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第 02 讲 三角形全等的判定
知识点1：三角形全等的判定-SSS
知识点2：三角形全等的判定-SSS
知识点3：三角形全等的判定-ASA
知识点4：三角形全等的判定-AAS
知识点5：三角形全等的判定-HL
1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或
“SSS”）。
（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。【题型1：三角形全等的判定-SSS】
【典例1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，
AD=CF，AB=DE，BC=EF．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△≝¿；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=60°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得
结论．
【详解】（1）∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC,
∴AC=DF
在△ABC与△≝¿中
{AC=DF
)
AB=DE
BC=EF
∴△ABC≌△≝¿
（2）∵△ABC≌△≝¿
∴∠F=∠ACB
∵∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−50°−70°=60°
∴∠F=60°
【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的
关键．
由SSS即可证明即可．
【详解】证明：在△ABC和△ADE中，
{AB=AD
)
BC=DE
AC=AE
∴△ABC≌△≝(SSS)．
【变式2】（2024九年级下·云南·学业考试）如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，
AB=CD，EC=FB，AE=DF．求证：△AEC≌△DFB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先由
AB=CD得出AC=DB，结合EC=FB，AE=DF，可通过SSS证明△AEC≌△DFB，
即可作答．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
∵EC=FB，AE=DF，
∴△AEC≌△DFB(SSS)．
【变式3】（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．
开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架
的示意图，其中AB=AC，BD=CD．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)小华发现AD平分∠BAC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正确，见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）利用SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）证明：在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
)
AD=AD ，
BD=CD
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
（2）解：正确，理由：
由（1）得△ABD≌△ACD，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
即AD平分∠BAC，
所以小华的发现是正确的．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或
“SAS”）。【题型2：三角形全等的判定-SAS】
【典例2】（2025·云南·模拟预测）如图，在△ABC和△≝¿中，点A，E，B，D在同一直
线上，BC∥EF，BC=EF，AE=BD．求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AE=BD，可得AB=DE，再由
BC∥EF，可得∠ABC=∠≝¿，再由边角边可证得△ABC≌△≝¿，即可求解．
【详解】证明：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠≝¿，
∵AE=BD，
∴AE+BE=BD+BE，即AB=DE，
在△ABC和△≝¿中，
{ BC=EF )
，
∠ABC=∠≝¿AB=DE
∴△ABC≌△≝(SAS)．
【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，
AC=DF，AC∥DF，BF=EC．求证：△ABC≌△≝¿．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明BC=EF，再由
平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，据此根据SAS即可证明△ABC≌△≝¿．
【详解】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF，
∵AC∥FD，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△≝¿中，
{
AC=DF
)
∠ACB=∠DFE
BC=EF
∴△ABC≌DEF(SAS)．
【变式2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC和△≝¿中，AB=DE，
BE=CF，∠ABC=∠≝¿（点B，E，C，F在同一条直线上）．求证：
△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题
的关键．根据“SAS”判定即可．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，{ AB=DE )
，
∠ABC=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△≝(SAS)．
【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知AB=AD，AC=AE，AB⊥AD，
AC⊥AE，求证：△ABC≌△ADE
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到
∠BAD=∠CAE=90°，则可证明∠BAC=∠DAE，再利用SAS即可证明
△ABC≌△ADE．
【详解】证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA”）。【题型3：三角形全等的判定-ASA】
【典例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点
F，AF=BC．
(1)求证：△AEF≌△CEB；
(2)若BE=4，CF=5，求AE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）先通过导角证明∠BCE=∠FAE，再根据“边边角”证明△AEF≌△CEB；
（2）根据全等三角形对应边相等，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ AD，CE是△ABC的两条高，
∴ ∠BDA=90°，∠AEF=∠CEB=90°，
∴ ∠B+∠FAE=90°，∠B+∠BCE=90°，
∴ ∠BCE=∠FAE，
在△AEF和△CEB中，
{
∠FAE=∠BCE
)
∠AEF=∠CEB=90° ，
AF=CB
∴ △AEF≌△CEB(AAS)；
（2）解：∵ △AEF≌△CEB，BE=4，CF=5，
∴ FE=BE=4，AE=CE，
∴ CE=CF+FE=5+4=9，
∴ AE=CE=9．
【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，CA=CD，∠1=∠2，
∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEC．【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法根据三角形全等的判定，由已知先证
∠ACB=∠DCE，再根据ASA可证△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ACE=∠2+∠ACE．
∴ ∠ACB=∠DCE，
在△ABC与△DEC中
{∠ACB=∠DCE
)
CA=CD ，
∠A=∠D
∴ △ABC≌△DEC (ASA)．
【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，AB∥FC，E是DF的中点．
(1)请说明：△ADE≌△CFE；
(2)若AB=15，CF=8，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD=7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解题的关键．
（1）根据题意可得到∠A=∠ECF，AE=CE，从而利用ASA即可证得
△ADE≌△CFE；
（2）利用（1）中△ADE≌△CFE，得到CF=AD，再利用BD=AB−AD，代入即
可求得BD的长．
【详解】（1）解：∵AB∥FC，E是DF的中点．
∴∠A=∠ECF，AE=CE，在△ADE与△CFE中，
{
∠A=∠ECF
)
AE=CE
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE(ASA)．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，
∵AB=15，CF=8，
∴BD=AB−AD=AB−CF=15−8=7．
【变式3】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边
上，∠C=∠F，AC=AF，∠CAF=∠BAE，EF与AC交于点G．
(1)试说明：△ABC≌△AEF；
(2)若∠B=55°，∠C=20°，求∠EAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外
角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的
关键．
（1）根据等式的性质得∠BAC=∠EAF，再利用ASA即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC=105°，根据全等三角形的性质可得AB=AE，
再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB=55°，最后三角形内角和以及角的和差
即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，
在△ABC和△AEF中，
∠C=∠F,AC=AF,∠BAC=∠EAF，
∴△ABC≌△AEF(ASA)；（2）解：∵∠B=55°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°−55°−20°=105°，
∵△ABC≌△AEF，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=55°，
∴∠BAE=180°−∠B−∠AEB=70°，
∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=105°−70°=35°．
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角
边"或"AAS"）。
【题型4：三角形全等的判定-AAS】
【典例4】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，△ABC与△≝¿中，B、E、C、F在同
一条直线上，BE=CF，∠A=∠D，AC∥DF，AC=6，求DF的长．
【答案】6
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的
判定与性质是解答的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△≝¿
即可证得结论解答．
【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{∠ACB=∠DFE
)
∠A=∠D
BC=EF
∴△ABC≌△≝¿（AAS），
∴DF=AC=6．
【变式1】（2025·云南·中考真题）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD,∠C=∠D．
求证：△AOC≌△BOD．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用AAS证明△AOC≌△BOD即可．
【详解】证明；在△AOC和△BOD中，
{
∠C=∠D
)
∠AOC=∠BOD ，
AC=BD
∴△AOC≌△BOD(AAS)．
【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在△BAC与△EDF中，BC与EF在同
一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=EC．求证：△BAC≌△EDF．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，由BF=EC，得BF+FC=EC+FC，
即有BC=EF，然后由“AAS”即可求证，掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
【详解】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，
在△BAC和△EDF中，
{∠A=∠D
)
∠B=∠E ，
BC=EF
∴△BAC≌△EDF(AAS)．
【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知B，E，C，F在一条直线上，
BE=CF,AC∥DE,∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF=30,EC=10，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解
题的关键．
（1）由AAS可证△ABC≌△DFE；
（2）由线段的和差关系可求解．
【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠≝¿，
在△ABC和△DFE中，
{ ∠A=∠D )
，
∠ACB=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DFE(AAS)；
（2）∵BF=30,EC=10，BE=CF，BE+CF+EC=BF，
30−10
∴BE=CF= =10．
2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角
边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上
“Rt”。
【题型5：三角形全等的判定-HL】
【典例5】（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，△ABC与△DBC中，AB=DB，
∠A=∠D=90°．
(1)求证：△ABC≌△DBC；
(2)当∠BCD=55°时，求∠ABD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）根据证明全等的方法，在直角三角形里，先考虑用HL即可解决问题；
（2）先根据直角三角形中两个锐角互余可得∠DBC=35°，再由（1）的全等可得到
∠ABC=∠DBC=35°，即可求出答案．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DBC中，
{BC=BC)
，
AB=DB∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）．
（2）解：∵∠D=90°，∠BCD=55°，
∴∠DBC=90°−∠BCD=90°−55°=35°，
由（1）得Rt△ABC≌Rt△DBC，
∴∠ABC=∠DBC=35°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°
【点睛】本题主要考查了三角形的全等的判定和性质，角度的计算，直角三角形中两
个锐角互余等知识点，解决此题的关键是熟练掌握证明全等的方法．
【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，
BF=EC，求证：AC=DF．
【答案】证明过程见解析
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性
质是解题的关键．
利用“斜边、直角边”判定Rt△ABC和Rt△≝¿全等，根据三角形全等的性质即可证
得结论．
【详解】证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF．
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△≝¿是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
{BC=EF)
，
AB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△≝¿．
∴AC=DF．
【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在△ABC和△DAE中，点E在AB
边上，∠C=∠AED=90°，AC=DE，AB= DA，求证：△ABC≌△DAE．【答案】证明见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS及HL，熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．直接利用HL证明即可．
{AB=AD)
【详解】证明：在Rt△ACB和Rt△AED中， ，
AC=DE
∴△ACB≌△AED(HL)．
【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上
一点，AD=BD，BE=AC，求证：
(1)∠1=∠C．
(2)BE⊥AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明
三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直．
（1）先根据AD是△ABC的高，得出∠ADB=∠ADC=90°，再根据AD=BD，
DE=DC得出Rt△ADC≌Rt△BDE，即可证出∠1=∠C．
（2）如图，延长BE与AC交于点M，由（1）可知Rt△ADC≌Rt△BDE，得出
∠1=∠C，再根据对顶角∠1=∠AEM，得到∠AEM=∠C，得出
∠AEM+∠CAD=90°，从而得出∠AME=90°，即可证出BE⊥AC．
【详解】（1）证明：∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDE中，{AC=BE)
，
AD=BD
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)，
∴∠1=∠C；
（2）如图，延长BE与AC交于点M，
∵∠1=∠AEM ∠1=∠C
， ，
∴∠AEM=∠C，
又∵∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠AEM+∠CAD=90°，
∴∠AME=180°−(∠AEM+∠CAD)=90°，
∴BE⊥AC．
【题型6：添加条件使三角形全等】
【典例6】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，AC, BD相交于点O，且
∠ACB=∠DBC，添加下列条件，仍无法判定△ABO≌△DCO的是（ ）
A．∠ABO=∠DCO B．∠A=∠D C．AB=CD D．
AC=BD
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，掌
握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵∠ACB=∠DBC，∠ABO=∠DCO，
∴∠ABC=∠DCB，又∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB(ASA)，
∴AB=DC，
又∵∠AOB=∠DOC，∠ABO=∠DCO，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，故选项不符合题意；
B、∵∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB(AAS)，
∴AB=DC，
又∵∠AOB=∠DOC，∠A=∠D，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，故选项不符合题意；
C、∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
又∵AB=CD，
∴不能判定△ABO≌△DCO，故选项符合题意；
D、∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO(SAS)，故选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知BC=AD，添加下列条件还
不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠C=∠D
C．∠CAB=∠DBA D．∠ABC=∠BAD
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问
题的关键．利用BC=AD，加上公共边AB，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即
可；
【详解】解：∵BC=AD，AB=BA，
∴当添加AC=BD时，可根据“SSS”证明△ABC≌△BAD，故A选项符合题意；
当添加∠C=∠D时，
∵∠AOD=∠BOC，BC=AD，∴△AOD≌△BOC(AAS)，
∴OD=OC，OA=OB，
∴AO+OC=BO+OD，即AC=BD，
进而可用“SAS” 证明△ABC≌△BAD，故B选项不符合题意；
当添加∠CAB=∠DBA时，不能证明△ABC≌△BAD，故C选项符合题意；
当添加∠ABC=∠BAD时，可根据“SAS” 证明△ABC≌△BAD，故D选项不符合
题意；
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，AB平分∠CAD，下列添加的一
个条件不能使得△ABC≌△ABD（要求：不添加辅助线）的是（ ）
A．AC=AD B．∠ABC=∠ABD
C．∠C=∠D D．BC=BD
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，
全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．根据全等三角形的判定方法，
进行解答即可．
【详解】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，
添加条件AC=AD，加上条件∠CAB=∠DAB，AB=AB，可以利用SAS可证明
△ABC≌△ABD，故A不符合题意；
添加条件∠ABC=∠ABD，加上条件∠CAB=∠DAB，AB=AB，可以利用ASA证
明△ABC≌△ABD，故B不符合题意；
添加条件∠C=∠D，加上条件∠CAB=∠DAB，AB=AB，可以利用AAS可证明
△ABC≌△ABD，故C不符合题意；
添加条件BC=BD，加上条件∠CAB=∠DAB，AB=AB，利用SSA不可证明
△ABC≌△ABD，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF，
AB=DE，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出△ACB≌△DFE的是
（ ）
A．AC=DF B．∠ACB=∠DFE=90°
C．∠B=∠≝¿ D．∠A=∠D
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先根据已知条件可知AB=DE，BC=EF，
再选择全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF．
可知AB=DE，BC=EF．
添加AC=DF时，则△ACB≌△DFE(SSS)，所以选项A不符合题意；
添加∠ACB=∠DFE=90°，则Rt△ACB≌△DFE(HL)，所以选项B不符合题意；
添加∠B=∠≝¿时，则△ACB≌△DFE(SAS)，所以选项C不符合题意；
添加∠A=∠D时，由SSA不能判断△ACB≌△DFE，所以选项D符合题意．
故选：D．【题型7：全等三角形判定和性质综合】
【典例7】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，
D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
(1)求证：AB=CD；
(2)若AB=CF，∠B=40°，求∠D的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的
应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△DCF是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE ≌ △DCF，根据全
等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出
∠D=∠CFD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
¿，
∴△ABE ≌ △DCF(AAS)，
∴AB=CD；
（2）解：∵△ABE ≌ △DCF，
∴AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，
∵∠B=40°，
∵AB=CF，
∴CF=CD，
1
∴∠D=∠CFD= (180°−40°)=70°.
2
【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，连接DE，EC，DE=EC．
求证：
(1)Rt△ADE≌Rt△BEC．
(2)DE⊥CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可．
（2）根据全等三角形的性质得∠ADE=∠BEC，然后求出∠DEC=90°即可．
【详解】（1）解：∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形．
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
{DE=EC)
，
AE=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．
（2）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°−90°=90°，
∴DE⊥CE．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知：∠D=∠B，AD∥BC，
AE=CF．(1)求证：△ADF≌△CBE
(2)若AC=20,CE=17，求EF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形
的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先由平行线的性质得到∠A=∠C，再证明AF=CE，据此可利用AAS证明
△ADF≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可得AF=CE=17，再求出CF的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵∠D=∠B，
∴△ADF≌△CBE(AAS)；
（2）解：∵△ADF≌△CBE，
∴AF=CE=17，
∴CF=AC−AF=3，
∴EF=CE−CF=14．
【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若
BD=CD，BE=CF．
(1)求证：DE=DF；
(2)已知AC=14，BE=2，求AB的长．【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理
有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出
Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF；
（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，由线段的和差关系求出答案．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF；
（2）解：∵AC=14，BE=2，BE=CF，
∴AF=AC−FC=AC−BE=12，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{DE=DF)
，
AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF=12，
∴AB=AE−BE=10．
一、单选题
1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC与△EBF中，若AB=BE，
BC=BF，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）A．∠CBA=∠ABF B．∠A=∠E
C．∠C=∠F D．∠ABE=∠CBF
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，
必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据所给条件可知，应加已知边的夹角或第三组边相等才可证明这两个三角形全等．
【详解】解：A、加上∠CBA=∠ABF，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符
合题意；
B、加上∠A=∠E，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C、加上∠C=∠F，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
D、加上∠ABE=∠CBF可得∠ABF+∠ABE=∠ABF+∠CBF，即
∠EBF=∠ABC，根据SAS能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知
∠BAC=∠DCA，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．∠BCA=∠DAC B．AB=CD
C．∠B=∠D D．BC=DA
【答案】D
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断
即可．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．【详解】解：∵∠BAC=∠DCA，AC=CA，
∴当∠BCA=∠DAC时，△ABC≌△CDA(ASA)；故A选项不符合题意；
当AB=CD时，△ABC≌△CDA(SAS)；故B选项不符合题意；
当∠B=∠D时，△ABC≌△CDA(AAS)；故C选项不符合题意；
当BC=DA，无法得到△ABC≌△CDA；故D选项符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，∠C=∠D=90°，要用“HL”证明
Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．AB平分∠CAD B．AC=BD
C．BC=BD D．AD=BC
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三
角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．由于斜边AB为公共边，则添加
一组直角边对应相等即可．
【详解】解：∵AB=AB，
∴当添加AC=AD或BC=BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河南商丘·期中）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现
要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任
一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的
玻璃．应带③去．
故选C．
5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知∠AOB与∠EO′F（∠AOB>∠EO′F
），分别以点O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交
O′E，O′F于点E′，F′．以点B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧
A′B′于点H．下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB=2∠EO′F B．∠AOH=∠EO′F
C．∠AOH=∠BOH D．∠HOB=∠EO′F
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知
角的步骤是解题的关键．根据尺规作图的步骤即可解答．
【详解】解：根据作图可知，∠HOB=∠EO′F．
故选：D．
6．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，
BC=DC，∠B=110°，则∠D=（ ）
A．60° B．70° C．110° D．120°
【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定定理得出
△ADC≌△ABC，根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，代入求出即可．
【详解】解：在△ADC和△ABC中，
{AD=AB
)
AC=AC ，
CD=CB
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠D=∠B，
∵∠B=110°，
∴∠D=110°．
故选：C．
7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，AB=AC,D,E分别是AC,AB的中点，连接
BD,CE交于点O．不添加辅助线，判断△ABD≌△ACE的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AA D．ASA
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟练掌握知识点是解题的关键．
由线段中点的意义结合AB=AC得到AE=AD，而夹角相等，故由SAS可证明
△ABD≌△ACE．
【详解】解：∵AB=AC,D,E分别是AC,AB的中点，
1 1
∴AE= AB,AD= AC，
2 2
∴AE=AD，
∵∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
故选：B．
8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，∠1
与∠2的和为（ ）A．45° B．60° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格可推出△GFB≌△DEC，据
此即可求解；
【详解】解：由网格可知：GF=DE,BF=CE,∠GFB=∠DEC=90°
∴△GFB≌△DEC
∴∠2=∠CDE
∴∠1+∠2=∠1+∠CDE=90°
故选：C
9．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构
造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】本题考查了作图−作角．利用作图痕迹得到OD=OC=OD′=OC′，
CD=C′D′，则根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC，从而得到
∠AOB=∠A′OB′．
【详解】解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC，∴∠AOB=∠A′OB′．
故选：A．
二、填空题
10．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD
边上一点，且DE=DC，AC=BE，若BD=4，则AD= ．
【答案】4
【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明
Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)是解题的关键．
由AD是BC边上的高，推导出∠ADC=∠BDE=90°，AC=BE，DC=DE
，即可证明Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)，则AD=BD=4，于是得到问题的答案．
【详解】∵在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDE中，
{AC=BE)
，
DC=DE
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)，
∴AD=BD=4．
故答案为：4．
三、解答题
11．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，
∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED．【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判
定方法是解题的关键．先利用三角形内角和定理得出∠BEO=∠2，再证明
∠1=∠BEO，即可得∠AEC=∠BED．最后利用“角边角”即可判定．
【详解】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠AED=∠AED+∠BEO，
即∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
{
∠A=∠B
)
AE=BE ，
∠AEC=∠BED
∴△AEC≌△BED(ASA)．
12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，AD是△ABC的中线，∠BAD=∠CAD，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用AAS证明△ADE≌△ADF，得
到DF=DE，再利用HL即可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°，
在△ADE和△ADF中，
{∠AED=∠AFD
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴DF=DE，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
{DE=DF)
，
BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
13．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，
AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若BF=4,FC=3，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)11
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形
全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到∠B=∠E，再由“AAS”直接证明即可；
（2）由△ABC≌△≝¿，BC=EF，再由线段和差即可得到BF=CE，最后由
BE=BF+FC+CE即可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵AC=DF,∠A=∠D，
∴△ABC≌△≝(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△≝¿，
∴BC=EF，
∴BF+FC=CE+FC，
∵BF=4,FC=3，
∴3+4=CE+3，
∴CE=4，
∴BE=BF+FC+CE=4+3+4=11．
