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第十二章 全等三角形 章节达标检测
一、单选题：
1．下列各组图案中，不是全等形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：根据全等形的定义可知，ABC都是全等形，D大小不一样不是全等形，
故答案为：D.
【分析】根据全等形的定义即可得出答案.
2．下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项
错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
3．如图（1），若△ABC与△DEF全等，请根据图中提供的信息，得出x的值为（ ）A．20 B．18 C．60 D．50
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据全等三角形的对应边相等的性质可知EF=AB=18．
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质与判定进行作答即可.
4．如图，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF则下列结论正确的是（ ）
A．AB∥DE，且AC不平行于DF． B．BE=EC=CF
C．AC∥DF．且AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠2=∠F，∠1=∠B，
∴AB∥DE，AC∥DF．
所以答案为D选项.
【分析】根据题中条件△ABC≌△DEF，得出∠2=∠F，∠1=∠B，进而可得出结论．
5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为 ，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
∴CD=AB，AD=BC，
∵BD=BD，
∴△CDB≌△ABD（SSS），
∴∠CBD=∠ADB
∴EB=ED
∴CE=AE
又AB=CD
∴△ABE≌△CDE，
∴图中全等三角形共有2对
故答案为：C
【分析】根据折叠的性质得出CD=AB，AD=BC，根据SSS可证△CDB≌△ABD，可得
∠CBD=∠ADB，由等角对等边可得EB=ED，根据HL可证△ABE≌△CDE，从而得出结论.
6．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数
为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】全等图形；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠A=∠BED=∠CED=90°，
在△ABC中，∠C+2∠C+90°=180°，
∴∠C=30°．故选D．
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，根据
∠BED+∠CED=180°，可以得到∠A=∠BED=∠CED=90°，再利用三角形的内角和定理求解即可．
7．如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长
ABC
△
是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，
∴DE=DF=2，
∵S =7，
ABC
△
∴S +S =7，
ADB ADC
△ △
∴ ×AB×DE+ ×AC×DF=7，
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
解得：AC=3．
故答案为：D .
【分析】先求出DE=DF=2，再求出S +S =7，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
ADB ADC
△ △
8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角
形，则S ︰S ︰S 等于（ ）
ABO BCO CAO
△ △ △A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF，同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S ABO= ，S AOC= ，S BOC=
△ △ △
∴S ︰S ︰S = ∶ ∶ =AB：BC：AC=2：3：4
ABO BCO CAO
△ △ △
故答案为：C。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分
别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。
9．如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且
， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt DEF和Rt DGH中，
△ △
，
∴Rt DEF≌Rt DGH（HL），
∴S △EDF =S GDH =3△，
△ △
同理Rt ADF≌Rt ADH，
△ △
∴S =S =
ADF ADH
△ △
∴S = ，
AED
△
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用
“HL”证明Rt DEF和Rt DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S =S ，然后根据
EDF GDH
△ △
S =S 列出△方程求解即△可.
ADF ADH
△ △
10．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P
旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；
（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（
）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∵OP平分∠AOB，
∴PF=PE，∠PEO=∠PFO=90°
∴∠EPF+∠AOB=180°
∵∠MPN+∠AOB=180°
∴∠EPF=∠MPN
∴∠EPM=∠FPN
在△POE和△POF中
OP=OP，PE=PF
∴△POE≌△POF（HL）
∴OE=OF
在△PEM和△PFN中∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN（ASA）
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确；
S =S
PEM PNF
△ △
∴S =S =定植，故（3）正确；
四边形PMON 四边形PEOF
∵OM+ON=OE+OF+ME-NF=2OE=定植，故（2）正确；
MN的长度要发生变化，故（4）错误。
正确的有（2）（3）（1）一共3个
故答案为：B
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，利用角平分线的性质，可证PE=PF，再证明
△POE≌△POF，可得出OE=OF，根据全等三角形的判定和性质，可证得EM=NF，PM=PN，就可对
（1）作出判断；然后证明S =S ，就可得出S =S =定植，可对（3）作出判断；再
PEM PNF 四边形PMON 四边形PEOF
△ △
证明OM+ON=2OE=定植，可对（2）作出判断；由题意可知MN的长度要发生变化，可对（4）作出
判断，综上所述可得出正确的个数。
二、填空题：
11．如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添加的条件是
．（不添加任何字母和辅助线）
【答案】 或 或 .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可以添加 ，此时满足SAS；
添加条件 ，此时满足ASA；添加条件 ，此时满足AAS，
故答案为： 或 或 ；
【分析】根据三角形全等的判定定理，根据题意，添加几个合适的条件即可。
12．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝ .
【答案】70º
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵BD=EC，
∴BD+CD=EC+DC，
∴BC=DE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠FDE，
在△ACB和△FDE中，
∵AC=DF，
∠ACB=∠FDE，
BC=ED，
∴△ACB≌△FDE(SAS)，
∴∠E=∠B=30º，∠FDE=∠ACB=80º，
∴∠F=180º−∠B−∠FDE=70º
【分析】由线段的构成可得BC=DE，根据平行线的性质可得∠ACB=∠FDE，于是用边角边可证
△ACB≌△FDE，根据全等三角形的对应角相等可得∠E=∠B=30º，∠FDE=∠ACB=80º，所以由三角
形内角和定理可求得∠F的度数。
13．如图，△ACE DBF，如果DA=12，CB=6，那么线段AB的长是 .
△【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF
∴AC=BD
∵AD=12，BC=6
∴AB+CD=6
∴AB=CD=3
【分析】根据题意，由三角形全等即可得到AB=CD，继而由线段AD和线段BC的长度计算得到
AB+CD的长度，得到答案即可。
14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则 度.
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图所示，由图形可得：
∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7= =540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴ 540°− 180°− 180°=180°，
故答案为：180°.
【分析】如图所示，利用平角的定义结合三角形内角和性质以及全等三角形性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，然后进一步求解即可.
15．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．若CD=3，AB=8则△ABD的
面积是 △。
【答案】12
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°即CD⊥AC，AD平分∠CAB
∴CD=DE=3
∴ .
故答案为：12.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DE的长，然
后利用三角形的面积公式可求出△ABD的面积。
16．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，若
∠BAC＝80°，则∠BOD的度数为 ．【答案】100°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图在CO的延长线上取一点H．
∵∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，
∴∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，
∵O三个内角的平分线的交点，
∴∠DCO=∠BCO，
在△OCD和△OCB中，
，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠D=∠OBC=∠ABO，
∴∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，
故答案是：100°
【分析】如图在CO的延长线上取一点H．根据三角形外角的定理得出∠DOH=∠D+∠DCO，
∠BOH=∠OBC+∠OCB，根据角的和差及等量代换得出
∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，然后利用SAS判断出△OCD≌△OCB，
根据全等三角形的对应角相等得出∠D=∠OBC=∠ABO，根据角的和差等量代换及三角形的内角和，
由∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC算出答案。
17．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚
好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端
重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝
90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的
性质进行解答.
18．如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角
平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为 .【答案】3
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A = ∠B = 90°
∴AD∥BC,∠ADC+∠BCD=180
∘
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE
∴∠DCE+∠CDE=90
∘
∴DE⊥EC，
延长DE交CB的延长线于点F,
∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线，
∴∠CDF=∠ADE=∠DFC，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰三角形；
∵DE⊥EC，
∴DE=FE，
在△BEF和△AED中
∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF,
故FC=AD+BC=CD=8，
∵等腰梯形的面积为 （AD+BC）×AB=12
即 ×8×AB=12
故AB=3.
故答案为：3.
【分析】首先根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BC,根据二直线平行，同旁内角互补得出
∠ADC+∠BCD=180，根据角平分线的定义、角的和差及三角形的内角和得出∠DEC=90°，所以
∘
DE⊥EC，延长DE交CB的延长线于点F,进而找出∠CDF=∠ADE=∠DFC，根据等角对等边得出
CD=CF，故△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DE=FE，然后利用ASA判断出
△BEF≌△AED，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BF,最后根据梯形的面积计算方法列出方程，
求出AB的长.
19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（3，1），点C的坐标为（4，3），如
果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
【答案】(4,−1),(−1,3),(−1,−1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(3,1)，
∴AB是平行于x轴，y=1的直线，
∵△ABD与△ABC全等，
∴∠ABD=∠ABC，
∴点D与点C关于直线AB对称，
∵C(4,3)，∴D(4,−1).
当点D与点C关于AB的中垂线对称时：
D(−1,3)；
当点D与点C关于AB的中点成中心对称时
D(−1,−1).
故案为：(4,−1),(−1,3),(−1,−1).
【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB对称，点D与点C关
于AB的中垂线对称或点D与点C关于AB的中点成中心对称，再根据点C的坐标就可以求出D的坐
标.
20．如图， 中，P、Q分别是BC、AC上的点，作 ， ，垂足分别是
R、S，若 ， ，下面四个结论：① ；② ；③ ≌
；④AP垂直平分 其中正确结论的序号是 请将所有正确结论的序号都填上
．
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt ARP和Rt ASP中，
△ △
，
∴Rt ARP≌Rt ASP(HL)，
∴AR△=AS，∴①△正确；②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正确；
③在Rt BRP和Rt QSP中，只有PR=PS，
不满足三△角形全等的△条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D，
在△ARD和△ASD中，
，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
∵∠ADR+∠ADS=180º
∴∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正确，
故答案为：①②④．
【分析】首先根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠A的平分线上，根据角
平分线的定义得出∠SAP=∠RAP，然后利用HL判断出Rt ARP≌Rt ASP，根据全等三角形的对应边
相等得出AR=AS；根据等边对等角得出∠QAP=∠QPA，又△∠QAP=∠△BAP，故∠QPA=∠BAP，根据内
错角相等，两直线平行得出QP//AR；连接RS，与AP交于点D，利用SAS判断出△ARD≌△ASD，根
据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，从而得出AP垂直平分
RS；在Rt BRP和Rt QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件故判定不出它们全等。
三、作图△题： △21．已知： 及边 上一点 ．求作： ，使得 ＝ ．
要求：
（1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
（2）请你写出作图的依据．
【答案】（1）解：作图如下，
∠OCD就是所求作的图形.
（2）作图依据是SSS.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【分析】（1）利用作一个角定语已知角的作法，作出符合题意的∠OCD即可.
（2）利用作图可知，利用SSS.
四、解答题：
22．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA．求证：
∠DEC=∠BEC。【答案】证明：在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC=CD，在
△DCE和△BCE中， ∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC=∠BEC.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法ASA，得到△ACD≌△ACB，得到对应边相等BC=CD，
再由ASA得到△DCE≌△BCE，得到对应角相等∠DEC=∠BEC.
23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：
AB=AC．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵BD=CD，
∴Rt BDE≌Rt CDF，
∴∠△B=∠C， △
∴AB=AC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质定理可
得DE=DF，再利用HL证明Rt BDE≌Rt CDF，即可得∠B=∠C，由等腰三角形的判定定理即可证
得AB=AC. △ △
24．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．【答案】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．
∴∠ABD=∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，EC=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=EC+ED．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明
△ABD≌△CAE．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面积等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S =S +S ，
ACB ACD ADB
△ △ △
∴S = AC•CD+ AB•DE，
ACB
△
又∵AC=8，AB=10，
∴24= ×8×CD+ AB•DE
∴DE= ；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有
∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S =S +S 即可求得DE．
ACB ACD ADB
△ △ △
（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．
26．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE
相交于点F.
（1）求∠EFD的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴∠FAC= ∠BAC=15°，∠FCA= ∠ACB=45°
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°；
（2）解：FE与FD之间的数量关系为FE=FD；
证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD
又∵AF为公共边
在△EAF和△GAF中
∵AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=60°，
又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°
在△FDC和△FGC中
∵∠DFC＝∠GFC，FC＝FC，∠FCG＝∠FCD，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD
∴FE=FD．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，然后根据角的平分线定义可得
∠FAC和∠FCA的度数，最后根据三角形的内角和计算即可；
（2）先根据SAS证明△AEF≌△AGF，然后根据ASA证明△CFG≌△CFD即可解答.
27．观察、猜想、探究：
在 中， ．
（1）如图 ，当 ，AD为 的角平分线时，求证： ；（2）如图 ，当 ，AD为 的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的
数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图 ，当AD为 的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请
写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】（1）证明：过D作 ，交AB于点E，如图1所示，
为 的平分线， ， ， ，在 和 中，
，
≌ ，
， ，
， ，
又 ，
，
，
则
（2）解： ，理由为：在AB上截取 ，如图2所示，为 的平分线， ， 在 和
中， ，
≌ ，
， ，
， ，又 ， ，
，
则
（3）解： ，理由为：在AF上截取 ，如图3所示，
为 的平分线，
，
在 和 中， ，≌ ，
， ，即 ，
， ，又 ， ，
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）过D作 DE ⊥ AB ，交AB于点E，如图1所示，根据角平分线上的点到角两
边的距离相等得出DE = DC ，然后利用HL判断出Rt ACD ≌ Rt AED，根据全等三角形的对应边
相等，对应角相等得出AC = AE ， ∠ ACB = ∠ AE△D ，根据等量△代换及三角形外角的定理得出∠
B = ∠ EDB 根据等角对等边得出BE=DE=DC ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）AB=CD+AC ，理由为：根据角平分线的定义得出∠GAD=∠CAD ，然后由SAS判断出
△ADG≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出CD=DG ， ∠AGD=∠ACB ，根
据等量代换及三角形外角的定理得出∠ B = ∠ EDB 根据等角对等边得出BE=DE=DC ，根据线段
的和差及等量代换即可得出结论；
（3） AB=CD−AC ，理由为：在AF上截取 AG = AC ，如图3所示，根据角平分线的定义得出
∠GAD=∠CAD ，然后由SAS判断出△ADG ≌△ACD，根据全等三角形的性质得出CD=GD ，
∠AGD=∠ACD ，即 ∠ACB=∠FGD ，根据等量代换及三角形外角的定理得出∠ B = ∠ GDB 根
据等角对等边得出BG=DG=DC ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论.
