文档内容
专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）
题型一 全等图形相关问题
题型二 全等三角形的概念
题型三 利用全等三角形的性质求角度
题型四 利用全等三角形的性质求长度
题型五 利用全等三角形的性质求面积
题型六 用SSS证明三角形全等
题型七 用SAS证明三角形全等
题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等
题型九 用HL证明直角三角形全等
题型十 灵活选用判定方法证明全等
题型十一 添加条件使三角形全等
题型十二 尺规作图
题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度
题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度
题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积
题型十六 全等三角形中的动点问题
题型十七 全等三角形的综合问题
知识点一、全等图形
定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个
图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。
图2
图1
知识点二、全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点诠释：
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，
△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和
DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）
是对应边（或角），等等.
知识点三、全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等；
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性
质是今后研究其它全等图形的重要工具.
全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、
旋转前后的图形全等。
知识点四、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果 ＝AB， ＝AC， ＝BC，则△ABC≌△ .二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠ ，AC ＝ ，则△ABC≌△ .
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，
也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠ ，AB＝ ，∠B＝∠ ，则△ABC≌△ .
四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定
两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和
△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理 5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成
“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角
形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须
在两个三角形前加上“Rt”.
知识点五 尺规作图
一．作已知角的角平分线
二．过一点作已知线段的垂线
【经典例题一 全等图形相关问题】
【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形 矩形 矩形 ，连接 并延长交
于点K，点F落在 上，若已知 的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（ ）A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形 是由8个全等梯形 拼接而成，其中
， ，则 的长为（ ）
A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8
2．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在 的正方形网格中标出了 和 ，则
度．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出
多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如
，也有几对全等的四边形．
(1)请根据全等形的特征，求 的度数；
(2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形．
【经典例题二 全等三角形的概念】【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（ ）
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）全等图形的周长都相等；
（3）面积相等的两个等腰三角形是全等形；
（4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点 为 的平分线上一点，且不与点 重合，在角的
两边分别截取 ，连接 、 ；如图②，在图①的射线 上取异于点 、 的点 ，连接 、
；如图③，在图②的射线 上取异于点 、 、 的点 ，连接 、 ； ，在每个图形中，
在 同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线 上相差1个点，依此规律，第11个图形中
全等三角形共有 对．
3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知
．
(1)画出 中 边上的高 ；
(2)用一条线段将 分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）；(3)画一个格点三角形，使之与 全等．
【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】
【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图， ， 的延长线交 于点 ，交 于点 ．
若 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角 中， 分别是 边上的点，
， ，且 交于点F．若 ，则
的大小是 ．AI
3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示， ，点 在 边上， 与 交于点 ．
(1)若 ， ，求线段 的长；
(2)若 ， ，求 的度数．
【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】
【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知 ，点F，B，E，C在同一条直线上，
若 ，则 的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知 ，点F，B，E，C在同一条直线上，若
，则 的长度为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为 ， ，点P为坐标轴上
一点（P点异于O点），若以A、B、P为顶点的三角形与 全等，则点P的坐标为 ．
3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图， ，且点 ， ， 在一条直线上，点 在
上，延长 交 于点 ．
(1)试说明： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】
【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知 ，下列说法：① ；②
是 的中线；③ ；④ 与 面积相等．其中正确的是：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形 中， ， 平分 ， ，， ， ，则 的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．12
2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着
点B到C的方向平移到 的位置， ， ，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．
3．（20-21八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标
分别为 、 ，且 ，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线 匀
速运动，设点P运动时间为t秒．
(1)求 、OB的长；
(2)连接 ，若 的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线 与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点
P，使 ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【经典例题六 用SSS证明三角形全等】
【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图， ， ， ， ，，那么 （ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，平面上有 与 ，其中 与 相交于P点，
如图，若 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在 与 中，E在 边上， ， ，
，若 ，则 ， ．
3．（23-24八年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】
活动2 用全等三角形研究：“筝形”
如图2，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识
证明你的猜想．请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形 ．
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形 中， ， ．求证： ．
证明：
（3）如图3，连结筝形 的对角线 ， 交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，
并给出证明．【拓展应用】
（4）如图4，在 中， ， ，点D、E分别是边 ， 上的动点，当四边形
为筝形时，请直接与出 的度数．
【经典例题七 用SAS证明三角形全等】
【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点 ， 分别为 的边 ， 上的点，连接 并延长
至 ，使 ，连接 ．若 ， ， ，则 的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，延长
交 于点 ，若 ， ，则四边形 的面积等于（ ）A．10 B．20 C．30 D．40
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图， 中， ，以 为边向右下方作 ，满足
，点 为 上一点，连接 ，若 ， ， ，则
．
3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 中， 于点 于点 与 交于
点F，连接 ，延长 到点G，使得 ，连接 ．
【问题解决】（1）试说明： ；
【问题探究】（2） 与 垂直吗？请说明理由．
【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 与 中，A、C、E三点在一条直线上，
， ， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
2．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高 ，在旗杆 与楼之间选定一点 ，使点
到楼底距离 与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线 与地面夹角 ，测楼顶
视线 与地面夹角 ，量得旗杆与楼之间距离 米，楼高 米．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】在 中， ， ，点 为 边
上的动点，连接 ，作 且 ，过点 作 于点 ．
【问题探究】（1）如图1，试说明 ；
（2）如图2，连接 交 于点 ，若 ，试说明点 是 的中点．
【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】
【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在 中， ， 是 上一点， 于
点 ， ，连接 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
1．（20-21八年级上·陕西渭南·期中）如图，在 中， ， ，在 上取一点
G，使 ，过点G作 ，连接 ，使 ，若 ，则下列结论不正确的是
（ ）
A． B． 垂直平分 C． D．2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在 中， ，点 在 上，
交 于点 ， 的周长为 的周长为 ，则边 的长为 ．
3．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中， 的角平分线 与 的垂直平
分线 交于点D， 垂足分别为E，F．
(1)求证： ；
(2)若 求 的周长．
【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】
【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A． B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
1．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图， 的高 与 相交于点 ， ， 的延长
线交 于点 ，则图中共有全等的直角三角形（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对
及 对应的边或角添加等量条件（点 分别是点 的对应点）．某轮添加条件后，
若能判定 与 全等，另一人获胜．
轮
行动者 添加条件
次
1 甲
2 乙
3 甲 ?
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①若第3轮甲添加 ，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件 ；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为 ．
3．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ， ， ．求证： ．
以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘ ’证明两个三角形全等，从而得到 ．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘ ’证明两个三角形全等，从而得到 ．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明 ．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．【经典例题十一 添加条件使三角形全等】
【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知 ，请你在下面四个备选条件：①
；② ；③ ；④ 中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍
然不能证明 的备选条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在 和 中，点B，F，C，E在同一直线上．已知
， ．给出下列条件：① ，② ，③ ，④ ，能判定
的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④
2．（2024七年级下·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮
流对 及 的对应边或对应角添加一组等量条件（点 ， ， 分别是点A，B，C的对应点），
某轮添加条件后，若能判定 与 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮
行动者 添加条件
次
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）①若第3轮甲添加 ，则甲获胜；
②若第3轮甲添加 ，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为 ，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为 ，则此游戏最多4轮必分胜负．
3．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在 中， ，D是 边上的点（不与点B，C重
合），F，E分别是 及其延长线上的点， ． 请你添加一个条件，使 （不再添
加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
(1)你添加的条件是： ；
(2)证明：
【经典例题十二 尺规作图】
【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角 ，如图，（1）在射线 上取点 ， ，分别以点 为
圆心， ， 长为半径作弧，交射线 于点 ， ；（2）连接 ， 交于点 ．根据以上作图过
程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．点 在 的平分线上1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知 ，以线段BC为公共边，作 ，对于图中
的一些弧线，下列说法正确的是（ ）
A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长
C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长
2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，，作 ，使
与 全等且不重合，则点C的坐标为 ．
3．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是 和 ，一个内角为 ．
(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右
边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是 和 ，一个内角为 ”，那么满足这一条件，
且彼此不全等的三角形共有__________个．
【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】
【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在 ， ， 平分 ， ，
，下列结论中： ， ， ， ．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各
个顶点均为格点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是 外两点，连接 ， ，有 ， ，
．连接 ， 交于点F，则 的度数为 ．3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在 中， 为 上一点， 为 中点，连接 并延
长至点 ，使得 ，连 ．
(1)求证：
(2)若 ， ， ，求 的度数．
【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】
【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 中， ， ， 与
的平分线交 于点 ，若 ， ，则四边形 的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，
，且 ，村庄A，B之间有一个小湖 ．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得
， ， ，则建造的桥长至少为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高 和 的交点，且 ，已知
， ，则 的长为 ．
3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图， 、 相交于点 ，点 、 分别是线段 、 上的点，
连接 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 ．
【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】
【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形 中， ，
， ，且 ， ，则五边形 的面积为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在 中， ，点 在 边上， ，
交 于点 ．若点 是 边的中点， ， ，则四边形 的面积等于（ ）
A．12 B．14 C．24 D．48
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，过点B作 ，且使得
，连接AD．若 ，则 的面积为 ．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在 和 中，已知 ， ，
．(1)如图 ，求证： ；
(2)当 三点在一条直线上时，
如图 ，已知 ，求 的度数；
如图 ，过 作 交 于点 ，若 ， 的面积为 ，求 的长．
【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】
【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，直
线 经过点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为
秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图， ， ． ，点 P 在线段
上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线 上由点B向点D方向运动．它们运动的时
间为 ，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、
Q三点构成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．1
2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图， ，垂足为 ， ， ，射线
，垂足为 ，动点 从 点出发以 的速度沿射线 运动，点 为射线 上一动点，满
足 ，随着 点运动而运动，当点 运动时间 为 秒时， 与点 、 、 为顶点的三
角形全等（ ）．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， 为高线， ．点 为 上一点，
，连接 ，交 于点 ，若 ．
(1)猜想线段 与 的位置关系，并证明；
(2)若动点 从点 出发沿射线 以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为 秒．
①当点 在线段 上时，是否存在 的值，使得 的面积为27？若存在，请求出 的值；若不存在，
请说明理由；
②动点 从点 出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动， ， 两点同时出发，当点 到达点 时， ， 两点同时停止运动．设运动时间为 秒，点 是直线 上一点，且 ，当
与 全等时，请直接写出 的值．
【经典例题十七 全等三角形的综合问题】
【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在 中， ， 平分 ，
于E，则下列结论：① 平分 ；② ；③ 平分 ；④ ；⑤A、
D两点一定在线段 的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在 中， ， 于 ，
平分 交 于 ， 在 上，并且 ，则下列四个结论：
① ，② ，③ ，④ ，其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图， ，给出下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的
结论序号都填上）3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践：
【问题情境】如图①所示， 已知在 中， ， ， 是 的中线，过点C
作 ， 垂足为M， 且交 于点E．
【数学思考】（1）小虎通过度量发现 ，请你帮他说明理由；
【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段 ，且 平分 交 于点N， 即可
得 ， 该结论正确吗? 请说明理由；
【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接 ，如图③所示，请你帮助小刚证明 ．
1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末） 与 按如图所示方式放置，点 、 、 、 在同一条
直线上， ， ，若要使得 ，则需要补充的条件可以是（ ）
A． B． C． D．2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相
交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ． 有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ，
，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在 与 中， 三点在一条直线上，
， ， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在 中， ，点 在 边上， ，
交 于点 ．若点 是 边的中点， ， ，则四边形 的面积等于（ ）A．12 B．14 C．24 D．48
6．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， 的角平分线交
于D， ，过点C作 交 的延长线于E，则 的长为 ．
7．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形 中， ， ， ，点
、 分别在边 、 上，连接 ，点 为 的中点，连接 ，若 ，则 的最小值为
．
8．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已
知 ， ，则 的面积为 ．
9．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图， 中， 为 的角平分线，作 垂直 于 ，的面积为8，则 的面积为 ．
10．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在 中， ，点D是边 上的一点，
过点B作 交 的延长线于点E，延长 至点F，使得 ，连接 交 于点H，连接
，若 ， ，则 的长度为 ．
11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形 中， ， ，E，F分别是对
角线 上两点，且 ，连接 ．
试说明：
(1) ；
(2) ．
12．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形 ，点E是 上一点．(1)尺规作图：在 上找到一点F，使得 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ，且 平分 ，求 的度数．
13．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
在 和 中， ， ， 在 内部，连接 ，延长 交 于点F，交
于点G，设 ．
特例思考：
（1）如图1，当 时，试说明 与 之间的数量关系与位置关系；
一般猜想：
（2）如图2，当 时，请直接用含 的代数式表示 的度数；
深度探究：
（3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取 ，连接 ，求 的度数．（用含 的
代数式表示）14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】
（1）如图1， ， ， 于点 ， 于点 ．
求证： ．
【模型应用】
（2）如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围
成的图形 的面积．
【深入探究】
（3）如图3， ， ， ，连接 、 ，且 于点 ， 与
直线 交于点 ．
①求证 ；
②若 ， ，求 的面积．
15．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， 和 的平分线交于点D，延长
交 于点E，点G、F分别在 上，连接 ，其中 ， ，在 上取点
M，使 ．【问题提出】（1）当 时，求 的度数；
【问题解决】（2）试说明： ．
