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专题12.2 探索三角形全等的条件（5个考点2个易错点）
【考点1 判定全等角形（SSS）】
【考点2判定全等角形（SAS）】
【考点3判定全等角形（ASA）】
【考点4 判定全等角形（AAS）】
【考点5判定全等角形（HL）】
【易错点1 全等三角形的判定】
【易错点2 直角三角形全等的判定】
【考点1判定全等角形（SSS）】
1．（2023秋•沙市区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝
∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵DE＝CE，
∴EA+DE＝EB+CE，
∴AD＝BC，
在△ACB和△BDA中，，
∴△ACB≌△BDA（SSS）．
2．（2023秋•崆峒区期末）如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
3．（2023秋•洛南县校级期末）如图，E是AC上一点，BC＝CE，BC+AE＝DE，AB＝
CD，求证：△ABC≌△DCE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵BC＝CE，BC+AE＝DE，
∴CE+AE＝DE，
∴AC＝DE，
在△ABC和△DCE中，，
∴△ABC≌△DCE（SSS）．
【考点2判定全等角形（SAS）】
4．（2023秋•昭阳区期末）已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：
△ABE≌△ACF．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵F、E是AB、AC的中点，
∴AF＝ AB，AE＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE．
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）．
5．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AEB＝∠CFD＝90°，BF＝DE，AE＝CF．求证：
△ABE≌△CDF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
6．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
7．（2023秋•斗门区期末）如图，点B、C、E、F共线，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
8．（2022秋•钢城区期末）如图．在△ABC和△AEF中，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝
∠BAE．
求证：△ABC≌△AEF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，
即∠EAF＝∠BAC，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS）．
9．（2022秋•濮阳县校级期末）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同
一直线上，且BC∥GF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BC∥GF，
∴∠BCA＝∠EFD，∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【考点3判定全等角形（ASA）】
10．将△ABC和△DEF如图放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵∠D+∠CHF＝180°，∠CHF+∠CHE＝180°，
∴∠D＝∠CHE，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
11．如图，在△ABC和△DBE中，AC＝DE，点E在AC边上，∠DBF＝∠CBE＝∠AED，
求证：△ABC≌△DBE．【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠DBF＝∠CBE，
∴∠DBF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
∴∠DBE＝∠CBA．
∵∠DBF＝∠AED，∠AFE＝∠DFB，
∴∠D＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB∠A＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE，
∴∠D＝∠A．
∵AC＝DE，
∴△ABC≌△DBE（AAS）．
12．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且
∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
13．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AC＝EF，AC∥EF，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）若AD＝6，BD＝2，求AE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AE的长为10．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△EDF，
∴AB＝DE，
∴AB+BD＝BD+DE，即AD＝BE，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝6﹣2＝4，
∴DE＝4，
∴AE＝AD+DE＝6+4＝10．【考点4 判定全等角形（AAS）】
14．如图所示，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝
CE．求证：BE＝DF．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
15．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB
＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，∠C＝180°﹣∠3﹣∠DFC，∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，
在△ABC与△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
16．如图，在△ABC和△DBE中，AC＝DE，点E在AC边上，∠DBF＝∠CBE＝∠AED，
求证：△ABC≌△DBE．【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠DBF＝∠CBE，
∴∠DBF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
∴∠DBE＝∠CBA．
∵∠DBF＝∠AED，∠AFE＝∠DFB，
∴∠D＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB∠A＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE，
∴∠D＝∠A．
∵AC＝DE，
∴△ABC≌△DBE（AAS）．
17．如图，已知△ABD≌△ACE．请问△OBE≌△OCD吗？若全等，请给予证明；若不全
等．请说明理由．
【答案】见解答．
【解答】解：△OBE≌△OCD，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠B＝∠C，AB＝AC，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
∴BE＝CD，
在△OBE与△OCD中，
，∴△OBE≌△OCD（AAS）．
18．如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知∠B＝∠E，
∠BAC＝∠EDF，BF＝CE．求证：AC∥FD．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴∠ACB＝∠EFD，
∴AC∥DF．
19．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）由（1）得△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
22．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB＝
CF．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AF＝3．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和△CFD中∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）解：∵△ABD≌△CFD（AAS），
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴DF＝BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
23．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝
BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
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【考点5 判定全等角形（HL）】24．已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADE和中Rt△BCA中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCA（HL），
∴∠EDA＝∠C，
又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠CAB+∠C＝90°
∴∠CAB+∠EDA＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴ED⊥AC．
25．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，点B、F、
C、E在一条直线上．求证：BF＝EC．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴BC＝EF，∴BC﹣CF＝EF﹣CF，
∴BF＝EC．
26．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC．
求证：∠ABD＝∠ACD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠ABC＝∠DCB，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DBC﹣∠ABC，
即：∠ABD＝∠ACD．
【易错点1 全等三角形的判定】
1．如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使
△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（ ）
A．BC＝DE B．AC＝AE
C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB
【答案】A【解答】解：A、若添加BC＝DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意；
B、若添加AC＝AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；
C、若添加∠ACB＝∠AED＝90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；
D、若添加∠BCD＝∠DEB，则可证明∠ACB＝∠AED，可利用 AAS 证明
△ABC≌△ADE，故不符合题意；
故选：A．
2．在△ABC 与△DFE 中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到
△ABC≌△DFE的是（ ）
A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D
【答案】C
【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能
推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
B．∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理 SAS，能推出
△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△DFE，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出
△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，
△ODM≌△CEN根据的是（ ）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，
在△OMD与△CEN中
，
∴△OMD≌△CEN（SSS）；
∴∠O＝∠NCB，
∴CN∥OA．
故选：B．
4．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，若∠1＝∠2可得△ABC≌△ADE，则判定这两个三角
形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AE＝AC，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
故选：B．
5．如图，A、C、D、F四点在同一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠E，添加以下条件还不能
判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．AD＝CF B．AB∥DE C．BC∥EF D．AB＝DE
【答案】A
【解答】解：A、∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF，
∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC与△DEF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故B不符合题意；
C、∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠F，
∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故C不符合题意；
D、∵AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故D不符合题意；
故选：A．
6．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂直线
段DE、DF，则能直接判定△BDE≌△CDF的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】D
【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴DB＝DC，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，P，Q两点分别在AC和AC的垂线
AD上移动，PQ＝AB，则当AP＝ 6 或 3 时，才能使△ABC和△APQ全等．
【答案】6或3．
【解答】解：分两种情况：
当△CAB≌△ABP时，AP＝BC＝3；
当△CAB≌△APB时，AP＝AC＝6；
综上所述：当AP＝6或3时，才能使△ABC和△APQ全等，
故答案为：6或3．
8．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知
AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，
CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有 个全等三角形．
故答案为： ．
9．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，即BF＝CE，
∴在△ABF与△DCE中， ，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
【易错点2 直角三角形全等的判定】
10．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】A
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题
意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合
题意；
故选：A．
