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第 02 讲 全等三角形的判定
课程标准 学习目标
1. 掌握全等三角形的几种判定方法。
①全等三角形的判定 2. 掌握直角三角形的判定方法。
②直角三角形的全等判定 3. 能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等。
4. 对全等三角形的应用
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1. 概念：
分别对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。
【即学即练1】
1．如图，已知AB＝DC，若用定理SSS证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是（ ）
A．OA＝OD B．AC＝DB C．OB＝OC D．BC＝CB
【即学即练2】
2．如图，在△ACD和△ABD中，CD＝BD，AC＝AB．求证：△ACD≌△ABD．
知识点02 边角边（SAS）判定全等
1. 概念：
对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
3．如图，在△ABF 和△DCE 中，点E、F在BC上，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（ ）
A．BE＝CF B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC
【即学即练2】
4．如图，点D在线段BE上，AB∥CD，AB＝DE，BD＝CD．△ABD和△EDC全等吗？为什么？
知识点03 角边角（ASA）判定全等
1. 概念：
对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
5．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，
那么需要补充的条件是（ ）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E
【即学即练2】
6. （2023春•东明县期末）如图，点 F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AF＝DC，求证：
△ABC≌△DEF．
知识点04 角角边（AAS）判定全等
3. 概念：
对应相等的两个三角形全等。
4. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
7．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
【即学即练2】
8．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于 E．AD 与 BE 交于 F，若 BF＝AC，求证：
△ADC≌△BDF．
．
知识点05 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等
5. 概念：
直角三角形的 对应相等的两个三角形全等。
6. 数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
9．如图，DC⊥AE，垂足为 C，且 AC＝CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是
（ ）A．CE＝BC B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠E
【即学即练2】
10．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝
CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
寻找全等判定条件的方法总结：
题型01 补充判定全等的条件
【典例1】如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）
A．AC＝DF B．∠E＝∠B C．AB＝DE D．DE∥AB
【典例2】
如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．BC＝ED B．AB＝AE C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
【典例3】
如图，∠1＝∠2，下列条件中不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠ADB＝∠ADC D．DB＝DC
【典例4】
如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【典例5】
如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（
）A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【典例6】
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
题型02 全等三角形的判定证明
【典例1】
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：△ABC≌△DFE．
【典例2】
如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE．求证：
△ABD≌△ECD．【典例3】
如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．
【典例4】
如图，∠C＝∠E，点 D 在 BC 边上，BC＝DE，∠1＝∠2，AC 和 DE 相交于点 O．求证：
△ABC≌△ADE．
【典例5】
已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
求证：△AEC≌△BED．题型03 全等三角形的判定与性质
【典例1】
已知锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点F，交AD于点E．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BD＝8，DC＝6，求线段EF的长度．
【典例2】
如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．【典例3】
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【典例4】
如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ACO≌△DFO；
（2）若BF＝CE．求证：AB∥DE．【典例5】
已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N
不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E
在直线AN上，且AE＝DE．
（1）如图，当∠ACB＝90°时；
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB＝ ，其它条件不变时，∠BDE的度数是 ．（用含 的代数式表示）
α α
题型04 全等三角形的应用
【典例1】
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放
进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
则两堵木墙之间的距离DE是（ ）典例1 典例2
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【典例2】
如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且
使BC＝CD．从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量
DE的长为28米，则A、B两点之间的距离为 2 8 米．
【典例3】
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力
一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平
距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（
）
典例3 典例4
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【典例4】
如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点 A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，
BE＝9cm，则该零件的面积为（ ）
A．14 B．53 C．98 D．196
1．如图，已知∠BCA＝∠BDA＝90°，BC＝BD．则证明△BAC≌△BAD的理由是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
2．如图，点A、B分别在OC、OD上，AD与BC相交于点E，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝40°，∠D＝
20°，则∠AEC等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立
的是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAB＝∠ABC
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交
AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆
心，DE长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线CG，若∠B＝40°，则∠FCG为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝
∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（ ）A．6 B．8 C．9 D．12
6．如图，AD和CE是△ABC的高，交于点F，且BD＝FD＝4，CD＝7，则AF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正
放置的四个正方形的面积依次是S 、S 、S 、S ，则S +S +S +S 的值为（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．6 B．5 C．4 D．3
8．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问
题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，
QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：
4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC
的长为（ ）
A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm
9．如图，已知：AD与BC交于O点，OA＝OB，要使△AOC≌△BOD，添加一个你认为合适的条件为
．第9题 第10题
10．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中
OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝3cm，EF＝5cm，圆形容器的壁厚是 cm．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB
交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为 ．
12．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运
动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q
运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，此时t＝ ．
13．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
14．如图，△ABC 和△DEF 都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，
∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上，连结AD，若AD
＝AB．求证：（1）∠AED＝∠AFD．
（2）AF＝AE+BC．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B
向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设
D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 秒时，AE＝ DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝ ，则∠ADE＝ （用含 的式子表示）．
α α
