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第 11 章 三角形能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．一个三角形的两边长分别为3和7，那么第三条边的长可能为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边长的取值范围是：7﹣3＜第三边＜7+3．即4＜x＜10，9符合要求，
故选：C．
2．日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这
个应用中蕴含的数学知识是（ ）
A．三角形三个内角的和等于180度
B．三角形任何两边的和大于第三边
C．三角形具有稳定性
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【答案】C
【解答】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识．
故选：C．
3．把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则
∠ADE的大小为（ ）A．165° B．155° C．145° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵FE⊥CE，
∴∠FEC＝90°＝∠F，
∴∠FEC+∠F＝180°，
∴DF∥EC，
∴∠FDB＝∠ABC＝60°，
∴∠ADF＝120°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF+∠FDE＝165°，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则
△ABE的周长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB＝7，AC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE，
∴CE+AE＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，
故选：B．5．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则
∠BAD＝（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【答案】B
【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线，
∴ ，
由AD⊥BD，得∠ADB＝90°，
在△ABD中， ，
因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
把∠DAC＝20°，∠C＝38°代入，
得 ，
那么∠ABC＝64°，
所以 ，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交
AC于点N，则∠AMN的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣110°＝70°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝ ，
∵MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝35°，
故选：B．
7．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若
∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA′＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β γ
A． ＝180°﹣ ﹣ B． ＝ +2
C．γ＝2 + α β D．γ＝α+ β
【答γ案】αCβ γ α β
【解答】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
∴∠BDAα'＝ ＝ + + ＝β2 + ， γ
故选：C． γ α α β α β
8．如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线，设∠A＝ °，∠ABC＝ °，∠ADE＝ °，那么 ， ， 之间的数量关系是（ ）
α β γ α β γ
A． + ＝ B．2 + ＝ C． +2 ＝ D． +2 ＝2
【答α案β】Bγ α β γ α β γ α β γ
【 解 答 】 B 解 ： 由 题 意 可 得 ： ，
，
∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°，即∠ADB+∠ABC+∠CBD+∠A＝180°，
∴ ，
∴2 + ＝ ．
故选α：βB．γ
9．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【解答】解：如图所示：连接AD，
∵∠1+∠2+∠AOD＝∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠1+∠3+∠2+∠4+∠E+∠F＝（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠4+∠B+∠C+∠3+∠E+∠F＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°，
故选：B．10．如图，四边形ABCD中，∠A＝140°，∠B＝60°，∠ADC、∠BCD的平分线相交于点
E，则∠CED＝（ ）
A．70° B．100° C．120° D．90°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝140°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ADC+∠BCD＝360°，
∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣140°﹣60°＝160°，
∵DE，CE分别平分∠ADC、∠BCD，
∴ ，
∴ ，
∴∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCE）＝100°，
故选：B．
11．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
12．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平
分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E，以下结论：①∠BDE＝ ∠BAC；
②DB⊥BE；③∠BDC+∠ACB＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDE＝∠BAC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝
180°﹣（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
故选：D．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝
4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ＝ ×4＝2（cm2），
同理S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2），
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2）．
故答案为1．
14．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝ 0 ．
【答案】0．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|
＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b）
＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b
＝0．
故答案为：0．
15．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，
则这个正多边形的内角和为 1260 ° ．
【答案】1260°．
【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A，B，C，D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
∴这个正多边形的边数为：360÷40＝9，
∴这个正多边形的内角和为：（9﹣2）×180°＝7×180°＝1260°，
故答案为：1260°．
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，将△ABC沿DE折叠，使
点A落在点O处，若∠1+∠2＝80°，则∠BOC的度数为 110 ° ．【答案】110°．
【解答】解：由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝80°，
∴2∠AED+2∠ADE＝280°，
∴∠AED+∠ADE＝140°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴2∠PBC+2∠PCB＝140°，即∠PBC+∠PCB＝70°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝110°，
故答案为：110°．
17．如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD，AE分别为△ABC的高，角平分线，下列四个结
论：
①AC+CD＝BD；
②AC+CD＝AB；
③AC+CE＝AB；
④∠B＝2∠DAE．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④
【解答】解：①在DB上取一点F，使DF＝CD，连接AF，如图1所示：∵AD⊥BC，DF＝CD，
∴AD为线段CF的垂直平分线，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AFC＝2∠B，
∵∠AFC＝∠B+∠BAF，
∴2∠B＝∠B+∠BAF，
∴∠B＝∠BAF，
∴AF＝BF，
∴BF＝AC，
∴AC+CD＝BF+DF＝BD，
故结论①正确；
②在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴AB＞BD，
由结论①正确可知：AC+CD＝BD，
∴AC+CD＞AB，
故结论②不正确；
③在AB上截取AH＝AC，连接EH，如图2所示：
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠CAE，在△HAE和△CAE中，
，
∴△HAE≌△CAE（SAS），
∴HE＝CE，∠AHE＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AHE＝2∠B，
∵∠AHE＝∠B+∠HEB，
∴2∠B＝∠B+∠HEB，
∴∠B＝∠HEB，
∴HB＝HC，
∴HB＝CE，
∴AC+CE＝AH+HB＝AB，
故结论③正确；
④∵∠C＝2∠B，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣3∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ （180°﹣3∠B）＝90°﹣ ∠B，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣2∠B，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣ ∠B﹣（90°﹣2∠B）＝ ∠B，
即∠B＝2∠DAE，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿
DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ 76 ° ．【答案】76°．
【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠C＝90°，∠B＝62°
∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠BDF＝28°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，
∴∠ADE＝ ∠ADF＝76°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．
故答案为：76°．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：∠3＝∠C；
（2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，∴∠2＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DAC，
∴AC∥GD，
∴∠3＝∠C．
（2）解：∵∠2＝2∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝2∠3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠3＝3∠3＝90°，
∴∠3＝30°，∠1＝60°，
∴∠1＝∠DAC＝60°．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝56°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，
（1）若DE∥AB，求∠ADE的度数．
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
【答案】（1）32°；
（2）58°．
【解答】解：（1）∵∠B＝56°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣56°﹣60°＝64°，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝32°；
（2）∵∠B＝56°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣56°﹣60°＝64°，
∵AD平分∠BAC，∴ ，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝58°．
21．（8分）如图，在△ABC中，BE为角平分线，D为边AB上一点（不与点A，B重合），
连接CD交BE于点O．
（1）若∠ABC＝58°，CD为高，求∠BOC的度数；
（2）若∠BAC＝82°，CD为角平分线，求∠BOC的度数．
【答案】（1）∠BOC＝119°．（2）∠BOC＝131°．
【解答】解：（1）在△BCD中，
∠DCB＝180°﹣90°﹣58°＝32°，
在△BOC中，
∠BOC＝180°﹣32°﹣58°÷2＝119°．
（2）∵BE为角平分线，CD为角平分线，
∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣82°）÷2＝49°，
∴∠BOC＝180°﹣49°＝131°．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝30°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）20°；
（2）15°．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°；
∵AD⊥BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ，
∵∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝ ﹣（90°﹣∠B）＝ ，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝ ×30°＝15°．
23．（10分）发现与探究
【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图 1在四边形ABOC中，判断∠BOC与
∠A+∠B+∠C的数量关系．请将如下说理过程补充完整．
解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，理由：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
∴ ，
同理，∠BOC是△COM的外角，
∴ ，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）．
【验证】某木材零件如图2所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合
规格，并说明理由．
【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），AE与BD的交点为
C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝115°，请
直接写出，应将图中∠D （填“增加”或“减小”） °．
【答案】发现：∠BMC＝∠A+∠B，∠BOC＝∠BMC+∠C；验证：不符合规格，理由见
解析；探究：增加，5．
【解答】解：（1）发现：
解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
理由：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
∴∠BMC＝∠A+∠B，
同理，∠BOC是△COM的外角，
∴∠BOC＝∠BMC+∠C，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）．
故答案为：∠BMC＝∠A+∠B，∠BOC＝∠BMC+∠C；
（2）验证：
由“发现”可知：∠AEB＝∠A+∠B+∠C，
∴∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B），
∵符合标准的零件∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，
∴符合标准的零件∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）＝125°﹣（15°+15°）＝85°，
∵∠C＝90°≠85°，
∴该零件不符合规格；
（3）探究：
∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠EFD＝∠D+∠E+∠DCE＝20°+30°+70°＝120°，
∵∠EFD＝115°＜120°，∠CBA，∠CAB，∠E保持不变，
∴∠D应增加120°﹣115°＝5°
故答案为：增加，5．
24．（10分）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是
．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2 与∠A 的数量关系是
；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠1＝2∠A；
（2）∠1+∠2＝2∠A；
（3）∠2﹣∠1＝2∠A；理由见解答．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
故答案为：（1）∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A．
（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE．
25．（10分）在小学期间，同学们已经知道了“一个三角形的三个内角之和等于 180°”这
个基本事实，这将为你在解决下列问题中提供帮助．已知线段 AB与CD相交于点O，
连接AD，BC．
（1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）请利用（1）的结论探索下列问题：
①如图2，作AP平分∠DAB，交DC 于点M，交∠BCD 的平分线于点P，PC 交AB
于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；
②如图3，若∠B＝ ，∠D＝ ，∠P＝ ，且 ， ，请
直接写出 ， ， 之α间的数量关β系． γ
α β γ
【答案】（1）证明见解答；（2）①40°；②4 ＝3 + ，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝180γ°，∠αBβ+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝
∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）解：①∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1），得∠1+∠D＝∠3+∠P，①，∠4+∠B＝∠2+∠P．②，①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D＝∠2+∠3+2∠P，
即2∠P＝∠B+∠D，
∴ ；
②设∠6＝x，∠8＝y．
∵ ， ，
∴∠5＝3x，∠7＝3y，
由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B，
即3x+ ＝3y+ ，x+ ＝y+ ，
∴3（xβ﹣y）＝γ ﹣ γ，x﹣αy＝ ﹣ ，
∴3（ ﹣ ）＝γ﹣β， α γ
即4 ＝α3 γ+ ．γ β
∴ ，γ ，α 之β 间的数量关系是4 ＝3 + ．
α β γ γ α β
26．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A
之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内
角的3倍，求∠A的度数．【答案】（1）120°；
（2）∠Q＝90°﹣ ∠A，理由见解答过程；
（3）60° 或120° 或45° 或135°．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠BPC＝90°+ ∠A＝90°+ ×60°＝120°，
故答案为：120°．
（2）∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣ ∠A，理由如下：
∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点
∴∠QBC＝ ∠MBC，∠QCB＝ ∠NCB
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）＝ （180°+∠A）＝90°+ ∠A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A，
故∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣ ∠A；
（3）∵PB平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC＝180°，
∵∠PBC＝ ∠ABC，∠QBC＝ ∠MBC，
∴∠PBC+∠QBC＝ （∠ABC+∠MBC）＝ ×180°＝90°，
即∠EBQ＝90°，∴∠E+∠Q＝90°，
由（2）可知：∠Q＝90°﹣ ∠A，
∴∠E+90°﹣ ∠A＝90°，
∴∠E＝ ∠A，
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当∠EBQ＝3∠E时，则3∠E＝90°，
∴∠E＝30°，
此时∠A＝2∠E＝60°，
②当∠EBQ＝3∠Q时，则3∠Q＝90°，
∴∠Q＝30°，则∠E＝60°，
此时∠A＝2∠E＝120°，
③当∠Q＝3∠E时，则∠E+3∠E＝90°，
∴∠E＝22.5°，
此时∠A＝2∠E＝45°，
④当∠E＝3∠Q时，则3∠Q+∠Q＝90°，
∴∠Q＝22.5°，
∴∠E＝67.5°
此时∠A＝2∠E＝135°，
综上所述，∠A的度数是60° 或120° 或45° 或135°．
