文档内容
2023 学年第一学期初三数学教学质量调研试卷
（考试时间：100分钟 满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本调研卷上答题一律无效
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算
的主要步骤
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸
相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 在 中， ，如果 ，那么 等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解： ，
∴ ，
故选：B．
2. 下列关于抛物线 的描述正确的是（ ）
A. 该抛物线是上升的 B. 该抛物线是下降的
C. 在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D. 在对称轴的右侧该抛物线是上升的
【答案】D
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性
质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴ ，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，
选项D正确，符合题意；
故选：D．
3. 已知点 在线段 上，且满足 ，那么下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把 当作已知数求出 ，求出 ，再分别求出各个
比值，根据结果判断即可．
【详解】解：令 ， ，则 ，
可变形为 ，
整理，得 ，
，
解得 ，
边长为正数，
， ，
即 ， ，，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选B．
4. 已知 为非零向量，且 ，那么下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．
【详解】解： ．∵ 为非零向量，且 ，∴ ，正确，故本选项不符合题意；
．∵ 为非零向量，且 ，∴ ，正确，故本选项不符合题意；
．∵ 为非零向量，且 ，∴ ，原说法错误，故本选项符合题意；
．∵ 为非零向量，且 ，∴ ，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 如果点D、E分别在 ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( )
△A. ， B. ，
C. , D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据各个选项的条件只要能推出 或 ，即可得出 ADE∽△ABC，推出
△
∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：
A、根据 和 ，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
B、根据 和 ，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
C、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ =∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
D、根据 = 和 = ,不能推出DE∥BC，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出
ABC∽△ADE．
△
6. 已知在 与 中，点 分别在边 上，（点 不与点 重合，点 不与
点 重合）．如果 与 相似，点 分别对应点 ，那么添加下列条件可以
证明 与 相似的是（ ）
① 分别是 与 的角平分线；
② 分别是 与 的中线；
③ 分别是 与 的高．
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据 与 相似，可得 ，
， ，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解： 与 相似，点 分别对应点 ，， ， ，
① 分别是 与 的角平分线时： ， ，
，
又 ，
；故①正确；
② 分别是 与 的中线时， ， ，
，
，
又 ，
；故②正确；
③ 分别是 与 的高时，现有条件不足以证明 ，故③错误；
综上可知，添加①或②时，可以证明 与 相似
故选A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接
填写答案】
7. 如果 均不为零），那么 的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是比例的基本性质，令 ，则 然后化简整理即可求得．令 ，则， ，即可作答．
【详解】解：根据题意，可令 ，则
因此， ．
故答案为： ．
8. 式子 的值是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．
9. 已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于_______cm．
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．
∵线段a=3cm，b=4cm，
∴线段a、b的比例中项= cm．
故答案为 ．
考点：比例线段．
10. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【答案】4∶9
【解析】
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
11. 如图， ，如果 ，那么线段 的长是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∵
∴ ．
故答案为6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的
关键．
12. 二次函数 图像上部分点的坐标满足下表：那么 ____________．
0 1
【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛
物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．
【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线 ，
所以 和 时的函数值相等，
即当 时，y的值为 ．
故答案为： ．
13. 已知向量 与单位向量 方向相反，且 ，那么 ____________________（用向量 的式子表
示）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量 与单位向量 方向相反，且 ，根据单位向量与相反
向量的知识，即可求得答案．
详解】解：∵向量 与单位向量 方向相反，且 ，
【
∴ ．
故答案为： ．
14. 已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．
【详解】解：如图， ， ，
∴ ，
∴斜坡的坡度为 ，
故答案为： ．15. 如图，在 中， 是 上的高，且 ，矩形 的顶点 在边 上，
顶点 分别在边 和 上，如果 ，那么 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形 为矩形推出 ，
因此 与 两个三角形相似，将 视为 的高，可得出 ，再将数
据代入计算是本题的关键．
【详解】解：设 与 交于点M．
∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∵ 和 分别是 和 的高，
∴ , ，
∴ ，
∵ ，
代入可得： ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ，点 是 的重心，联结 ，如果 ，
那么 的余切值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】延长 交 于F，过G作 于G，直线 交 于E，证明 ，得，同理可得 ，即有 ，根据G为 的重心， ，
得 ，设 ，根据勾股定理列式计算 可得答案．
【详解】解：过G作 于G，延长 交 于点 ，如图：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵G为 的重心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则在直角三角形 中， ，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，
综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17. 我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在 中， ，点 都在边
上， ，如果 与 是友好三角形，那么 的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻
找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A作 于点F．证明
，推出 ，设 这 构建方程求
解．
【详解】解：如图，过点A作 于点F．
∵ ，
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 这
∵ ，
∴
∴ （负根已经舍去），
∴
故答案为： ．
18. 如图，在矩形 中， 是对角线，点 在边 上，联结 ，将 沿
着直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 内，那么线段 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点 恰好落在 边上，以及点恰好落在 边上时 的值，即可得出线段 的取值范围．
【详解】解：当点 的对应点 恰好落在 边上时，如图：
由折叠的性质知 ， ， ，
又 矩形 中， ，
四边形 是正方形，
，
；
当点 的对应点 恰好落在 边上时，如图，
由折叠的性质知 ，
，
又 矩形 中， ，
，
，
又 ，
，，即 ，
，
，
线段 的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置
上】
19. 已知抛物线 ．
（1）用配方法把 化为 的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶
点坐标；
（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点 ，求平移后的抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二
次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（2）设平移后的抛物线解析式为 ，代入点 ，求得 的值即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；【小问2详解】
设平移后的抛物线解析式为 ，
∵新的抛物线经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标是 ．
20. 在平行四边形 中，点 是 的中点， 相交于点 ．
（1）设 ，试用 表示 ；
（2）先化简，再求作： （直接作在图中）．
【答案】（1）
（2） ，见详解
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，
根据题意得 和 ，进一步得到 ，则 ，代入向量即
可．化解得 ，将对应线段代入得到 ，过点E作 ，则 ，
，连接 即可．
【小问1详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
，
∵ ，
∴ ，过点E作 ，则 ，
∴ ，如图， 即为所求．
21. 如图，在四边形 中， ，垂足为点 ．
的
（1）求 值；
（2） 交 于点 ，如果 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：
（1）根据 ，得 证明
，结合相似三角形的性质，得 的值；
（2）根据相似三角形的性质且 ，得 ， ，再证明 ，列式
代数计算，即可作答．【小问1详解】
解：∵
∴
∴
∴
则
【小问2详解】
解：如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 ．
22. 小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
测量方法：如图2，人眼在 点观察所测物体最高点 ，量角器零刻度线上 两点均在视线 上，将
铅锤悬挂在量角器的中心点 ．当铅锤静止时，测得视线 与铅垂线 所夹的角为 ，且此时的仰角
为 ．
实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼 的高度．他先站在水平地面
的点 处，视线为 ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为 ；然后他向前走10米靠近大楼站在水平
地面的点 处，视线为 ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为 ．
问题解决：
的
（1）请用含 代数式表示仰角 ；
（2）如果 在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼 的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2） 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
（1）延长 交 于L，根据题意可得： ，从而可得： ，然后利用直角三角形
的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长 交 于点M，根据题意可得： 米， 米，
然后设 米，分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，
从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：如图：延长 交 于L，
由题意得：
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
【小问2详解】解：延长 交 于点M，
由题意得： ，
设 米，
在 中， ，
∴ （米），
在 中， ，
∴ （米），
∵ ，
∴
解得：
∴ 米，
∴ 米，
∴大楼EF的高度为 米．
23. 如图，在 中，点 分别是 的中点，且 ，连接 并延长交 于点 ．（1）证明： ；
（2）证明： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据等边对等角可得 ，再证这组夹角的两边成比例即可；
（2）作 交 于点H，可证 ， ，推出 ， ，
进而可得 ，再根据 得出 ，推出 ，等量代换可证
．
【小问1详解】
证明： ，
，即 ，
又 点 分别是 的中点，
， ，
，
∴ ，
；【小问2详解】
证明：如图，作 交 于点H，
，
， ； ， ，
， ，
又 点 分别是 的中点，
， ，
， ，
，
由（1）得 ，
，即 ，
，
．
24. 已知抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直线
经过点 与点 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）点 在线段 下方的抛物线上，过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ．
的
①如果 两点关于抛物线 对称轴对称，联结 ，当 时，求 的正切值；
②如果 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）① ②
【解析】
【分析】（1）先由一次函数求出 ，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．
（2）①依题意，得 ， ，根据角的等量代换，即
先求出点B的坐标． 的正切值等于 ；
② 先 表 达 出 ， ， ，
， 再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．
【小问1详解】解：∵直线 经过点 与点
则当 ；
∴
∴
解得
；
【小问2详解】
解：①如图：
∵ ，且 两点关于抛物线 的对称轴对称，
∴ ，
则
∵
∴ 轴则
∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ．
∴
则
∵ 轴交于 两点（点 在点 的左侧），
∴
∴ ，
∴
∵
则 的正切值等于 ；
②设 ， 的解析式为
∴把 代入
得
解得
∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点
∴设 的解析式为把 代入
得
∴
令 ，
即
当
解得
则把 代入
得
∴
∵过点 作 轴，过点 作 轴，∴
∴
∵
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
解得
∵点 在线段 下方的抛物线上，
∴ （舍去）
∴ ．
把 代入
∴
∴点 的坐标
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合
性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25. 已知 中， ， 平分 ， ， ，点 ， 分别是边 ，上的点（点 不与点 ， 重合），且 ， ， 相交于点 ．
（1）求 的长；
（2）如图1，如果 ，求 的值；
（3）如果 是以 为腰的等腰三角形，求 长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明 ，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答
案；
（2）过点F作 于点M， 于点N，先证明 ，进一步求得 ，接
着利用面积法证明 ，设 ，证明 ，求得 ，即可进一步求得答案；
（3）先证明 ，可得 ，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐
步求得 ，最后证明 ，进一步求出 ，即可得到答案．
【小问1详解】平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
过点F作 于点M， 于点N，
， ，
，又 ，
，
，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
， ，
，
又 ，
，
，
，，
，
；
【小问3详解】
是以 为腰的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面
积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键．
