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专题 03 矩形的性质与判定（七大题型）
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【题型2根据矩形的性质求线段长】
【题型3根据矩形的性质求面积】
【题型4矩形与折叠问题】
【题型5直角三角形斜边上的中线】
【题型6矩形的判定】
【题型7 矩形的性质与判定综合】
【题型1 利用矩形的性质求角度】
1．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，DE⊥AC于点E，∠AOD=120°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．30° D．20°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则
AC=BD，点O是对角线的交点，则OA=OD=OC，根据等边对等角，则
∠OAD=∠ODA，∠ODC=∠OCD，再根据DE⊥AC，等边三角形的三线合一，
即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，
∴OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=120°，∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠ODC=∠ADC−∠ODA=90°−30°=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∵DE⊥AC，
1
∴∠ODE=∠CDE= ∠ODC=30°，
2
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，若△EBC是等
边三角形，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识
的应用．
首先由等边三角形的性质得出∠CBE=60°，又四边形ABCD是矩形，则有AD∥BC，
然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵△EBC是等边三角形，
∴∠CBE=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=60°，
故选：C．
3．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E为BC边的中点，连
接AE，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若∠BAE=α，则∠DAF的度数为
（ ）α
A．45°+α B．45°−α C．90°−2α D．45°−
2
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，
延长AE，DC交于点G，先根据矩形的性质证明△ABE≌△GCE(ASA)，得到AE=≥¿，
再根据线段垂直平分线的性质证明AF=FG，所以∠FAE=∠G，继而证明
∠BAE=∠EAF，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长AE，DC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠G，∠B=∠ECG=90°，
∵点E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△GCE(ASA)，
∴AE=≥¿，
∵EF⊥AE，
∴AF=FG，
∴∠FAE=∠G，∴∠BAE=∠EAF，
∵∠BAE=α，
∴∠EAF=α，
∴∠DAF=90°−∠BAE−∠EAF=90°−2α．
故选：C．
4．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，过点O作OE⊥BD，交CD于点E，连接BE．若∠COE=25°，则∠ABD=
度．
【答案】32.5
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟记矩形
的性质是解题的关键．根据垂直的定义及角的和差求出∠BOC=65°，根据矩形的性
质推出OA=OB，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵OE⊥BD，
∴∠BOE=90°，
∵∠COE=25°，
∴∠BOC=∠BOE−∠COE=65°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=OD，OA=OC，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，
∴∠OBA=65°÷2=32.5°，即∠ABD=32.5°，
故答案为：32.5．
5．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，若
∠AED=120°，则∠ACB的度数为 ．【答案】30°/30度
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角
形的性质．
根据矩形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=CE，从而
∠CDE=∠DCE，根据三角形外角的性质即可求得∠DCE=60°，进而根据角的和
差即可解答．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，且点E是AC的中点，
1
∴AC=CE=DE= AC，
2
∴∠CDE=∠DCE，
∵∠CDE+∠DCE=∠AED=120°，
∴∠DCE=60°，
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠BCD−∠ACD=90°−60°=30°．
故答案为：30°
6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B
1
为圆心，BA长为半径作弧．交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于 AE长为
2
半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC交点为F，若∠ACB=34°．则
∠FBD= ．
【答案】22°/22度
【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由BM垂直平分AE，所以∠AFB=90°，则利
用互余可计算出∠FBC=56°，设AC与BD相交于点O，如图，根据矩形的性质得到
OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=34°，然后计算∠FBC−∠OBC即可．
【详解】解：由作法得BM垂直平分AE，
∴∠AFB=90°，
∵∠ACB=34°，
∴∠FBC=90°−∠ACB=56°，
设AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=34°，
∴∠FBD=∠FBC−∠OBC=22°．
故答案为：22°．
7．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
若∠OAB=50°,OE=BE．求∠EOC的度数．
【答案】60°
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题
关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质．
先由矩形的对角线相等且互相平分推知OA=OB，结合三角形外角的性质和等腰三角
形的性质即求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，1 1
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA= AC，OB= BD，
2 2
∴OA=OB．
∴∠OBA=∠OAB=50°．
∴∠OBE=∠ABC−∠OBA=90°−50°=40°，∠BOC=∠OAB+∠OBA=100°．
∵OE=BE，
∴∠OBE=∠EOB=40°．
∴∠EOC=∠BOC−∠EOB=100°−40°=60°．
8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，
DE⊥AC于点E．若∠AOD=120°，求∠CDE的度数．
【答案】30°
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知
识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=60°，由直角三角形的性质求
出∠ODE=30°，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=120°，
1
∴∠DOE=60°，∠ODC=∠OCD= (180°−60°)=60°，
2
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°−∠DOE=30°，
∴∠CDE=∠ODC−∠ODE=60°−30°=30°；
∴∠CDE的度数为30°．【题型2根据矩形的性质求线段长】
9．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点
O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．2❑√3 D．3❑√3
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，由矩形
的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，
由勾股定理可求AB的长．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形
AO=CO=B∵O=DO，
∴AE平分∠BAO
∵∠BAE=∠EAO，且AE=AE，∠AEB=∠AEO，
∴△ABE≌△AOE(ASA)
∴AO=AB，且AO=OB
∴AO=AB=BO=DO，
∴BD=2AB，
∴AD2+AB2=BD2，
∵36+AB2=4AB2，
∴AB=2❑√3
∴故选：C．
10．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,2)，
则CE的长是（ ）A．❑√3 B．❑√5 C．❑√6 D．2❑√2
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质．先根据两点距离计算公
式得到OD=❑√5，再由矩形对角线相等即可得到CE=OD=❑√5．
【详解】解；如图所示，连接CE，OD，
∵点D的坐标是(1,2)，
∴OD=❑√12+22=❑√5，
∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD=❑√5，
故选：B．
11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E是BC
上的一点，且AE=AD，连接DE，则DE的长为（ ）
A．6 B．2❑√2 C．4 D．❑√10
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解决此题的关键．根据矩形
的性质，推出AE=AD=5，在Rt△ABE中，勾股定理求出BE的长，进而求出DE的长即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AD=5,AB=3，
∴BC=AD=5,∠C=∠B=90°，
∵AE=AD=5，
∴BE=❑√AE2−AB2=❑√52−32=4，
∴CE=BC−BE=1，
∴DE=❑√DC2+CE2=❑√32+12=❑√10．
故选D．
12．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠CAB=30°,DO=5，则AB的长是 ．
【答案】5❑√3
【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形
的性质以及∠CAB=30°，可得△AOD是等边三角形，从而得到
AD=OD=5,BD=2OD=10，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴∠DAB=90°,AC=BD,OD= BD,OA= AC，
2 2
∴AO=OD，
∵∠CAB=30°，
∴∠DAC=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=5,BD=2OD=10，
∴AB=❑√BD2−AD2=5❑√3，
故答案为：5❑√3．
13．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC
边上，且BF=DE，连接EF交对角线BD于点O，BD=5,CD=3，连接CE，若
CE=CF，则EF长为 ．15
【答案】
4
【分析】根据矩形，勾股定理可得BC=4，可证△BFO≌△DEO(AAS)，得到
EO=FO,DO=BO，则点O是线段BD,EF的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边
1
一半得到OC= BD，设BF=DE=x，则CF=BC−BF=4−x，在Rt△CDE中，
2
7 25
由勾股定理得到BF= ，则CF= ，根据题意可得△CEF是等腰三角形，
8 8
15
CO⊥EF，在Rt△COF中，由勾股定理得到OF= ，由EF=2OF，即可求解．
8
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD=∠CDA=90°，AD=BD，
∴BC=❑√BD2−CD2=❑√52−32=4，
∵AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵∠DOE=∠BOF,BF=DE，
∴△BFO≌△DEO(AAS)，
∴EO=FO,DO=BO，
∴点O是线段BD,EF的中点，
如图所示，连接OC，1 5
∴OC= BD= ，
2 2
设BF=DE=x，则CF=BC−BF=4−x，
∵CE=CF，
∴CE=4−x，
在Rt△CDE中，DE=x,CE=4−x,CD=3，
∴CE2=DE2+CD2，即(4−x) 2=x2+32，
7
解得，x= ，
8
7 7 25
∴BF= ，则CF=4− = ，
8 8 8
∵EO=FO,CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形，CO⊥EF，
在Rt△COF中，OF=❑√CF2−CO2=❑
√ (25) 2
−
(5) 2
=
15
，
8 2 8
15 15
∴EF=2OF=2× = ，
8 4
15
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等
于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三
角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在AD
上，DE=1．若EC平分∠BED，则BC的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得
AD∥BC， AD=BC，由角平分线和平行线的性质可证BE=BC，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵EC平分∠BED，
∴∠BEC=∠CED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC，
∵BE2=AB2+AE2，
∴BC2=9+(BC−1) 2，
∴BC=5，
故答案为：5．
15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形ABCD中，CD=5,BC=12，点P为
对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD交CD于点F，则线段EF长的最小
值为 ．
60
【答案】
13
【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识
与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．作CG⊥BD于点G，连接PC，可证明四
边形PECF是矩形，所以EF=CP，则∠ECF=90°，CD=5，BC=12，求得
1 1 60
BD=13，由S = ×13CG= ×5×12，求得CG= ，由CP≥CG，得
△BCD 2 2 13
60 60
EF≥ ，则EF的最小值为 ，于是得到问题的答案．
13 13
【详解】解：作CG⊥BD于点G，连接PC，∵四边形ABCD是矩形，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
∴∠ECF=∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=CP，
∵CD=5，BC=12，
∴BD=❑√CD2+BC2=❑√52+122=13，
1 1
∴S = ×13CG= ×5×12，
△BCD 2 2
60
∴CG= ，
13
∵CP≥CG，
60
∴EF≥ ，
13
60
∴EF的最小值为 ．
13
60
故答案为： ．
13
16．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成
如图所示的图案，已知AB=3，BC=4，则AF的长为 ．
【答案】5❑√2
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩
形的性质，勾股定理是解题的关键．
根据矩形的性质，勾股定理得到AC=CF=5，再证明△ADC≌△CGF(SAS)，得到
△ACF是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，
∴AB=CD=CE=GF=3,BC=AD=CG=EF=4，AC=CF，
∠BAD=∠ADC=∠E=∠G=90°，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=❑√42+32=5=CF，
∵AD=CG,∠ADC=∠G=90°,DC=GF，
∴△ADC≌△CGF(SAS)，
∴∠DAC=∠GCF，
∵∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DCA+∠GCF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，则AF=❑√AC2+CF2=❑√52+52=5❑√2，
故答案为：5❑√2 ．
17．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，R是DC
的中点，P是BC上的动点，E、F分别是AP、RP的中点，那么线段EF的长是 ．
【答案】❑√29
【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和
中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．根据矩形的性质，利用勾股定理即可求
出AR得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案．
【详解】如图，连接AR，
∵ ABCD AB=8 AD=10
四边形 是矩形， ， ，
∴∠D=90°，CD=AB=8．
∵R是DC的中点，1
∴DR= CD=4，
2
∴AR=❑√102+42=2❑√29，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△PAR的中位线，
1
∴EF= AR=❑√29，
2
故答案为：❑√29．
18．（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的
平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为 ．
【答案】5
【分析】根据矩形的性质可得：AB=CD=4，AD∥BC，∠B=∠C=90°，推出
∠DAE=∠BEA，根据角平分线的定义可得∠DAE=∠BAE，进而得到
∠BEA=∠BAE，推出BE=AB=4，得到BE=CD=4，CE=3，由EF⊥DE可得
∠BEF+∠DEC=90°，结合∠BEF+∠BFE=90°，可推出∠BFE=∠DEC，证
明△BEF≌△CDE，可得BF=CE=3，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD=4，AD∥BC，∠B=∠C=90°，
∴ ∠DAE=∠BEA，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠DAE=∠BAE，
∴ ∠BEA=∠BAE，
∴ BE=AB=4，
∴ BE=CD=4，CE=BC−BE=7−4=3，
∵ EF⊥DE，
∴ ∠≝=90°，
∴ ∠BEF+∠DEC=90°，∵ ∠BEF+∠BFE=90°，
∴ ∠BFE=∠DEC，
在△BEF和△CDE中，
{∠BFE=∠DEC
)
∠B=∠C ，
BE=CD
∴ △BEF≌△CDE(AAS)，
∴ BF=CE=3，
∴ EF=❑√BF2+BE2=❑√32+42=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的
定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的
延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、CD相交于点O，连接DE．若
∠AOD=120°，AC=6，则AB的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判
定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明
四边形ACED是矩形，再由∠AOD=120°，AC=6，得出△AOC是等边三角形，得
到OC，进而求得AB长．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC
∵CE=BC
∴AD=CE,
由AE∥CE
∴四边形ACED是平行四边形
∴AB=DC，AE=AB∴AE=DC
∴平行四边形ACED是矩形，
1 1
∴OA= AE，OC= CD，AE=CD
2 2
∴OA=OC
∵∠AOC=180°−∠AOD=180°−120°=60°
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=6
∴AB=AE=2OC=12
故答案为：12
【题型3根据矩形的性质求面积】
20．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上一点，连接
AE,DE，点F,G分别是AE,DE的中点，连接BF,FG,CG，若
BF=8,CG=6,FG=10，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．200 B．196 C．192 D．188
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，
勾股定理逆定理，根据矩形的性质可得∠ABC=∠DCB=90°，根据F，G分别是
1 1
AE，DE的中点，可得BF= AE，CG= DE，FG是△ADC的中位线，求出
2 2
AE，DE和AD的长，进一步可知△AED是直角三角形，∠AED=90°，根据
1
S = AE⋅DE，求出△AED的面积，根据△AED和矩形ABCD同底等高，可知
△AED 2
矩形ABCD的面积=2S ，即可求出矩形ABCD的面积．
△AED
【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，
∵F，G分别是AE，DE的中点，
1 1
∴BF= AE，CG= DE，FG是△ADC的中位线，
2 21
∴FG= BC，
2
∵BF=8,CG=6,FG=10，
∴AE=16,DE=12,AD=20，
∵DE2+AE2=144+256=400，AD2=400，
∴DE2+AE2=AD2，
∴△ADE是直角三角形，∠AED=90°，
1 1
∴S = AE⋅DE= ×16×12=96，
△AED 2 2
∴矩形ABCD的面积=2S =2×96=192，
△AED
故选：C．
21．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，EF过矩形 ABCD对角线的交点 O，且
分别交AB，CD于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
5 4 3 10
【答案】B
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等
1
高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的 得出结论．本题考查矩形的性
2
质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行
四边形不具备的性质．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，AB∥CD
∴∠EBO=∠FDO
在△EBO与△FDO中，
{∠EOB=∠DOF
)
∵ OB=OD ，
∠EBO=∠FDO
∴△EBO≌△FDO(ASA)，∴阴影部分的面积=S +S =S ，
△AEO △EBO △AOB
1
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的
2
1
∴S =S = S ．
△AOB △OBC 4 矩形ABCD
故选：B．
22．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB=AO=2，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】A
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE，△COF的面积相等，
从而将阴影部分的面积转化为△AOD的面积，再进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD∥BC，AC=BD，OB=OD，∠ABC=90°，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
{∠AEO=∠CFO
)
∠AOE=∠COF
OA=OC
∴△AOE≌△COF，
∴S =S ，
△AOE △COF
1
∴S =S +S =S = S ，
阴影 △AOE △EOD △AOD 4 矩形ABCD
∵AB=AO=2，OA=OC，AC=BD，OB=OD，
∴AC=4，
∵∠ABC=90°，
∴BC=❑√42−22=2❑√3，1
∴S = ×2×2❑√3=❑√3
阴影 4
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，
化为最简二次根式，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为△AOD的面
积，是解决问题的关键．
23．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5，E，G
分别是AD，BC边的五等分点，F，H分别是AB，CD边的三等分点，若四边形
EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（ ）
4 3 5
A． B． C． D．2
3 2 3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质．设AB=CD=3a，AD=BC=5a，根据四边形
EFGH的面积等于矩形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，列式计算求得
1
a2=
，据此求解即可．
9
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB：BC=3：5，
∴设AB=CD=3a，AD=BC=5a，
由题意得BF=AE=DH=CG=a，AF=CH=2a，DE=BG=4a，
1 1
∴3a⋅5a−2× a⋅2a−2× a⋅4a=1，
2 2
1
整理得9a2=1，即a2=
，
9
15 5
∴矩形ABCD的面积是15a2= = ，
9 3
故选：C．
24．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点
O的直线分别交AD、BC于点E、F，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ．
【答案】28
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形
ABCD的面积=4×△AOD的面积，证明△OAE≌△OCF．
由矩形的性质推出矩形ABCD的面积=4×△AOD的面积，证明△OAE≌△OCF，
得到S =S ，进而得到S =S 求解．
△OAE △OCF △OAD 阴影△
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，OA=OC，AD=BC，AD∥BC，
∴S =2×S ．
△ABD △AOD
1 1
∵S =BC·AB，S = AD·AB= BC·AB，
矩形ABCD △ABD 2 2
∴S =2×S ，
矩形ABCD △ABD
∴S =4×S ．
矩形ABCD △AOD
∵AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．
在△OAE和△OCF中
{∠OAE=∠OCF
)
∠OEA=∠OFC
OA=OC
∴△OAE≌△OCF (AAS)，
∴S =S ，
△OAE △OCF
∴S =S ❑=3+4=7，
△OAD 阴影△
∴S =4×7=28．
矩形ABCD
故答案为：28．
25．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E、
F、G、H分别在AB、 BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=2．点P为矩
形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S 、S ，则S +S = ．
1 2 1 2【答案】21
【分析】本题考查矩形的性质，过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作
PM⊥AD并延长MP交BC于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得
到答案．
【详解】过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于
N，连接PA，PB，PC，PD，
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=8，AE=CG=4，AH=CF=2，
∴BE=DG=AH=CF=2，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
，
∵PK⊥AB，PM⊥AD，
∴PK+PT=AD，PM+PN=MN，
1 1 1 1
∴S +S = ×AE×PK+ ×CG×PT+ ×AH×PM+ ×CF×PN
1 2 2 2 2 2
1 1 1 1
= ×4×PK+ ×4×PT+ ×2×PM+ ×2×PN
2 2 2 2
1 1
= ×4×KT+ ×2×MN
2 2
1 1
= ×4×8+ ×2×5
2 2
=16+5
=21．
故答案为：21．
26．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD与E、F，连接PB、PD．若AE=1,PF=4
则阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明
S =S ．由矩形的性质可证明S =S ，即可求解．
△PEB △PFD △PEB △PFD
【详解】解：如图：
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
∵EF∥BC，且四边形ABCD是矩形
∴四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，
△ADC △ABC △AMP △AEP △PBE △PBN △PFD △PDM △PFC △PCN
∵AE=1,PF=4
∵DF=MP=AE=1
1
∴S =S =4×1× =2
△DFP △PBE 2
∴S =S +S =4
阴 △DFP △PBE
故答案为：4．
27．（2024·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的
3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】97
【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．
令其中2个部分的面积分别为x、y，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求
出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为x、y，
∵49+x+35+13+ y=矩形面积的一半，x+S + y=矩形面积的一半，
阴影
∴49+x+35+13+ y=x+S + y，
阴影
∴S =97，
阴影
故答案为：97．
28．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和
1
BD上分别截取BE，BF，使BE=BF，分别以E，F为圆心，以大于 EF的长为半
2
径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=❑√3，BD=4，
则△PBD的面积是 ．
【答案】2❑√3
【分析】本题考查角平分线的性质，根据过P作PH⊥BD，结合角平分线得到
PH=PA，再利用面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：过P作PH⊥BD，
由作图可得，
BP平分∠ABD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PA⊥BA，∵PH⊥BD，
∴PH=PA，
，
∵AP=❑√3，BD=4，
1
∴S = ×4×❑√3=2❑√3，
△PBD 2
故答案为：2❑√3．
29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图直角梯形ABCD中，
AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=DE，∠CDE=90°，则△ADE的
面积为 ．
【答案】1
【分析】作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC于G，利用三角形全等的性质，
求出△ADE的高，然后得出三角形的面积．
【详解】解：如图，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC于G，则
∠F=∠DGC=90°．
∵AD=2，BC=3，AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG=2，
∴CG=3−2=1，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠EDF，
∴△CDG≌△EDF，
∴EF=GC=1，
1 1
∴△ADE的面积= AD×EF= ×2×1=1．
2 2
故答案为：1．
【点睛】本题考查梯形的性质和全等三角形的判定与性质的运用，矩形的判定与性质，
解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
【题型4矩形与折叠问题】
30．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使
其顶点C与A重合，折痕为EF．若AB=1，BC=2，则AF长为 ．
5
【答案】
4
【分析】由矩形的性质可得∠B=90°，由轴对称的性质可得AF=FC，设AF=x，
则BF=2−x，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB2+BF2=AF2，即
12+(2−x) 2=x2，解一元一次方程即可求出AF的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由折叠可得，AF=FC，
设AF=x，则BF=BC−FC=BC−AF=2−x，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：AB2+BF2=AF2，
即：12+(2−x) 2=x2，
5
解得：x= ，
4
5
∴AF= ，
4
5
故答案为： ．
4
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等
知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
31．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对
应点为C′，BC′与AD相交于点M，AM=2，∠DBC=30°，则AD的长为
．
【答案】6
【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解
题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系．
先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出BM=DM，再在含30°角
的直角三角形ABM中求出BM的长度，进而求出DM的长度，最后根据
AD=AM+DM求出AD的长度．
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴ AD∥BC，∠A=90°，
∴ ∠ADB=∠DBC=30°，
由折叠可知∠DBC′=∠DBC=30°，
∴ ∠DBC'=∠ADB，则BM=DM，
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AM=2，
∴ BM=2AM=2×2=4，
∵ BM=DM，∴ DM=4，
又∵ AD=AM+DM，AM=2，DM=4，
∴ AD=2+4=6．
故答案为：6.
32．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC
边上的D′点重合．若DC=18，D'C=12，则CF的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解
题关键是由折叠性质得到DF=D'F．
由折叠性质得到DF=D'F，设CF=x，则D'F=DF=DC−CF=18−x，再由矩形
性质和勾股定理得到方程x2+122=(18−x) 2后求解即可．
【详解】解：由折叠性质可得DF=D'F，
设CF=x，则D'F=DF=DC−CF=18−x，
∵矩形纸片ABCD中，∠C=90°，
∴CF2+D'C2=D'F2，
即x2+122=(18−x) 2，
解得x=5．
故答案为：5．
33．（2025·贵州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=7，M，N分别是直线
BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEM沿EM翻折形成△FEM，连接NF，ND，
则DN+NF的最小值为 ．【答案】11
【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，作点D关于BC的对称点
D′，连接ND′，ED′．由DN=ND′，推出DN+NF=ND′+NF，根据EF=EA=2
是定值，即可推出当E、F、N、D′共线时，DN+NF′定值最小，最小值
=ED′−EF，解题的关键是运用轴对称，根据两点之间线段最短解决线路最短问题，
属于中考常考题型．
【详解】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接ND′，ED′．
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵AE=2，BC=7，
∴AD=7，DE=5，
在Rt△EDD′中，
∵点D与点D′关于BC对称，
∴DD′=12，
∴ED′=❑√ED2+DD′2=❑√52+122=13，
∵DN=ND′，
∴DN+NF=ND′+NF，
∵EF=EA=2是定值，
∴当E、F、N、D′共线时，NF+ND′定值最小，最小值=13−2=11，
∴DN+NF的最小值为11．故答案为：11．
34．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿
AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE
的长为 ．
【答案】5❑√5
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，由折叠的性质得出
FE=DE=5，AF=AD，由勾股定理得出CF=4，设AD=BC=AF=x，则
BF=x−4，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出AD=10，再由勾股
定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD，∠B=∠D=∠C=90°，
∴CE=CD−DE=8−5=3，
由折叠的性质得：FE=DE=5，AF=AD，
∴CF=❑√EF2−CE2=❑√52−32=4，
设AD=BC=AF=x，则BF=x−4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：82+(x−4) 2=x2，
解得：x=10，
∴AD=10，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√102+52=5❑√5；
故答案为： 5❑√5．
35．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形ABCD中，E是BC的中点，将
△ABE折叠后得到△AFE，点F在矩形内部．延长AF交CD于点H，若AD=12，
9
CH= ，则折痕AE的长为 ．
2【答案】10
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
正确作出辅助线是解题的关键．
连接EH，先证明Rt△EFH≌Rt△ECH(HL)，得到CH=FH，设AB=x，则有
9 9
AH=x+ ，DH=x− ，在Rt△ADH中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可
2 2
得到AB的长，，再利用勾股定理即可求出AE．
【详解】解：连接EH，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=12，AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
1
∴BE=EC= BC=6，
2
∵将△ABE折叠后得到△AFE，
∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=6，
∴∠EFH=90°，EF=EC，
在Rt△EFH和Rt△ECH中，
{EH=EH)
，
EF=EC
∴Rt△EFH≌Rt△ECH(HL)，
9
∴FH=CH= ，
2
设AB=CD=x，则AF=AB=x，9 9
AH=AF+FH=x+ ，DH=CD−CH=x− ，
2 2
∵在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，
∴122+ ( x− 9) 2 = ( x+ 9) 2 ，
2 2
解得x=8，
∴AB=8，
∴在Rt△ABE中，AE=❑√AB2+BE2=❑√82+62=10，
故答案为：10．
36．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，点E是BC上一点，
连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B恰好落在CD上的点F处，CF=1．
(1)求AD的长；
(2)求CE的长．
【答案】(1)3
4
(2)
3
【分析】本题考查矩形性质，矩形与折叠问题，勾股定理等．
（1）根据矩形性质得CD=AB=5，∠D=90°，继而利用折叠性质得AF=AB=5，
再利用勾股定理即可得到本题答案；
（2）先得到FE=BE=3−CE，再利用勾股定理列式计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=5，
∴CD=AB=5，∠D=90°，
∵CF=1，
∴DF=CD−CF=5−1=4，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B恰好落在CD上的点F处，
∴AF=AB=5，∴AD=❑√AF2−DF2=❑√52−42=3，
∴AD的长为3；
（2）解：∵BC=AD=3，
∴FE=BE=3−CE，
∵∠C=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴CE2+12=(3−CE) 2，
4
解得CE= ，
3
4
∴CE的长为 ．
3
37．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图所示，折叠矩形的一条对角线BD，使边
BC与AD相交于点E，点C落在点F处，如果AB=4cm，BC=8cm，
(1)求AE的长；
(2)求△BDE的面积．
【答案】(1)3cm
(2)10cm2
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟知相关知
识并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据矩形性质得到∠A=90°，AD=BC=4cm，AD∥BC，即可得到
∠EDB=∠DBC，结合折叠性质证明BE=DE，设DE=BE=xcm，根据勾股定理
得到，(8−x) 2+42=x2，解方程即可求解；
（2）根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，AD=BC=4cm，AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
由题意得△BCD折叠得到△BFD，
∴∠FBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠DBE，
∴BE=DE，
设DE=BE=xcm，则AE=(8−x)cm，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得(8−x) 2+42=x2，
解得x=5cm，
∴AE=8−x=3cm；
（2）解：∵DE=5cm，AB=4cm，∠A=90°，
1 1
∴△BDE的面积为 DE·AB= ×5×4=10cm2 ．
2 2
38．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，
有一张矩形纸片ABCD，AB=5cm，对它进行以下操作：
第一步：如图2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展
平．
第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，且折痕过点B，得到
折痕BM．
(1)在图3中，BE=________cm，BN=________cm．
(2)在图3中，连接AN，试判断△ABN的形状，并说明理由．
(3)若在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=8cm，点P在边AD上，将△ABP沿着BP折
叠，若点A的对应点A′恰落在矩形ABCD的对称轴上，则AP= ________cm．
5
【答案】(1) ，5
2
(2)△ABN为等边三角形，理由见解析5 5❑√3
(3) cm或 cm
2 3
【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可．
（2）由折叠的性质可得AB=BN，由线段中垂线的性质可得AN=BN，可得结论；
（3）根据点A的对应点A′恰落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论，①当点
A′落在MN上时，②如当点A′落在EF上时，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
1 5
∴AE=BE= AB= cm，
2 2
由折叠可得：AB=BN=5cm；
5
故答案为： ，5；
2
（2）解：△ABN为等边三角形；
理由如下：
由折叠可知：EN垂直平分AB，
∴AN=BN，
又∵AB=BN，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN为等边三角形；
（3）解：解：①如图，当点A′落在MN上时，
∵MN为矩形ABCD的对称轴，
1 1
∴BN=CN= BC=4cm，AM=MD= AD=4cm，MN⊥AD,MN⊥BC，
2 2
∵∠A=90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴AB=MN=5cm，
由折叠可知：AB=A′B=5cm ，AP=A′P，设AP=A′P=xcm，则：
MP=(4−x)cm，在Rt△A′BN中，A′N=❑√A′B2−BN2=3cm，
∴A′M=MN−A′N=2cm，
在Rt△A′MP中，由勾股定理，得：x2=(4−x) 2+22，
5
解得：x= ，
2
5
∴AP= cm
2
②如图，当点A′落在EF上时
由（2）可知：△ABA′是等边三角形，
∴∠ABA′=60°，
∴∠ABP=∠A′BP=30°，
∴BP=2AP，
∵BP2=AP2+AB2
5❑√3 5❑√3
∴AP= 或− （舍去），
3 3
5 5❑√3
综上所述，AP的长为 cm或 cm；
2 3
5 5❑√3
故答案为： cm或 cm．
2 3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【题型5直角三角形斜边上的中线】
39．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的
中点，∠BDC=60°,AC=6，则BC的长是（ ）A．3 B．6 C．❑√3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的
判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得
到△BDC等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
1
∴BD= AC=CD，
2
∵∠BDC=60°，
∴△BDC等边三角形，
1 1
∴BC=CD= AC= ×6=3．
2 2
故选：A．
40．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO为AB边上的中线．
若∠B=50°，则∠OCA的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的
关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半
得到OC=OA，进而得到∠OCA=∠A，即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴ OC=OA，
∴ ∠OCA=∠A=90°−∠B=90°−50°=40°，
故选：A．
41．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，
BD，则∠DBE的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三
角形内角和定理，先求出∠BCD=50°，再由直角三角形的性质可得
1
BE=CE=DE= AC，由等边对等角可得∠EBC=∠ECB，∠EDC=∠ECD，
2
∠EBD=∠EDB，再由三角形外角的定义及性质可得∠BED=100°，最后再由三角
形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=130°，
∴∠BCD=360°−∠ABC−∠ADC−∠BAD=50°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E为对角线AC的中点，
1
∴BE=CE=DE= AC，
2
∴∠EBC=∠ECB，∠EDC=∠ECD，∠EBD=∠EDB，
∴
∠BED=∠BEA+∠DEA=∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD=2(∠ECB+∠EC，D)=100°
180°−∠BED
∴∠EBD=∠EDB= =40°，
2
故选：B．42．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，AC=4，
则BD的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是
解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的中线，AC=4，
1
∴BD= AC=2．
2
故答案为：2．
43．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC的延
长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF=3，则AD的长为
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的
性质，连接AE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再根据直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=2EF，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AE，
∵AB=AC，点E为线段BC的中点，∴AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∵点F分别为线段AD的中点，
∴AD=2EF=6，
故答案为：6
【题型6矩形的判定】
44．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是
（ ）
A．AB=BC B．AB=AC C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；由矩形的判定定理分别
对各个选项进行判断即可．
【详解】解：在▱ABCD中，添加AC=BD，由对角线相等的平行四边形是矩形，故
能判定▱ABCD是矩形，
在▱ABCD中，添加AB=BC或AB=AC或AC⊥BD，都不能判定▱ABCD是矩形，
故选：D．
45．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点
E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是
矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABC+∠DCB=90°
C．AC=BD D．AB=CD
【答案】B
【分析】本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定，根据三角形中1 1 1 1
位线定理得到EG= AB，FH= AB，FG= CD，EH= CD，
2 2 2 2
EN∥AB，FN∥CD，则可证明四边形EMFN为平行四边形，当AB⊥CD时，
EN⊥FN，则此时平行四边形EGFH为矩形，据此可得答案．
【详解】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点，
∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
1 1 1 1
∴EN= AB，FM= AB，FN= CD，EM= CD，EN∥AB，FN∥CD，
2 2 2 2
∴EN=FM，FN=EM，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB⊥CD时，EN⊥FN，则此时平行四边形EGFH为矩形，
而当∠ABC+∠DCB=90°可证明AB⊥CD，
故选：B．
46．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，要使▱ABCD成为矩形，应添加的条件是
（只填一个）．
【答案】∠ABC=90°（或AC=BD，答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键．
【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，
∴可以添加条件∠ABC=90°(或其余三个内角中的一个为90°)．
又∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴也可以添加条件AC=BD(答案不唯一)．
故答案为：∠ABC=90°（或AC=BD，答案不唯一）．
47．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，
且AE∥CF．(1)求证：BF=DE；
(2)连接AF，CE，请添加一个条件，使四边形AECF为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEC=90°（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，
掌握相关的知识是解题的关键．
（1）利用平行四边形的对边平行且相等得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，再由平行
线的性质和平角的定义证明∠AEB=∠CFD，最后根据AAS证明△ABE≌△CDF得
到BE=DF，进而可证明BF=DE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，根据一组对边平行且相等证四边形AECF
为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AED=∠CFB，
∴180°−∠AED=180°−∠CFB，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
{∠ABE=∠CDF
)
∠AEB=∠CFD ，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE；
（2）解：添加的条件：∠AEC=90°，证明如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵∠AEC=90°，∴四边形AECF为矩形．
48．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
M是AC的中点，AE∥BC，交DM的延长线于点E，连接CE．求证：四边形ADCE
是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明
△AME≌△CMD(AAS)，得到AE=CD，再证明四边形ADCE是平行四边形，再由
矩形的判定方法即可证明四边形ADCE是矩形，掌握其性质定理是解题的关键．
【详解】证明：∵AE∥BC，
∴∠MAE=∠MCD，∠MEA=∠MDC，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∴△AME≌△CMD(AAS)，
∴AE=CD，
∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形．
【题型7 矩形的性质与判定综合】
49．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E, F分别在
BC, AD上，且BE=DF，AC=EF．(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB⊥AC，AB=❑√5，BE=1，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=5
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练
掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键；
（1）先证四边形AECF是平行四边形，再结合对角线相等证明即可；
（2）根据勾股定理，可得AC2=AE2+EC2=4+x2，
AC2=BC2−AB2=(x+1) 2−5=x2+2x−4，即可得到方程x2+2x−4=4+x2，再
求解即可．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
∴AF=EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴AE=❑√AB2−BE2=❑√(❑√5) 2 −1=2，
∵ AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设EC=x，
在Rt△AEC中，AC2=AE2+EC2=4+x2，在Rt△ABC中，AC2=BC2−AB2=(x+1) 2−5=x2+2x−4，
∴x2+2x−4=4+x2，
解得：x=4，
∴EC=4，
∴BC=BE+EC=5．
50．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)过点B作BE⊥AC于点E，若∠ABE:∠CBE=2:3，求∠OBE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）由AO=CO，BO=DO，得到四边形ABCD是平行四边形，进而
∠ABC=∠ADC，结合∠ABC+∠ADC=180°，可得∠ABC=90°，得证结论；
（2）由∠ABE:∠CBE=2:3，∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°，得到
∠ABE=36°，∠CBE=54°，根据BE⊥AC可求出∠BAE，根据矩形的性质得到
AO=BO，进而得到∠ABO=∠BAO=54°，最后根据角的和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形．
（2）解：∵∠ABE:∠CBE=2:3，∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=36°，∠CBE=54°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°−∠AEB=90°−36°=54°，
1 1
∵在矩形ABCD中，AC=BD，AO= AC，BO= BD，
2 2
∴AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=54°，
∴∠OBE=∠ABO−∠ABE=54°−36°=18°．
51．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交
DC的延长线于点F，连接BF、AC．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=AF，AB=3，BC=5，求四边形ABFC的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性
质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出AB∥DF，从而得到∠ABC=∠BCF，利用ASA即可
证明结论；
（2）由全等三角形的性质得出AE=FE，从而证明出四边形ABFC是平行四边形，由
等腰三角形的性质得出AC⊥FD，推出四边形ABFC是矩形，由勾股定理得AC=4，
即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABC=∠BCF，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，{∠ABE=∠ECF
)
BE=CE ，
∠BEA=∠CEF
∴△ABE≌△FCE．
（2）解：∵△ABE≌△FCE，
∴AE=FE，
∵BE=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AB=CF=CD，
∵AD=AF，
∴AC⊥FD，
∴四边形ABFC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵AB=3，BC=5，
根据勾股定理得AC=❑√BC2−AB2=4，
∴矩形ABFC的面积为AB⋅AC=3×4=12．
52．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的
中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两直线交于点E．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)连接DE，交AB于点O，若BC=8，DO=2.5，求四边形ADBE的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）只要证明四边形ADBE是平行四边形，且∠ADB=90°即可；
（2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出AB，AD，进而即可求出面积．
【详解】（1）解：∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形．
（2）解：∵BC=8，AD是BC边上的中线，
∴BD=4．
由（1）知，四边形ADBE是矩形，DO=2.5，
∴DE=2DO=5=AB，
在Rt△ADB中，AD=❑√AB2−BD2=❑√52−42=3．
∴S =3×4=12．
矩形ADBE
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四
边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
53．（2024·湖南岳阳·二模）如图，四边形ABCD中，∠B=∠D，AB∥CD．
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)连接BD，若AC=BD=5，AB=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据AB∥CD，得出∠CAB=∠ACD，即可根据AAS求证△ABC≌△CDA；
（2）根据全等三角形的性质推出四边形BEDF是平行四边形，进而得出▱BEDF是
矩形，根据勾股定理得出BC=❑√52−32=4，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【详解】（1）证明： ∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD（两直线平行， 内错角相等），
在△ABC和△CDA中，
{
∠B=∠D
)
∠CAB=∠ACD ，
AC=CA
∴△ABC≌△CDA(AAS)；（2）解： ∵△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，AD=CB，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又∵ BD=AC，
∴▱BEDF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角），
∵AC=5，AB=3，
∴BC=❑√52−32=4
∴矩形BEDF的面积=DE⋅DF=3×4=12．
54．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E
为AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BDF=90°，AD=10，DF=6，求四边形BCDE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾
股定理及应用等知识：
（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE=∠FDE，而点E是AD的中点，可
得△BEA≌△FED(ASA)，即知EF=EB，从而四边形ABDF是平行四边形；
（2）由AB=DF=6， ∠BDF=90°， BF=AD=10，得， ，
BD=❑√BF2−DF2=❑√102−62=8 S =DF⋅BD=48
矩形ABDF
1
S = S =12
△BED 4 矩形ABDF
1
，四边形ABCD是平行四边形，得CD=AB=6，从而S = BD⋅CD=24，即可
△BCD 2
得四边形BCDE的面积为36．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
{∠BAE=∠FDE
)
AE=DE ，
∠BEA=∠FED
∴△BEA≌△FED(ASA)，
∴EF=EB，
又∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：由（1）得：四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形，AB=DF，
∴∠BDF=90°，AB=DF=6，BF=AD=10，
∴BD=❑√BF2−DF2=❑√102−62=8，
∴S =DF⋅BD=6×8=48，
矩形ABDF
1
∴S = S =12，
△BED 4 矩形ABDF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，
1 1
∴S = BD⋅CD= ×8×6=24，
△BCD 2 2
∴四边形BCDE的面积S=S +S =12+24=36，
△BED △BCD答：四边形BCDE的面积为36．
