文档内容
12.3.2 角的平分线的判定 教学设计
一、教学目标：
1.理解角平分线的判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
二、教学重、难点：
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.
难点：角的平分线的判定.
三、教学准备：
课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：
复习回顾
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知识精讲
思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是
否在角的平分线上呢？
动态演示：
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt PDO和Rt PEO中，
{OP
=
O
△
P
¿¿¿¿ △
∴ Rt PDO≌Rt PEO (HL) ，
∴ ∠POD=∠POE，
△ △
即点P在∠AOB的平分线上.
知识要点：
性质定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2)
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处
500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？则：这个集贸市场应建于点P处.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形
成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
【针对练习】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
则：点P为所求.
典例解析
例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离
相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD=PE，
同理，PE=PF，
∴ PD=PE=PF，
即P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
例2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝
40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条角平分线的交点，BO，CO都
1 1
是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∵∠ABC＋
2 2
∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°－70°＝110°.
例3.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于
D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC，
∴PD=PE，
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC，
∴PF=PE，
∴PD=PF，
∵PD⊥BM,PF⊥BN，
∴P在∠MBN的平分线上，
即BP为∠MBN的平分线.【针对练习】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线 BD与∠ACB的外角的平分线 CE相交
于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：过 P 点做 PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是 F，G，H.∵BD、CE 分别是
∠ABC、∠ACB的外角的平分线 ∴PG=PH，PF=PG ∴PF=PG=PH即点P到三边AB，BC，
CA所在直线的距离相等.
例 4.如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC，求证:(1)AM 平分∠DAB;
(2)AD=AB+CD.
证明:(1)作MN⊥AD于N.
∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，
∴CM=MN，
∵M是BC的中点，
∴CM=MB，
∴MN=MB，∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，
∴AM平分∠DAB.
(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，
在Rt MCD和Rt MND中，
△ △
，
∴Rt MCD≌Rt MND (HL) ，
∴CD=ND，
△ △
同理可得AB=AN，
∵AD=AN+ND，
∴AD=AB+CD.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=______.
3.如图，直线l ，l ，l 表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到
1 2 3三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，
且OD=1，则△ABC的面积是_______.
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使
小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为 30m、40m、50m，现要把它分成面积比为
3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC
的平分线.【参考答案】
1.6
2.55°
3.4
4.5
5.解：点P为所求.
6.解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比
为3:4:5.
7.证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt BDE和Rt CDF中，
△ △
，
∴Rt BDE≌Rt CDF (HL) ，
∴DE=DF，
△ △
∴AD是∠BAC的平分线.五、教学反思：
