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第02讲 探索三角形全等的条件
1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角
边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能
力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
知识点 1 判定全等三角形（边边边）
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
知识点2 判定全等三角形（边角边）
1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或
“SAS”）。知识点3 判定全等三角形（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA”）。
知识点4 判定全等三角形（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角
边"或"AAS"）。
知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角
边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上
“Rt”。【题型1 判定全等角形（SSS）】
【典例1】（2022秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交
于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．
【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵DE＝CE，
∴EA+DE＝EB+CE，
∴AD＝BC，
在△ACB和△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（SSS）．
【变式1-1】（2022秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE
＝BF，EC＝FD，AB＝CD．
求证：△EAC≌△FBD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，，
∴△EAC≌△FBD（SSS）．
【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直
线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF.求证：∠EDF=∠ABC.
【答案】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，
在△ABC与△EDF中，
{AB=ED
)
AC=EF ，
BC=DF
∴△ABC≌△EDF(SSS)，
∴∠EDF=∠ABC.
【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用
SSS证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
【变式1-3】（2022八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，
AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D.
【答案】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△≝¿中，
{BC=EF
)
AB=DE ，
AC=DF∴△ABC≌△≝¿（SSS），
∴∠A＝∠D.
【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而
根据全等三角形对应角相等即可得出答案.
【题型2 判定全等角形（SAS）】
【典例2】（2022秋•郴州期末）如图，已知 EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，
求证：△CBA≌△FED．
【解答】证明：∵EC＝BF，
∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE，
在△CBA和△FED中，
，
∴△CBA≌△FED（ SAS）．
【变式2-1】（2022秋•鲤城区校级期末）如图，点 A、B、C、D在同一直线上，
AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE．
【解答】证明：∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DB，
∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC，
在△ABF和△DCE中，
∵ ，∴△ABF≌△DCE（SAS）．
【变式2-2】（2022秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，
AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即：BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，
AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连结AD、BE，求证：AD=EB．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
∴DF＝BC，
又∵AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．（2）证明：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF
＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可；
（2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝
∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论．
【题型3 判定全等角形（ASA）】
【典例3】（2022秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，
∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED．
【解答】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式3-1】（2022秋•叙州区期末）如图，点 B、E、C、F在一条直线上，
AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件： ∠ A ＝∠ D （答案不唯
一） ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【变式3-2】22．（2022八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线
上，FB=CE，AB//ED，AC//DF．求证：AB=DE，AC=DF．
【答案】证明：∵FB=EC，
∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥DF
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△ABC与△≝¿中，
{
∠B=∠E
)
∵ BC=EF
∠ACB=∠DFE
∴△ABC≌△≝(ASA)，
∴AB=DE，AC=DF．
【解析】【分析】先利用“ASA”证明 △ABC≌△≝¿，再利用全等三角形的性
质可得AB=DE，AC=DF。
【题型4 判定全等角形（AAS）】
【典例4】（2022秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝
∠2，∠A＝∠D．
求证：△AOB≌△DOC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）
【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次
四点，AB∥DE，AB=DE，∠ACB=∠F，求证：BE=CF.【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠≝¿.
在△ABC和△DCE中，
{∠B＝∠≝¿∠ACB=∠F)
，
AB=DE
∴△ABC≌△DCE（AAS）.
∴BC=EF，
∴BC−CE=EF−CE，即BE=CF.
【解析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，
AB=DE，利用AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关
系进行证明.
【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，
∠ACB=∠D，求证：△ABC≌△EAD.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
{∠ACB=∠D
)
在△ABC和△EAD中， ∠CAB=∠E ，
AB=AE
∴△ABC≌△EAD(AAS).
【解析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，
AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.【变式4-3】（2022八上·西城期末）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，
AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB=DC．求
证：BE=CE．
【答案】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D，
∴∠A=90°，∠D=90°．
∴∠A=∠D．
在△ABE和△DCE中，
{
∠A=∠D，
)
∠AEB=∠DEC，
AB=DC，
∴△ABE≌△DCE．
∴BE=CE．
【解析】先利用“AAS”证明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得
BE=CE。
AOB≌△DOC（AAS）．
【题型5 判定全等角形（HL）】
【典例5】（2022秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、
C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．
【变得5-1】（2022春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C
＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌△Rt△BAD（HL）．
【变式 5-2】（2022 秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝
CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？
【解答】解：△ABC与△CDA全等，
理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵AD＝CB，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
【题型6 全等角形判定与性质综合】
【典例6】（2022秋•巫溪县期末）如图，点 E，F在BC上，BE＝CF，AB＝
DC，∠B＝∠C．若∠B＝75°，∠AFB＝40°，则∠D的度数为（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∵∠B＝75°，∠AFB＝40°，
∴∠A＝∠D＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，
∴∠D的度数为65°，
故选：B．
【变式6-1】（2022秋•万全区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上
的一点，且 BE＝BC，过 E 作 DE⊥AB 交 AC 于 D，如果 AC＝5cm，则
AD+DE等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，
故选：B．
【变式 6-2】（2022 秋•离石区期末）如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DBE 中，
∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，则CD的长为（
）
A．1.5 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（AAS），
∴BC＝BE＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•平城区校级期末）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的
高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，
∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，
∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠CAD，
在△BCF和△ACD中，
，
∴△BCF≌△ACD（AAS），
∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．
故选：B．
【典例7】（2022秋•丰都县期末）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，
DE交AC于点F，∠2＝∠3，AE＝AC，DE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△ADE．
（2）若∠2＝60°，猜想△ABD的形状并证明．
【解答】（1）证明：∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，
∵∠3+∠CFD+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFD，
∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠E＝∠C，
在△ABC和△ADE中，
，∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）解：△ABD是等边三角形，理由如下：
∵∠3＝∠2＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠3＝120°，
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴∠ADB＝ ∠BDE＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
【变式7-1】（2023•瓯海区一模）如图，点 A，D，B，E在同一条直线上，AC
＝EF，AD＝EB，∠A＝∠E．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）设BC与DF交于点O，若∠C＝70°，∠E＝50°，求∠BOD的度数．
【解答】（1）证明：∵AD＝EB，
∴AD+DB＝EB+DB，
∴AB＝ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
（2）解：∵∠A＝∠E，∠E＝50°，
∴∠A＝50°，
∵∠C＝70°，
∴∠ABC＝60°，
∵△ABC≌△EDF，∴∠EDF＝∠ABC＝60°，
∴∠BOD＝60°．
【变式7-2】（2022秋•林州市校级期末）如图，点 A，C，D，E在同一条直线
上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F＝∠B，且AB＝EF．
（1）求证：△ABC≌△EFD；
（2）若AE＝8，CD＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AE，FD⊥AE，
∴∠ACB＝∠EDF＝90°，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△EFD，
∴AC＝DE，
∵AE＝8，CD＝2，
∴AC+DE＝6，
∴DE＝3．
【变式 7-3】（2022 秋•南充期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝
∠AED．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AD∥CE，∠1＝23°，∠2＝27°，求∠3的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠ABC＝∠ACB，∠3＝∠AED．
∵∠ACB＝∠AED，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠3＝∠AED．
∴∠BAC＝∠DAE．
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知∠1＝∠CAE＝23°．
∴∠CAE+∠2＝50°，
∴∠AEC＝180°﹣50°＝130°，
∵AD∥CE，
∴∠3＝∠CED，
∴∠AED＝∠CED＝ AEC＝65°，
∴∠3＝65°．
1．（2023•天府新区模拟）如图，已知AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件，能
判定△ABC≌△DEF的是（ ）A．AC＝DF B．∠A＝∠FDE C．∠ACB＝∠DFE D．∠B＝∠E
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
又AB＝DE，
添加AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，
故A不符合题意；
添加∠A＝∠FDE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故B符合题意；
添加∠ACB＝∠DFE，不能判定△ABC≌△DEF，
故C不符合题意；
添加∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，
故D不符合题意；
故选：B．
2．（2023•双流区模拟）如图，在△ABC与△EBF中，若AB＝BE，BC＝BF，
要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A．∠A＝∠E B．∠CBF＝∠ABF C．∠ABE＝∠CBF D．∠C＝∠F
【答案】C
【解答】解：添加∠A＝∠E，不能判定△ABC≌△EBF，故A不符合题意；
添加∠CBF＝∠ABF，不能判定△ABC≌△EBF，
故B不符合题意；
添加∠ABE＝∠CBF，根据SAS可证△ABC≌△EBF，
故C符合题意；
添加∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△EBF，
故D不符合题意，
故选：C．
3．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加
辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】B
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
4．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，
AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【答案】B
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
5．（2021•重庆）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条
件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
【答案】B
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
6．（2020•永州）如图，已知 AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断
△ABC≌△DCB的方法是（ ）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
7．（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，
要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
【答案】AB＝DE（答案不唯一）．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
8．（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件
，使△ABC≌△DEC．
【答案】CB＝CE（答案不唯一）．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
9．（2022•黑龙江）如图，在四边形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
OA＝OC，请你添加一个条件 ，使△AOB≌△COD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：添加的条件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
10．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应
添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
【答案】∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
11．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点
A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是
．（只填一个即可）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
12．（2023•雁塔区校级模拟）如图，点 A、B、F在同一条直线上，AC与BE
交于点D，若AB＝AC．AD＝BD，∠E＝∠F，求证：△ABE≌△CAF．
【答案】证明见解析．
【解答】解：∵AD＝BD，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
13．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
∠BCD，连接 AC，点 M 为线段 AC 上一点，连接 BM，若 AC＝BC，AB＝
BM．求证：△ADC≌△CMB．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠MCB，∠D+∠BCD＝180°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵AB＝BM，
∴∠BAM＝∠BMA，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠BMA＝∠BCD，
∵∠BMA+∠BMC＝180°，∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝∠BMC，
在△ADC和△CMB中，
，
∴△ADC≌△CMB（AAS）．
14．（2023•增城区一模）如图，点 E、F 在线段 BC 上，AB∥CD，∠A＝
∠D，BE＝CF．
求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
15．（2023•荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连
接AC．求证：△ABC≌△CDA．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
16．（2023•碑林区校级四模）如图，点 E 在△ABC 边 AC 上，AE＝BC，
BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC，
∴∠D＝∠BAC，
在△ABC和△DEA，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
17．（2023•化州市一模）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BE⊥AC，
DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF．求证：△AEB≌△CFD．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（ASA）．18．（2023•昆明模拟）如图，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC
的中点，∠A＝∠DCF．求证：△AEF≌△CDF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（ASA）．
19．（2022 秋•常州期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝
∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
即∠AOD＝∠BOC．
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
20．（2023•天河区一模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线 AD 的两侧，且∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】见解答过程．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
即AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
1．（2023春•云岩区校级期中）在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三
角形全等的条件（ ）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
【答案】C
【解答】解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS：三条
边分别对应相等的两个三角形全等，故D不符合题意；
（2）判定定理2：SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故
B不符合题意；
（3）判定定理3：ASA：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全
等．故A不符合题意；（5）判定定理5：HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
故C符合题意．
故选：C．
2．（2023春•南岗区校级期中）按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定
的△ABC的是（ ）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3
C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°
【答案】C
【解答】解：A、AB+BC＝2+3＝AC，不能构成三形，故A不符合题意；
B、AB＝2，BC＝3，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确
定的三角形，故B不符合题意；
C、AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50°，符合SAS，能画出形状、大小确定的三角
形，故C符合题意；
D、∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，不符合三角形全等的条件，所以不能
画出形状、大小确定的三角形，故D不符合题意；
故选：C．
3．（2023•成都模拟）如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，
则△AOC与△BOD全等的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】A
【解答】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．故选：A．
4．（2023•宜宾）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝
∠E．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
5．（2023•思明区校级二模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AC＝
DF，AB＝DE，AB∥DE．求证：BC＝EF．
【答案】证明见解析过程．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠EDF，
在△BAC和△EDF中，
，
∴△BAC≌△EDF（SAS），∴BC＝EF．
6．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求
证：AD＝EB．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
7．（2023•五华区校级模拟）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．
证明：△ABC≌△DEF．
【答案】见解答过程．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
8．（2023•红河州一模）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF
＝CE，AC＝DF，求证：AC∥FD．
【答案】证明见解答过程．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥FD．
9．（2023•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在边
AB上，过点C作CD∥AB，交FE的延长线于点D．求证：AF＝CD．
【答案】见解答过程．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，
在△AEF与△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD．
10．（2022秋•香洲区校级期中）如图，已知 AD⊥BE，垂足C是BE的中点，
AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵AD⊥BE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵C是BE中点，
∴BC＝CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）．
11．（2021春•神木市期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，
AC＝DE，点 B、E、C、F 在同一条直线上，且 BE＝FC，求证：
Rt△ABC≌Rt△DFE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，即BC＝FE，
∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
12．（2023•耿马县二模）如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠CBA＝∠FED，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
13．（2023•邵阳县二模）如图，AC与BD相交于点E，已知AB＝CD，∠ABE
＝∠DCE，求证：△ABC≌△DCB．
【答案】见解析过程．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中，
，∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，CE＝BE，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
14．（2023 春•崂山区校级期中）在△ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，
∠EAC＝∠DAB，∠B＝∠D，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
15．（2023•呈贡区校级三模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝
AE，∠CAD＝∠EAB．
求证：△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵∠CAD＝∠EAB，∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB，
即∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
16．（2023•盘龙区二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，CD∥AB，
DE⊥AC于点E，且DE＝CB．
求证：△CED≌△ABC．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠A，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（AAS）．
17．（2023•雁塔区校级三模）如图，C，A，D三点在同一直线上，AB∥CE，
AB＝CD，AC＝CE．
求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明见解析．
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
18．（2023•西安二模）如图，AB＝AD，∠1＝∠2，AC＝AE．求证：
△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
19．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的
直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB
与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．20．（2022秋•仙居县期末）如图，已知 AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，点
B，E，C，F在同一条直线上．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝3，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
即BE＝CF，
∵BE＝3，
∴CF＝3．
21．（2022秋•新邵县期末）如图，在△ABC中，D是边 AB上一点，E是边
AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝AC，CE＝10，CF＝14，求DB的长．【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝EC，
∵CF∥AB，
∴∠DAC＝∠ACF，
在△ADE和△EFC中，
∴△ADE≌△CEF（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△EFC，
∴AD＝CF，
∵E是边AC的中点，
∴AC＝2CE，
∵CE＝10，
∴AC＝2CE＝20，
∵AB＝AC，
∴AB＝20，
∵CF＝14，
∴AD＝CF＝14，
∴DB＝AB﹣AD＝20﹣14＝6．
22．（2022 秋•沙坪坝区期末）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB＝
DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若∠D＝55°，求∠EGC的大小．【解答】（1）证明：如图所示：
∵BC＝BE+EC，EF＝CF+EC，BE＝CF，
∴BC＝EF，
又∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB，
∴DF∥AC，
∴∠D＝∠EGC，
又∵∠D＝55°，
∴∠EGC＝55°．
23．（2022秋•越城区校级期末）如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，
O为BD上的一点，且AO平分∠BAC，CO平分∠ACD．求证：
（1）OA⊥OC．
（2）AB+CD＝AC．【解答】证明：（1）∵∠D＝∠B＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACD，
∴ ， ，
∴ ，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣90°＝90°，
∴OA⊥OC；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，如图所示：
∵∠D＝∠B＝90°，
∴OB⊥AB，OD⊥CD，
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACD，
∴OB＝OE，OD＝OE，
∵OA＝OA，OC＝OC，
∴Rt△OAB≌Rt△OAE（HL），Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），
∴AB＝AE，CD＝CE，∴AB+CD＝AE+CE＝AC．
24．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，AD，BC相交于点O，AC＝BD，∠C＝
∠D＝90°．
（1）求证：Rt△ABD≌Rt△BAC；
（2）若∠DOB＝66°，求∠OAB的度数．
【解答】（1）证明：在Rt△ABD与Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）；
（2）解：∵△Rt△ABD≌Rt△BAC，
∴∠DAB＝∠CBA，
又∵∠DOB＝∠DAB+∠CBA＝66°，
∴∠OAB＝ ∠BOD＝33°．
