒成立，则
B．当 时， 的零点只有 个
C．若函数 有两个不同的零点 ，则
D．当 时，若不等式 恒成立，则正数 的取值范围是
5．（2023·湖南永州·二模）已知 ， ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6．（2021·山东德州·二模）已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 有两个不相等的实根 、 ，则
C．
D．若 ，x，y均为正数，则
7．（2023·河北衡水·一模）直线 ： 与 的图象交于 、 两点 ， 在
A､B两点的切线交于 ， 的中点为 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标大于1
C． D． 的斜率大于0
8．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
三、解答题
9．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司10．（2022·山东·模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
11．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，当 时，
恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．
13．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 在其定义域内有两个不同的极
值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明： .
14．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
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