文档内容
第4讲 子数列与增减项问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】奇数项、偶数项............................................................................................................2
【考点二】两数列的公共项............................................................................................................4
【考点三】数列有关增减项问题.....................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热
点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
2．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
考点突破
【考点一】奇数项、偶数项
一、单选题
1．（2024·全国·二模）数列 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列， 是数列 的前 项和，
， ， ， ，则（ ）
A． ，且
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学科网（北京）股份有限公司B．当 ，且 时，数列 是递减数列
C．
D．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）数列{a }前n项和为 ，且满足 ， ，
n
则（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 项和为
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 中， ，当 为奇数时， ，当 为偶数时，
，则（ ）
A．数列 是递减数列 B． C． D．
三、填空题
5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
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6．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释
我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 满足 ，
，则 ，数列 的前50项和为 ．
四、解答题
7．（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 当 时，
(1)求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求
规律方法：
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
②含有(－1)n的类型；
③含有{a }，{a }的类型；
2n 2n－1
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a}求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把
n n
a ＋a 看作一项，求出S ，再求S ＝S －a .
2k－1 2k 2k 2k－1 2k 2k
【考点二】两数列的公共项
一、单选题
1．（2024·河南·二模）已知数列 和数列 的通项公式分别为 和 ，若它们的公共
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学科网（北京）股份有限公司项从小到大依次排列构成新数列 ，则满足不等式 的最大的整数 （ ）
A．134 B．135 C．136 D．137
2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10， ，202及2，8，14， ，200，将这
两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1678 B．1666 C．1472 D．1460
二、多选题
3．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到数列
，则（ ）
A． B．
C． 的前 项和 D． 的前 项和为
4．（2022·河北·模拟预测）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则下列说法正确的
有（ ）
A．数列 为等差数列 B．数列 为等比数列
C． D．数列 的前n项和为
三、填空题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）设 为数列 的前n项和，且 ，数列 的通项
公式为 ，将数列 与 的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列
数列 的通项公式为 ．
6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）数列 和数列 的公共项从小到大构成一个新数列 ，数列
满足： ，则数列 的最大项等于 .
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等
比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
【考点三】数列有关增减项问题
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列 中的相邻两项 与 之间插入一个首项为
，公差为 的等差数列的前 项，记构成的新数列为 ，若 ，则 前65项的和为
（ ）
A． B．-13 C． D．-14
2．（2022·全国·模拟预测）某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，
但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为 的小数点后的前6位数
字．编码方式如下；①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，
则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即 ；若x为奇数．
则在正奇数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即 ③N为数列 的
前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位．所以 ．前11项中有 所以有
8个奇数．故 ，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为
（ ）
A．125786 B．199600 C．200400 D．370370
二、多选题
3．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两
项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，以下说法正确的是（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B．当 时，
C．当 时， 不是数列 中的项
D．若 是数列 中的项，则 的值可能为7
4．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在
数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下
面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列 ；第2次得到数列 ；第 次得到数列
记 ，数列 的前 项为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列 中， ，若在数列 每相邻两项之间插入
三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
6．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同
的等比数列，数阵中各项均为正数， ，则 ；在数列 中的任
意 与 两项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的前 项和为 ，
则 ．
规律方法：
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学科网（北京）股份有限公司解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，
在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可．
专题精练
一、单选题
1．（2024·河南南阳·一模）已知等比数列 的公比与等差数列 的公差均为2，且 ，设
数列 满足 ， ，则数列 的前20项的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 满足： ，则 （ ）
A．511 B．677 C．1021 D．2037
3．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的
推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历
过的两仪数量总和.其通项公式为 记数列 的前n项和为 ，则 （ ）
参考公式： .
A．169125 B．169150 C．338300 D．338325
4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列 通项公式为 ，将数列 的公
共项从小到大排列得到数列 ，设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到数列 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的前30项的和为（ ）
A．3255 B．5250 C．5430 D．6235
6．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列 中， ， 成公比不为1的等比数列， 是
的前 项和，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023·江西南昌·二模）已知数列 的通项公式为 ，保持数列 中各项顺序不变，对任意
的 ，在数列 的 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列
的前n项的和为 ，则 （ ）
A．4056 B．4096 C．8152 D．8192
8．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 之间插入1
个数，使这3个数成等差数列，记公差为 ，在 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为
，在 之间插入n个数，使这 个数成等差数列，公差为 ，则（ ）
A．当 时，数列 单调递减 B．当 时，数列 单调递增
C．当 时，数列 单调递减 D．当 时，数列 单调递增
二、多选题
9．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪
数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列{a }的前
n
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学科网（北京）股份有限公司项和为 ，其通项公式 .则（ ）
参考公式：
A． 是数列 中的项 B．
C． D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之间都
插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，下列说法正确的有（ ）
A．
B．当 时，
C．当 时， 不是数列 中的项
D．若 是数列 中的项，则k 的值可能为6
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知数列 与 满足 ，且 ， .若
数列 保持顺序不变，在 与 项之间都插入 个 后，组成新数列 ，记 的前 项和为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列 是等差数列， ，记 ， 分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司的前 项和，若 ， ，则 ．
13．（2023·广东广州·一模）将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ，则
.
14．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，若将数列{a }与数列{b }的公共项
n n
按从大到小的顺序排列组成一个新数列 ，则数列 的前99项和为 ．
四、解答题
15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知 为等差数列 的前n项和， ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，若 ，求n的最小值.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 且 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ．
17．（2024·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，数列 满足
．
(1)求 和 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若将数列 和 的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列{a }的前n项积为 ，数列{b }满足 ，
n n
（ ， ）．
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)将数列{a }，{b }中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
n n
19．（2024·河北沧州·一模）在数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中的 和 之间插入1个数 ，使 成等差数列；在 和 之间插入2个数 ，
使 成等差数列；…；在 和 之间插入 个数 ，使 成等差
数列，这样可以得到新数列 ，设数列 的前 项和为 ，求
（用数字作答）．
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