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14.2 三角形全等的判定
题型一 用SSS证明三角形全等
1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上， ， ，
，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由 得出 ，再利用 证明
即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】证明：∵ ，∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理 即可解答．
【详解】证明：在 与 中，
∴ ．
3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上， ，且
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： ，
熟练掌握知识点是解题的关键．三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
．
4．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知： ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： ，
熟练掌握知识点是解题的关键．
本题根据 即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
题型二 全等的性质和SSS综合
1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且
．
(1)求证： ；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定，全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
（1）先得到 ，再根据边边边证明全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等，以及平行线的判定即可证明．
【详解】（1）证明： ，
，∵即 ，
∴在 与 中
；
∴
（2）解： ， 理由如下：
，
∵
，
∴
．
∴2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，
，求证： , .
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关
键；
先证明 ，得到 ，进而得出结论.
【详解】证明：∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ， .
3．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ，
．试说明： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，平行线的判定．先得到 ，用 证明 ，
推出 ，再利用平行线的判定定理即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是利用已知条件，依据全等三角形判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形性质和角的关系证明平行．
（1）根据已知边相等的条件，利用“边边边（ ）”判定定理证明 ．
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明 ．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
∴ （ ）；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型三 用SAS证明三角形全等
1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知 ， ， ， 在 上，且 ，求证：
．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由 得
，再由 得到 ，于是可根据“ ”判定 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，，
∴ ．
2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点 ， ， ， 在一条直线上，
， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
先根据 推出 ，再根据 即可证明 ．
【详解】证明： ，
，即 ，
又 ， ，
．
3．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，
， ， ，求证： ．
证明：∵ ，
∴______ ______，
即______ ______
在 和 中，∴ （______）．
【答案】 ； ； ； ； ；
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系
填空即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∴ ，
故答案为： ； ； ； ； ； ．
4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
由 得到 ，根据“ ”即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∴ ．
题型四 全等的性质和SAS综合
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点E在边 上， 与 交于点F， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 ________ ．
【答案】(1)见解析
(2)72
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识；
（1）根据 证明 即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，结合三角形外角的性质可得出 ，最后结合已知即可求
解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为：72．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图， ， ， ， ，B，C，E三点
在同一条直线上．
(1)求证： ；
(2)探究 与 之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
（1）依据 即可证明 ，得到 ，根据八字形结论得到
，得到 ，继而得证；
（2）先证明 ，得到 ，再利用八字形结论得到 ，
继而得到
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
又 ，（2） ，理由如下：
， ，
又 ，
又 ，
又 ，
3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，已知 ， 是 的边 和 上的高， 为 的延
长线上一点， 为 上一点，且 ， ．
(1) ．
(2)请写出 与 的关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判
定方法， ．
（1） 是 的高，得 ，得出 ，这样结
合 ， ，即可由“ ”证得 ；（2）由 可得 ，结合 ，可得： ，
即可得到 ，从而可得 ，由此即可得到 和 的位置关系是互相垂直．
【详解】（1）解：∵ 是 的高，
，
，
，
在 和 中：
，
．
（2）解： ，
理由如下：
，
， ，
，
，
，
即 ，
．
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图， 与 中， ， ，
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识，掌握知识点的
应用是解题的关键．
（ ）由 ，得 ，然后证明 即可；
（ ）设 与 交于点 ，由 ，得 ，然后通过三角形内角和定理和对顶
角相等即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等
1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图， 相交于点O， ， ．求证：
．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得 ，
再由 即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，点 在同一直线上， ， ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到 ，由 得出
，再利用 证明 即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
．3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图， 且 ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到 ，再利用 即可证明
．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点 ， 在线段 上， ， ，
．求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由 ，得到 ，再根据 即可证明
，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合1．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，点 在一条直线上， ，求
证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据 证明 ，得出 ，
再根据线段的和差关系可得结论．
【详解】证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是
关键．根据题意可证 ，得到 ，结合同位角相等，两直线平行即可求解．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图， ， 于 ， 于 ， 、 交于点
，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．先证 ，推
出 ， ，求出 ，证 ，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在 中， 平分 是线段 上
一点， 交直线 于点 ，且 ．
(1)求证: ;
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据“AAS”判定 和 全等即可．
（2）先根据三角形的内角和定理求得 的度数，再根据角平分线的定义求得 的度数，从而根
据 ，进一步求得 的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之
间的关系．
【详解】（1）证明：
在 和 中
（2）
平分题型七 用HL证明三角形全等
1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图， 分别是 、 上的点，M、N分别是
上的点，若 、 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“ ”证明全等
即可．
【详解】证明： 、 ，
在 和 中，
，
2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知 ，垂足分别为E，F，
，求证： ．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出
,即可证出 ,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是
解决此题的关键．【详解】证明： ,
,
又 ,
,即 ,
在 和 中，
,
．
3．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判
定定理有 ， ， ， ， ．
利用 证明 ，即可．
【详解】证明： ，
，
，
和 均为直角三角形．
在 和 中，
，
．
4．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段练习）如图， 交于点 ．求证：
．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据 证明 即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
题型八 全等的性质和HL综合
1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图， 与 相交于点 ， ， 于点 ，
于点 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．连接 ，
证明 即可证明结论．
【详解】证明：如图，连接 ，
， ，
，在 与 中，
，
，
．
2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上， ，
， ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证 ，再证 即可；
（2）根据 可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
和 是直角三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，．
3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在 中， 于点D，E为 上一点，且
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试求△ 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法，
（1）利用 即可证明；
（2）根据 ，可得 ，进而求出 ， ，再根
据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：
在 和 中
（2）解：∵
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图， ， 相交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出 是解题关键．
（1）由 证明 即可；
（2）由全等三角形的性质求出 ，由直角三角形的性质求出 ，即可得出所求．
【详解】（1）证明： ．
和 是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
，
，
．
题型九 添加条件使三角形全等
1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形 中， ，若用“ ”证明
，需添加的条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得 ， ，则只需要
即可用“ ”证明 ，据此求解即可．【详解】解：添加条件 ，证明如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】，
2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知 ，若添加一个条件使 ，则可
添加 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定
理是解题的关键．
【详解】解：添加 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段 与 相交于 点， ，请添加一个
条件 使得 ．（写出一种情况即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可利用直角三角形判定定理 即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，∴在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图， ，只添加一个条件使 ，添加的条件
是 ．（只需添加一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：添加的条件是： ，
理由：在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
题型一 倍长中线模型
1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在 中， 平分 ，E为 的中点，
．求证： ．
【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长 至点 ，使
，证明 ，得到 ，再证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，则： ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在 的中线 的延长线上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的取值范围；(3)若 ，求证： 是直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明 ；
（2）结合（1）根据三角形三边关系即可得 的取值范围；
（3）根据已知线段关系得到 ，利用等边对等角推出 ， ，再利用
三角形内角和求出 即可．
【详解】（1）解：证明： 是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，
，
即 ．
，
的取值范围是 ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
即 是直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判
定与性质、三角形三边关系．
3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值范围．
【答案】
【分析】延长 到 ，使 ,证明两边之和大于 ，两边之差小于 ，证明三角形
全等，得到线段相等，等量代换得 ．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全
等三角形．4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， 为 中 边上的中线 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，（2）
【分析】
（1）延长 至 ，使 ，连接 ，然后再证明 ，根据全等三角形的性质可
得 ，再根据三角形的三边关系可得 ，利用等量代换可得
；
（2）把 ， 代入（1）的结论里，再解不等式即可．
【详解】（1）证明：如图延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 为 中 边上的中线，
∴ ，
在 和 中：
，
∴ ，
∴ （全等三角形的对应边相等），
在 中，由三角形的三边关系可得 ，
即 ；（2）解：∵ ， ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是
解题关键．
题型二 旋转模型
1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知： ， ， ．
(1)如图1当点 在 上， ______．
(2)如图2猜想 与 的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
【答案】(1)
(2) ，理由见解析【分析】（1）由全等可知 ，所以当点 在 上时， 为等腰三角形，依据已知计算即可．
（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．
【详解】（1）解： ，
，
又 ， ，
，
在 中， ，
故答案为： ．
（2）解：如下图所示：过点 作 的边 上的高 ，过点 作 的边 上的高，由作图及
知：
， ， ，
（同角的余角相等），
在 与 中有：
（ ），
，
， ，
， ，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高
相等，从而构造全等证明对应高相等．
2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，请你探究 、 与
之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2， 是正方形， ，当 在 的延长线上， 在 的延长线上时，请你探究
、 与 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1） ，证明见解析（2） ，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等
三角形．
（1）结论： ．将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，然后求出
，利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得
，从而得解；
（2）结论： ，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论： ．理由：如图1，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ， ， ，
∴ ，即： 三点共线，
，
∴ ，
∴ ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
（2）结论： ．
理由：如图2，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ，
同法（1）可得： ，，
又 ，
．
3．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于点D， 于点E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？（请直接写出这个
等量关系，不需要证明）．
【答案】(1)①见详解②见详解
(2) ，证明见详解
(3)
【分析】（1）①由 ，得 ，而 于D， 于E，则
，根据等角的余角相等得到 ，易得 ；②因为
，所以 ， ，即可得到 ；
（2）根据等角的余角相等得到 ，易得 ，得到 ， ，所以
；
（3） 、 、 具有的等量关系为： ；证明的方法与（2）相同．
【详解】（1）证明：①∵ ，
∴ ，
因为 于D， 于E，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
②由①知 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：结论： ．
与（2）同法可得 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中
心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
4．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图， ， ， ，
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可，
（2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证 ADE≌△BCA（ASA）即可．
【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， △
∴∠EAB=∠E =37°，
∵∠DAB=65°，
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°，
（2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°，
∴∠DAE=∠B，
在 ADE与 BCA中，
△ △
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，
会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键．
题型三 垂线模型
1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图， 为等腰直角三角形， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证：
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
2．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线
经过点 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出
△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥ ，CE⊥ ，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．3．（20-21八年级上·四川广安·期末）在 中， ，过点C作直线 ，过点A作
于点M，过点B作 于点N．
（1）如图1，当直线 在 外时，证明： ．
（2）如图2，当直线 经过 内部时，其他条件不变，则 与 之间有怎样的数量关系？
请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据题目条件可以证明 ，然后根据全等的性质就可以证得结论；
（2）依然是证明 ，再根据全等对应边相等即可得出结论；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解： ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决
本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 三点在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)当 满足__________时， ？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的
判定方法，证明 ．
（1）根据 证明 ，得出 ，即可证明 ；
（2）根据 ，得出 ，根据三角形全等的性质即可得出 ，得出
，根据平行线的判定得出 ．
【详解】（1）证明：在 和 中，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：当 时， ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
题型四 证明线段的和差问题
1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， 与
的平分线 ， 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截
长或补短”的方法．
（1）利用三角形的内角和求出 的度数，再利用角平分线得到 、 的大小，最后求出外
角 的度数；
（2）在 上 ，构造 ，再利用条件证明 ，从而得到 解题．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ 与 的平分线 ， 交于点
∴ , ，
∵ 是 的外角，
∴ ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边 ，
上，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立， ，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键．
（1）延长 至点 ，使 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明；
（2）在 上截取 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明．
【详解】（1）证明：如图，延长 至点 ，使 ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，在 上截取 ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ．3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图， 为等腰直角三角形， ，直线 经过点A且
绕点A在 所在平面内转动，作 ， 为垂足．
(1)如图①，求证： ；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出 三条
线段的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适
当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）在 上截取 ，连接 ，利用全等三角形 判定 ，得出 ，进
而用 判定得到 ，得出 ，再通过线段的等量代换即可证明；
（2）在 上截取 ，连接 ，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写
出数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图，在 上截取 ，连接 ，
为等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
又 ，
，
，
．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．
图②中，结论： ；
图③中，结论： ．
对于②，截取 ，连接 ，
为等腰直角三角形， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
，
，
．对于③，截取 ，连接 ，同理可证： ．
4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△ 中， ， 90°，直线 是过 点
的任意一条直线， 于点 ， 于点 ．
(1)求证：△ △ ．
(2)猜想 ， ， 三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线 绕点 逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与 ， 重
合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析， 或 ，理由见解析
【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方
法有： ．注意： 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必
须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（1）利用 判定 ；
（2）根据全等三角形的对应边相等可以求得 ，进而即可得到结论；
（3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则 或
，即可作答．【详解】（1）证明： 于点 ， 于点 ， ，
， ， ，
．
在 和 中
，
．
（2）解： ．理由如下：
由（1）知， ，则
∴
∴
（3）解：结论： 或 ．
理由：设 与 的交点为 ，
当 离 点近时，结论为 ；
当 离 点近时，结论为 （注：当 为 中点时， ， 两点重合，线段 不存在）．
当 离 点近时，如图：
同（1）可证明 ，
， ．
，
．
当 离 点近时，如图：同理，得 ．
题型五 全等三角形综合问题
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究．
如图①， ， ， ，垂足分别为A、B， ．点 在线段 上以 的
速度由点 向点 运动，同时点 从点B出发在射线 上运动．它们运动的时间为 （当点P运动结
束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并判断此时线段
和线段 的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为 ，其他条件不
变，当点P、Q运动到何处时有 与 全等，请直接写出相应的x的值．
【答案】(1) ， ，理由见解析
(2)3或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用 证明 即可，由全等三角形的性质可得 ，求出 即可
得解；
（2）分两种情况：①若 ，则 ， ，②若 ，则 ，，分别求解即可．
【详解】（1）解： ，线段 和线段 的位置关系是 ，理由如下：
， ，
，
∵当 时， ，
，
，
在 和 中，
，
．
．
，
，
又 ，
，
．
（2）解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∵
∴分两种情况讨论：
①若 ，则 ， ，
可得 ， ，
解得 ， ；
②若 ，则 ， ，
可得 ， ，解得 ， ．
综上，当 与 全等时， 的值为3或 ．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， 为高， ，点E为 上的一点，
，连接 ，交 于O，若 ．
(1)求 的度数；
(2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线
以每秒 个单位长度的速度运动， 、 两点同时出发，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设
点 的运动时间为 秒，
①设 的面积为 ．请用含 的式子表示 ，并直接写出相应的 的取值范围；
②点 是直线 上一点，且 ．当 与 全等时，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌
握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可得 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出
，进而等量代换，即可得证；
（2）①分两种情况，当 时，当 时，分别利用三角形面积公式即可求解；
②两种情况，点 在线段 延长线上，当 时， ，得 ，解得 ；
点 在线段 上，当 时， ，得 ，解得 即可．
【详解】（1）解：∵在 中， 为高，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
当点Q运动到点E时， ，当点 运动到点 时， ，
当 时，
如图， ；
当 时，如图，
．
综上所述， ；
②∵ ，
∴ ，
当点F在线段 延长线上时，如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
解得： ；
当点 在线段 上时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 与 全等时，t的值为 或 ．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，且 ．(1)如图1，当 ， 分别在线段 ， 上时，
①填空：若设 ，则 之间的数量关系是______；
②猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，当 ， 分别运动到在线段 ， 延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍
然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
【答案】(1)① ．②猜想： ．证明见解析
(2)（1）②中猜想不成立， ．证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）①根据四边形内角和是 求解即可；
②利用 证明 、 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（2）在 上截取 ，连接 ，利用 证明 、 ，根据全等三角形的
性质及线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：（1）①四边形 中， ，
∴
∵ ．
∴
∵ ，
∴ .
故答案为： ．
②猜想： ．
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．．
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
．
（2）解：（1）②中猜想不成立， ．
证明：如图，在 上截取 ，，
．
在 和 中，
，
．
．
，
．
．
．
在 和 中，
，
，
，
，
．
4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 满足
．(1)求点 、 的坐标；
(2)如图1，若 的坐标为 ，且 于点 交 于点 ．
①求证： ．
②试求点 的坐标．
(3)如图2，若点 为 的中点，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，过 作 交 轴于 点，
当 点在 轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的
值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)①见解析；②
(3) 的值不发生改变，等于4
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是
解题的关键．
（1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案；
（2）①根据坐标得到 ，再通过等角的余角相等证明 和 ，即可证
明结论；
②由①得到 ，即可求出答案；
（3）连接 ，证明 ，得到他们的面积相等，即可得到
，即可求出答案．
【详解】（1）解：
；；
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）①证明： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
②解： ，
，
点 的坐标为 ；
（3）解： 的值不发生改变，等于4，
理由如下：如图，连接 ，
为 的中点， ，
，
，
，
，
，
在 与 中，，
，
．
1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有点 和y轴上一动点 ，
其中 ，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角 ，设点C的坐标为 ．
(1)当 时，点C的坐标为 ．
(2)动点A在运动的过程中，试判断 的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理
由．
(3)当 时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使 与 全等？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)动点A在运动的过程中， 的值不变，详见解析
(3) 或 或
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．
（1）根据题意过点C作 轴于点 ，证明出 ，利用全等性质即可得到本题答案；
（2）由（1）得 ，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；
（3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．
【详解】（1）解：如下图，过点C作 轴于点E，则 ，
，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ （AAS），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：动点A在运动的过程中， 的值不变．理由如下：由（1）知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点C的坐标为 ，
∴ ，即 的值不变；
（3）解：存在一点P，使 与 全等，
符合条件的点P的坐标是 或 或 ，
分为三种情况讨论：
①如下图，过点P作 轴于点E，则 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ，
即点P的坐标是 ，
②如下图，过点C作 轴于点M，过点P作 轴于点E，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即点P的坐标是 ；
③如下图，过点P作 轴于点E，则 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ，
即点P的坐标是 ，
综上所述，符合条件的点P的坐标是 或 或 ．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1， ， ，以 点为直角顶点， 为腰在第
三象限作等腰 ．求 点的坐标；
（2）如图2， ， 为 轴负半轴上的一个动点，当点 向 轴负半轴向下运动时，在 轴下方，以
为直角顶点， 为腰作等腰 ，过 作 轴于 点，求 的值；
（3）如图3，已知点 坐标为 ，点 在 轴的负半轴上沿负方向运动时，作 ，始终保持
， 与 轴负轴交于点 ， 与 轴正半轴交于点 ，当 点在 轴的负半轴
上沿负方向运动时，求 的值．
【答案】（1） ；（2）2；（3）
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）过点 作 轴于点 ，证明 ，得到 ， ，求出 点的坐
标；（2）过点 作 轴于点 ，证明 ，得到 ，得到答案；
（3）过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，证明 ，得到 ，根据题意列式计
算即可．
【详解】（1）解：如图 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点的坐标为 ；
（2）解：如图 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解：如图 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
点 坐标为 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
， ，，
．
3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图， 的两条高 与 交于点O， ， ．
(1)若 ，则 ______；
(2)求 的长；
(3)点F是射线 上一点，且 ，动点P从点O出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终
点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线 以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、
Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当 与 全等时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由三角形的高的概念可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可
得 ， ，由对顶角相等可得 ，进而可得
，于是得解；
（2）由（1）得 ， ，利用 可证得 ，于是可得
，由此即可求出 的长；
（3）由三角形外角的性质可得 ，
，进而可得 ，依题意得 ，
，然后分两种情况讨论：①当点 在线段 上时；②当点 在线段 的延长线上时；分别利用
全等三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解： 的两条高 与 交于点O，
，
， ，
又 ，，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得： ， ，
在 和 中，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
依题意得： ， ，
点F是射线 上一点，且 ，
分以下两种情况讨论：
①当点 在线段 上时，
，
当 与 全等时，点 在 的延长线上，如图 所示：
此时 ，
， ，
，
，
解得： ；
②当点 在线段 的延长线上时，，
当 与 全等时，点 在线段 上，如图 所示：
此时 ，
， ，
，
，
解得： ；
综上，当 与 全等时， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用（几何问题），三角形外角的性
质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题
的关键．
4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，如图 ，在梯形 中， 直线 ， 直线 ，垂足
分别为D，E，点C在直线 上， ，
(1)如图1，判断 的形状，并说明理由；
(2)如图1，若 ，求梯形 的面积；
(3)如图2，设梯形 的周长为m， 边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着
的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点
同时停止移动．
①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____ ；（填“ ”“ ”或“ ”）②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)
(3) ； 能，点 处
【分析】（1）利用 可证得 ，进而可得 ，于是结论得证；
（2）由（1）可得 ，于是可得 ，进而可得 ，然后根
据 即可计算出梯形 的面积；
（3） 两点同时停止移动时，点 移动的路程 ，点 移动的路程
，点 移动的路程与点 移动的路程之差 ，由题意可知
，由此即可判断； 设点 的运动速度为 ，则点 的运动速度为 ，设相遇时运
动时间为 ，则相遇时，点 的运动路程 点 的运动路程 ，因而可得 ，由于
， ， ，据此即可得出答案．
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
直线 ， 直线 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）可得： ，
，
又 ，
，梯形 的面积 ；
（3）解： 两点同时停止移动时，
点 移动的路程 ，
点 移动的路程 ，
点 移动的路程与点 移动的路程之差 ，
，
点 移动的路程与点 移动的路程之差 ，
故答案为： ；
移动过程中点 与点 能相遇，两点相遇的位置在点 处，
理由如下：
设点 的运动速度为 ，则点 的运动速度为 ，设相遇时运动时间为 ，
相遇时：点 的运动路程 点 的运动路程 ，
，
点 为 边中点，
，
由（1）可得： ，
，
又 ，
相遇时点 、点 在点 处．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质 ，全等三角形的判定与
性质 ，不等式的性质，等式的性质 等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
