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专题12.3 全等三角形的应用（5个考点2个易错点）
【考点1 全等三角形的判定和性质】
【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】
【考点3利用三角形全等求两端的距离】
【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】
【考点5 全等三角形的其他应用】
【易错点1 全等三角形的判定与性质】
【易错点2 全等三角形的应用】
【考点1 全等三角形的判定和性质】
1．（2023春•太平区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．E是AB上的一点，且
BE＝BC．过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝4cm，则AD+DE等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝4cm，
故选：A．
2．（2023秋•大洼区校级月考）如图：在三角形 ABC中，AB＝BC，BD＝CE，∠ABC＝
∠C＝55°，则∠APE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】D
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝55°，
∴∠APE＝∠ABC＝55°．
故选：D．
3．（2023秋•望花区期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三
点在一条直线上，若∠1＝28°，∠3＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．28° C．25° D．86°
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠ABD，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1＝28°，∠2＝58°，
∴∠2＝58°﹣28°＝30°，
故选：A．
4．（2023秋•海城市期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝
∠COD＝50°．
（1）试说明：AC＝BD；
（2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP，∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP，
即∠MPB＝∠AOM＝50°，
∴∠APB＝50°．
5．（2023秋•甘井子区期中）如图，点 A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，∠A＝
∠D，∠B＝∠E．求证：AF＝DC．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
∴AF＝DC．
6．（2023秋•白塔区校级月考）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝
∠2，AE，BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝70°，求∠AEB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠2+∠C＝∠1+∠BDE，∠1＝∠2，∴∠BDE＝∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴∠BED＝∠AEC，
∴∠BEA＝∠2，
∵∠2＝70°，
∴∠AEB＝70°．
【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】
7．（2023秋•朝阳县期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一
侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延
长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（ ）
A．5m B．10m C．12m D．13m
【答案】C
【解答】解：∵BD＝DC，BD＝10m，
∴DC＝BC＝5m，
∵AB⊥BC，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE＝12m．故选：C．
8．（2023秋•中山区期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，作线段AC与
BD相交于点O．若AC＝BD，AO＝DO＝6m，CD＝15m，则A，B两点间的距离为
15 m．
【答案】15．
【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO＝6m，
∴BO＝CO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝DC＝15m．
故答案为：15．
9．（2023秋•甘井子区期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池
塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继
续向东走50米到D处，在D处沿着与BD垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E
与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为 2 7 米．
【答案】27．
【解答】解：由题意得：CB＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝27米，
故答案为：27．
10．（2023秋•大连期中）如图为某单摆装置示意图，摆线长 OA＝OB＝OC，当摆线位于
OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB
与OC恰好垂直，求此时摆球到OA的水平距离CE的长（CE⊥OA）．
【答案】摆球到OA的水平距离CE的长为15cm．
【解答】解：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD＝15cm，
∴摆球到OA的水平距离CE的长为15cm．
【考点3利用三角形全等求两端的距离】
11．（2023秋•浦北县期中）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB
的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点
E，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为 2 5 米 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝25米．
故答案为：25米．
12．（2023秋•瓯海区校级月考）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒
了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，
∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离
为 3 6 cm．
【答案】36．
【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD＝24cm，CE＝
12cm，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝24cm，DB＝CE＝12cm，∴DE＝DB+BE＝36cm，
则两堵木墙之间的距离为36cm，
故答案为：36．
13．（2023秋•竹溪县期末）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A步行到达B处的
过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观
标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．
AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．根据上述信息，标语CD的长
度为 2 0 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，
∴OB＝OD，
∵OB⊥AB，OD⊥DC，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20m，
故答案为：20
14．（2023春•香坊区期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点 O（即
跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明
离地面的高度是 8 0 cm．【答案】80．
【解答】解：在△OCF与△ODG中，
，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝30（cm），
∴小明离地面的高度是50+30＝80（cm），
故答案为：80．
15．（2023秋•广陵区校级月考）如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条
东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路
AD是南北走向，AC＝3km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路
现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2km，BF＝0.7km．试求建造的斜拉桥长至
少有 1. 1 km．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知：BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC＝3km，
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7＝1.1（km）．
故答案为：1.1．
16．（2022秋•山西期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边
滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，
则BF＝ 1 8 m．【答案】18．
【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE＝8m，
∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）．
故答案为：18．
17．（2023秋•青云谱区校级期中）（1）小贤露营时带着如图1所示的折叠凳，打开时坐
着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
（2）图2是折叠凳打开后的侧面示意图，凳腿AB和CD的长度相等，交点O是AB，
CD的中点．经过实验，厂家将打开后的折叠凳的宽度 AD设计为35cm，求此时BC的
宽度，并说明理由．
【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）35cm．
【解答】解：（1）三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）BC＝35cm．
理由：∵O是AB，CD的中点，
∴AO＝BO，DO＝CO．
在△AOD和△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC．
又∵AD＝35cm，
∴BC＝35cm．
【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】
18．（2022秋•古县期末）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，
O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则这个
工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【答案】C
【解答】解：如图，连接AB、CD，
在△ABO和△DCO中， ，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝CD．
故选：C．
19．（2023春•龙华区期末）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使
其可以绕着 O 点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据
△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据
是（ ）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
故选：A．
20．（2023春•南海区校级期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明
用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝3cm，EF
＝5cm，圆形容器的壁厚是 1 cm．
【答案】1．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝3cm，∵EF＝5cm，
∴圆柱形容器的壁厚是 ×（5﹣3）＝1（cm），
故答案为：1．
21．（2023•郧阳区模拟）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽
宽的工具（卡钳）．在图中，若测量得 A′B′＝15cm，则工件内槽宽AB为 15
cm．
【答案】15．
【解答】解：连接A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB，
∵A'B'＝15cm，
∴AB＝15cm，
故答案为：15．
【考点5 全等三角形的其他应用】
22．（2023秋•鲅鱼圈区校级期中）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【答案】A
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不
符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不
符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不
符合题意；
故选：A．
23．（2023秋•旅顺口区期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地
上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使
CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，可得△ABC≌△DEC，此时
测得DE的长度就是A、B两点间的距离，这里判定△ABC≌△DEC的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】C
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
故选：C．24．（2023春•沈河区校级期中）老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可
以平分一个已知角．其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿
着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线．这
里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
25．（2023春•太平区期末）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小
华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中
的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】B
【解答】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不
能带它们去，
只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．
26．（2023秋•沙河口区校级月考）如图，要量湖两岸相对两点 A、B的距离，可以在AB
的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直
线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，
∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【易错点1 全等三角形的判定与性质】
1．（2023春•开福区校级期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，
∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝ 6 5 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：∵∠BAC＝∠DAE，
∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，
∴∠1＝∠4，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝115°，
∴∠ADB＝115°，
又∠ADB+∠3＝180°，
∴∠3＝65°，
故答案为65．
2．（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过
点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 4 0 ．
【答案】40．
【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，
∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，
∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，
∴∠D＝∠EAB，
∵AD＝AB，
∴△ADC≌△BAE（AAS），
∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，
∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝ DC•AC+ AC•BE
＝ ×2×8+ ×8×8
＝8+32
＝40，
故答案为：40．
3．（2023秋•长寿区期末）已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝
ED．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC＝ED．
4．（2022秋•交口县期末）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，求∠B的度数．【答案】（1）理由见解答部分；
（2）35°．
【解答】（1）证明：如图，
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠CAB．
在△ABC与△EAD中
．
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
∴AD＝BC．
（2）解：∵∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAC＝35°．
由（1）知，△ABC≌△EAD，
∴∠B＝∠DAE＝35°．
【易错点2 全等三角形的应用】
5．（2022春•大田县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同
侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝
75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这
里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA
【答案】C
【解答】解：在△MBC和△ABC中，
，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
∴判定△MBC≌△ABC的理由是ASA，
故选：C．
6．（2023秋•扶沟县期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的
知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是 两角和它们
的夹边分别相等的两个三角形全等 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边
角”定理作出完全一样的三角形．
故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
