文档内容
第 02 讲 三角形中的中位线
【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】
【题型2三角形中位线与三角形面积问题】
【题型3与三角形中位线有关的证明】
【题型4 三角形中位线的实际应用】
考点：三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】
【典例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，△ABC中，∠BAD=∠CAD，
3
BE=CE，AD⊥BD，DE= ，AB=4，则AC的值为（ ）
2
13
A．6 B． C．7 D．8
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长BD交
AC于F，可证得△ABD≌△AFD，得到AF=AB=4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果．
【详解】解：如图，延长BD交AC于F，
∵AD⊥BD
，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
在△ABD和△AFD中，
¿，
∴△ABD≌△AFD(ASA)，
∴BD=DF，AF=AB=4，
∵BE=CE，
∴DE是△BCF的中位线，
∴CF=2DE=3，
∴AC=AF+CF=4+3=7，
故选：C．
【变式1-1】（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，DE是△ABC的中位线，若△ABC
的周长为14，则△ADE的周长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得△ADE的周长为△ABC的周长的一半，即可求解．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
1 1 1
∴DE= BC,AD= AB,AE= AC，
2 2 2
1 1
∴△ADE的周长为AD+DE+AE= (AB+BC+AC)= ×14=7；
2 2
故答案为：7．【变式1-2】（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的
平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=9则BG的长为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质
1
求出DE∥BC，EC= AC=6，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=EC=6，再
2
求出DF的长，最后可得答案．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥BC，EC= AC=6，
2
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠GCF=∠ACF，
∵DE∥BC，
∴∠GCF=∠EFC，
∴∠ACF=∠EFC，
1
∴EF=EC= AC=6，
2
∴DF=DE−EF=9−6=3，
∴BG=2DF=6，
故选：A．
【变式1-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形ABC中，D，
E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△≝¿的周长是 ．【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是
1 1 1
解题的关键．根据三角形中位线定理得到EF= AB，DE= AC，DF= BC，
2 2 2
根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
1 1 1
∴EF= AB，DE= AC，DF= BC
2 2 2
∵△ABC是周长为2的三角形，
∴AB+AC+BC=2，
1
∴△≝¿的周长=EF+DE+DF= (AB+AC+BC)=1，
2
故答案为1．
【题型2三角形中位线与三角形面积问题】
【典例2】（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、
AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴
影部分△ADG的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间
的距离和三角形面积公式得到S ADG=S EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面
△ △积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S ADG=S EDG，
△ △
∵E点为AC的中点，
1 1
∴S BCE= S ABC= ×40=20，
2 2
△ △
∵D点为BC的中点，
1 1
∴S BDE= S EBC= ×20=10，
2 2
△ △
∵G点为BE的中点，
1 1
∴S EDG= S BDE= ×10=5．
2 2
△ △
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即
1
S= ×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性
2
质．
【变式2-1】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，
G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是9 1
【答案】4.5/ /4
2 2
【分析】先根据等底同高可得S =1.5，S =1.5，S =6再根据三角形中位
△AEF △AEG △BCE
1
线定理可得S = S =1.5，然后根据S =S +S +S 即可得．
△FGE 4 △BCE △AFG △AEF △AEG △FGE
【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D是BC的中点，
1 1
∴由等底同高得：S =S = S = ×12=6，
△ABD △ACD 2 △ABC 2
1
同理可得：S =S = S =3，
△ABE △DBE 2 △ABD
1
S =S = S =3，
△ACE △DCE 2 △ACD
1
S =S = S =1.5，
△AEF △ABF 2 △ABE
1
S =S = S =1.5，
△AEG △ACG 2 △ACE
∴S =S +S =6，
△BCE △DBE △DCE
∵点F是BE的中点，点G是CE的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
1
∴S = S =1.5，
△FGE 4 △BCE
则S =S +S +S =1.5+1.5+1.5=4.5．
△AFG △AEF △AEG △FGE
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中
位线定理求出△FGE的面积，是解题关键．
【变式2-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC
的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，F△D．若 ABC的面积为18 cm❑ 2，
则 DEF的面积是 cm❑ 2 △
△9 1
【答案】4.5/ /4
2 2
【分析】连接BE，根据 ABC的面积求出 AEB的面积，进而求出 DEB的面积，根
据三角形中位线定理得到△DE∥BC，得到 △DEF的面积＝ DEB的面△积，得出答案．
【详解】解：连接BE， △ △
∵点E是AC的中点， ABC的面积的为18 cm❑ 2，
1 △
∴△AEB的面积= × ABC的面积＝9（cm❑ 2），
2
△
∵点D是AB的中点，
1
∴△DEB的面积= × AEB的面积＝4.5（cm❑ 2），
2
△
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF的面积＝ DEB的面积＝4.5（cm❑ 2），
故答案为：4.5． △
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三
角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式2-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、
AC的中点，连接AD、BE，交点为F，若S =12，BF=8，则点D到BF的距离
△AEF
为 ．【答案】3
【分析】过点D作DG⊥BF，垂足为G，连接DE，由D、E分别为BC、AC的中点，
得出DE是△ABC的中位线，然后得出S =S ，继而得出S =S ，得出
△ADE △BED △AEF △BDF
1
S = BF⋅DG=12，代入数据求解即可．
△BDF 2
【详解】解：过点D作DG⊥BF，垂足为G，连接DE，
∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴S =S ，
△ADE △BED
∴S −S ，
△ADE △≝¿=S ❑ −S ¿
△ BED △≝¿¿
∴S =S ，
△AEF △BDF
∵S =12，
△AEF
1
∴S = BF⋅DG=12，
△BDF 2
∵BF=8，
∴DG=3，
即点D到BF的距离为3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了中位线定理，根据题意得出S =S 是解本题的关键．
△AEF △BDF
【题型3与三角形中位线有关的证明】
【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在△ABC中，点D在BC上，且
DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD=2EF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点E
是AD的中点，结合点F是AB的中点可得EF是△ABD的中位线，据此即可求证．
【详解】证明：∵DC=AC，CE⊥AD
∴点E是AD的中点．
∵点F是AB的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF
【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，
M、N分别是AD、BC的中点，延长BA与NM、CD分别交于点E、F．求证：
∠BEN=∠NFC．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三
边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键．取AC中点G，连接NG，MG，根据三角形中位线定理可得到
1 1
NG∥AB，MG∥CD，NG= AB，MG= CD，由平行线的性质可得
2 2
∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，从而可推出△GMN为等腰三角形，从而证
得∠BEN=∠CFN．
【详解】证明：连接AC，取AC中点G，连接NG，MG，
∵点M，N分别是边AD，BC的中点，
1 1
∴NG∥AB，MG∥CD，NG= AB，MG= CD，
2 2
∴∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，
∵AB=CD，
∴NG=MG，
∴∠MNG=∠GMN，
∴∠BEN=∠CFN．
【变式3-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、
BD交于点O，E，F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线性质定理，取AD的中点G，连接EG，FG，构
造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．解题的关键是构造三角
形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．【详解】证明：如图所示，取AD的中点G，连接EG，FG，
∵G F AD CD
、 分别为 、 的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
1
∴GF= AC，GF∥AC，
2
1
同理可得，¿= BD，¿∥BD，
2
∵AC=BD，
1 1
∴GF=≥= AC= BD．
2 2
∴∠GFN=∠GEM，
又∵EG∥OM，FG∥ON，
∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，
∴OM=ON．
【题型4 三角形中位线的实际应用】
【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为
支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=40cm，则B，C两点的
距离为（ ）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质2等知识点，熟练掌握
三角形的中位线定理是解题的关键．利用三角形的中位线定理即可直接得出答案．
【详解】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
1
∴DE= BC，
2
∴BC=2DE=2×40cm=80cm，
故选：D．
【变式4-1】（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外
选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离
为20m，则A，B两点间的距离为 m．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，
并且等于第三边的一半”，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的
中位线定理求解即可得．
【详解】解：∵在△ABC中，点D,E分别为AC，BC的中点，且DE=20m，
∴AC=2DE=40m，
故答案为：40．
【变式4-2】（2015·云南昆明·二模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连
接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，
B两点间的距离为 m．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出DE是△ABC的中位线，1
再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE= AB即可解答，
2
掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵D，E两点分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB，
2
∵DE=20m，
∴AB=40m，
故答案为：40
【变式4-3】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运
动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在
东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，
故无法测量线段MN的长，于是贝贝在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满
足OP=ON，OQ=OM，贝贝测得线段PQ=90米，则A，B两点间的距离是（ ）
米．
A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中
位线等于第三边的一半是解题的关键．证明△OMN≌△OQP，根据全等三角形的性质
求出MN，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：在△OMN和△OQP中，
{
ON=OP
)
∠MON=∠QOP ，
OM=OQ
∴△OMN≌△OQP(SAS)，
∴MN=PQ=90米，
∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=180米，
故选：D．
一、单选题
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，D，E分别
是AC，BC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，则DF=（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线和角平分线．熟练掌握三角形中位线的判定和性质，
角平分线性质；等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据中点性质得到，BE=4，根据△ABC的中位线性质得到，DE∥AB，DE=5，得
到∠BFE=∠ABF，根据角平分线定义得到∠ABF=∠EBF，得到∠BFE=∠EBF，
得到EF=BE=4，即得DF=1．
【详解】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
1 1
∴BE= BC=4，DE∥AB，DE= AB=5，
2 2
∴∠BFE=∠ABF．
∵∠ABC的平分线交DE于点F，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠BFE=∠EBF，
∴EF=BE=4，
∴DF=DE−EF=1．
故选：B．
2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,F为BC的四等分点，E为OC的中点．若EF=3，则AB的长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题
的关键．根据平行四边形得到O为AC的中点，继而得到EF为△COH的中位线，OH
为△CAB的中位线，即可求解．
【详解】解：取BC的中点H，连接OH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC的中点，
∵点F为BC的四等分点，BC的中点H，
∴点F为HC的中点，
∵E为OC的中点，
∴OH=2EF=6，
∵BC的中点H，O为AC的中点，
∴AB=2OH=12，
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，点D，
点E分别是BC,AB边上的动点，连结DE，点F，点M 分别是CD,DE的中点，则
FM的最小值为（ ）12 9 5
A． B． C．3 D．
5 5 2
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出CE的
最小值是解题的关键．过点B作BH⊥AC于H，连接CE；当CE取最小值时，FM的
值最小，由垂线段最短可知，当CE⊥AB于点E时，CE的值最小，利用等腰三角形三
线合一的性质求出BH的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，连接CE；
∵F，M分别是CD,DE的中点，
1
∴FM= CE，
2
当CE取最小值时，FM的值最小，
由垂线段最短可知，当CE⊥AB于点E时，CE的值最小，
在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，
1
∴CH= AC=3，
2
∴BH=❑√BC2−CH2=4，
1 1
∴S = ×6×4=12= ⋅AB⋅CE，
△ABC 2 2
24
∴CE= ，
512
∴FM= ，
5
故选：A．
4．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，
BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN，若AB=5，BC=8，则MN的长为（
）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于
第三边的一半是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到AM=MD，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵BD=AB，AB=5，BM⊥AD，
∴BD=5，AM=MD，
∵BC=8，
∴CD=BC−BD=8−5=3，
∵AM=MD，AN=AC，
∴MN是△ADC的中位线，
1
∴MN= DC=1.5．
2
故选：C．
5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，M为CB边上一点，且BM=2CM，N为AM的中点，连接ON，ON=1，
若AM平分∠BAD，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．18 B．24 C．20 D．22
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，
根据平行线性质得到AO=CO,AB=CD,AD=BC，AD∥BC，证明ON是△AMC
的中位线，则CM=2ON=2,由BM=2CM得到BM=2CM=4，BC=BM+CM=6，
证明∠AMB=∠BAM，则AB=BM=4,即可得到答案.
【详解】解：∵平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO=CO,AB=CD,AD=BC，AD∥BC
∵N为AM的中点，
∴ON是△AMC的中位线，
∴CM=2ON=2,
∵BM=2CM，
∴BM=2CM=4，BC=BM+CM=6
∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM=∠DAM
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠DAM，
∴∠AMB=∠BAM，
∴AB=BM=4,
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+6)=20，
故选：C
6．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，点D、E分别是边
AC、BC的中点，连接BD、ED，若∠C=65°，则∠BDE的度数是（ ）
A．24° B．25° C．30° D．35°
【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知
识，由等边对等角的性质，得到∠A=65°，进而得到∠ABC=50°，根据三角形中
1
位线定理，可得DE∥AB，DE= AB，从而推出∠DBE=∠BDE=∠ABD，即
2
可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠A=65°，
∴∠ABC=50°，
∵点D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥AB，DE= AB，
2
∴∠ABD=∠BDE，
1
∵BE= BC，AB=BC，
2
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
1
∴∠ABD=∠DBE= ∠ABC=25°，
2
∴∠BDE=25°，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分
∠BAC，E是AB的中点，若AC=7，则DE的长为 ．
【答案】3.5
【分析】本题主要考查了三线合一，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握三线合一是解题的关键：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
由三线合一可得D是BC的中点，再根据三角形的中位线定理即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AC=7，
1
∴DE= AC=3.5，
2
故答案为：3.5．
8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，
可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得
DE=60米，则AB的长是 米．
【答案】120
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，
1
根据题意可知DE是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质得出DE= AB，
2
进而得出答案即可．
【详解】解：∵点D，E分别是AC,BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB．
2
∵DE=60米，
∴AB=120米．
故答案为：120．
9.（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线
与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足
为G，若DG=1，则AE的边长为 ．【答案】4❑√3
【分析】由“ASA”可证△ADF≌△ECF，可得AF=EF，由平行线的性质和角平
分线的性质可得AD=DF，由等腰三角形的性质和勾股定理可求AG=GF=❑√3，即
可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=4，AB∥CD，
∴∠ADF=∠ECF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF=CF=2，
又∵∠DFA=∠CFE，
∴△ADF≌△ECF(ASA)，
∴AF=EF，
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF=2，
又∵DG⊥AF，
∴AG=GF，
∵GF=❑√DF2−DG2=❑√22−12=❑√3，
∴AG=GF=❑√3，
∴AF=EF=2❑√3，
∴AE=4❑√3，
故答案为：4❑√3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在Rt△ABC中．∠A=90°，AB=2，AC=3，D，
E，F分别是△ABC各边上的中点，则△≝¿的周长为 ．
5+❑√13
【答案】
2
【分析】首先利用勾股定理求得斜边长，然后利用三角形中位线定理求得答案即可．
本题考查了勾股定理，三角形的中位线定定理，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC中．∠A=90°，AB=2，AC=3，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√22+32=❑√13，
∵D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
1 3 1 1 ❑√13
∴DE= AC= ，EF= AB=1，DF= BC= ，
2 2 2 2 2
3 ❑√13 5+❑√13
∴△≝¿的周长为 +1+ = ，
2 2 2
5+❑√13
故答案为： ．
2
三、解答题
11．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分
线BE，AE交于CD边上的点E．
(1)求证：E为CD的中点；
(2)若点F为AE的中点，连接CF交BE于点G．写出BG与EG间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)BG=3EG，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，AD=BC，则∠DEA=∠BAE，
∠CEB=∠ABE，而∠DAE=∠BAE，∠CBE=∠ABE，所以∠DEA=∠DAE，
∠CBE=∠CEB，则AD=DE，BC=CE，所以DE=CE，则E为CD的中点；
1
（2）取BE的中点H，连接FH，由三角形的中位线定理得FH∥AB，FH= AB，
2
即可证明CD∥FH，CE=FH，推导出∠CEG=∠FHG，则△CEG≌△FHG，得
EG=HG，由EH=2EG，EB=2EH，得EB=4EG，则BG=3EG．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD∥AB，AD=BC，
∴∠DEA=∠BAE，∠CEB=∠ABE，
∵点E在边CD上，且BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DEA=∠DAE，∠CBE=∠CEB，
∴AD=DE，BC=CE，
∴DE=CE，
∴E为CD的中点．
（2）解：BG=3EG，理由如下：
取BE的中点H，连接FH，
∵ F AE
点 为 的中点，
1
∴ FH∥AB，FH= AB，
2
1
∵CD∥AB，CE= CD，且CD=AB，
2
∴ CD∥FH，CE=FH，
∴∠CEG=∠FHG，
在△CEG和△FHG，{∠CEG=∠FHG
)
∠CGE=∠FGH ，
CE=FH
∴△CEG≌△FHG(AAS)，
∴EG=HG，
∴EH=2EG，
∵EB=2EH，
∴EB=4EG，
∴BG=EB−EG，且EB−EG=4EG−EG=3EG，
∴BG=3EG．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全
等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
