文档内容
12.3 全等三角形的应用
【考点1 全等三角形的判定和性质】
【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】
【考点3利用三角形全等求两端的距离】
【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】
【考点5 全等三角形的其他应用】
知识点1 全等三角形的判定和性质
1. 全等三角形的判定
(1) 边边边定理(SAS)：(2) 边角边定理(SAS)：
(3) 角边角定理(ASA)：(4) 角角边定理(AAS)：
(5) 斜边、直角边定理(HL)：
2.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应
角的角平分线相等，面积相等．
【考点1 全等三角形的判定和性质】
【典例1】（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝
∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．【变式1-1】（2024春•成都期中）如图，点C、E在BF上，BE＝CF，AB∥FD，∠A＝
∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若∠B＝50°，∠BED＝145°，求∠D的度数．
【变式1-2】（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点
F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC．
（1）求证：BD＝DF；
（2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度．
【变式1-3】（2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，
点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．知识点2：全等三角形的应用
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的
过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而
证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】
【典例2】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B的距离，可先在
地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使
CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出
DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【变式2-1】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，
在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使
∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS
【变式2-2】（2022秋•晋安区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可
以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使得BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使
点E与点A、C在一条直线上，这是测得线段DE的长就是线段AB的长，其原理运用到
三角形全等的判定是（ ）
A．ASA B．SSS C．HL D．SAS
【变式2-3】（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸
BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，
E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是 2 0 米．
【考点3利用三角形全等求两端的距离】
【典例3】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了
两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ABD（∠ABD＝
90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ACB≌△BED；（2）求两堵木墙之间的距离．
【变式3-1】（2023秋•石狮市期末）如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了
一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于
点O，且AC＝BD＝40m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70m，则A，B两端的距离
为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．35m
【变式3-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两
个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两
个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线
上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
【变式3-3】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经
过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长
度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度．
【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】
【典例4】（2024春•武侯区校级期中）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形
瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒
AC，BD的中点O固定，现测得C，D之间的距离为69mm，求小口圆柱形瓶底部的内
径AB的长度．
【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测
量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得 A'B'＝10cm，则工件内槽宽 AB为
cm．
【变式4-2】（2023秋•红桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，
卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB
的长度．依据的数学基本事实是（ ）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【考点5 全等三角形的其他应用】
【典例5】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他
就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据
是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【变式5-1】（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四
块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样
的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【变式5-2】（2023秋•高阳县期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB
＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝
EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
【变式5-3】（2022秋•红桥区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，
∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同
的刻度分别与点 M、N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC，由此作法便可得
△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角
形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方
法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据
所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（
）A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
3．（2023秋•儋州期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木
块墙，其中木块墙AD＝24cm，CE＝12cm．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角
板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 DE
为（ ）
A．48cm B．42cm C．38cm D．36cm
4．（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中
所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形
玻璃？应该带（ ）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
5．（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘
外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在
一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
二．填空题（共4小题）
6．（2024•益阳模拟）如下图，地面上有一根旗杆AO，小明两次拉住从顶端垂下的绳子
OB到OC，OD的位置（OC，OA，OD在同一平面内），测得∠COD＝90°，且C、D
两点到OA的水平距离CE、DF分别为1.4m和1.8m，则F、E两点的高度差即FE的长为 m．
7．（2023秋•正阳县期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年
都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽
度．如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点B和C、D，使点
B、C、D共线且河岸平行，AB、DE分别与河岸垂直且A、C、E三点共线，他们已测得
BC＝CD、DE＝40m，河宽AB的长为 ．
8．（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内
槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得 A'B'＝10cm，则工件内槽宽 AB 为
cm．
9．（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先
在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一
条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是 米．
三．解答题（共4小题）10．（2023秋•广安期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样
的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD
＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，
小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？
11．（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地
测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），
点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度．
12．（2023春•渠县校级期末）生活中的数学：
（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图 1所示的折叠凳，这样设计的折叠
凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 ．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和
CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度
AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD＝CB的理由．13．（2023秋•海门市月考）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起
始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接
住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为
1.8m和2.2m，∠BOC＝90°．
（1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？
