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第 13 章 轴对称能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P．若∠ABE=160°，∠DBC=30°，
则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等三角形的
性质得到∠ABC=∠DBE，AB=DB，∠A=∠BDE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质
115°
推出∠A=∠ADB=∠BDE= ，再根据平角的定义求解即可．掌握全等三角形的对应边相等，
2
对应角相等是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABE=160°，∠DBC=30°，
∴∠ABC=∠DBE，AB=DB，∠A=∠BDE，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，∠A=∠ADB，
1 1
即∠ABD=∠CBE= (∠ABE−∠DBC)= ×(160°−30°)=65°，
2 2
1 115°
∴∠A=∠ADB= ×(180°−∠ABD)= ，
2 2
115°
∴∠BDE= ，
2
(115° 115°)
∴∠CDE=180°−(∠ADB+∠BDE)=180°− + =65°，
2 2
∴∠CDE的度数为65°．
故选：B．2．如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE=EF.若AB=5，则
CF=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.正确做出辅助线构造全等三
角形是解题的关键．
延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD(SAS)，再运用全等三角形的性质可得
AB=CG，∠G=∠EAF，然后运用等腰三角形的性质可得CG=CF，进而求解即可
【详解】解：如图，延长AD至点G，使DG=AD，连接CG．
因为BD=CD，∠ADB=∠GDC，
所以△ABD≌△GCD(SAS)．
所以AB=CG，∠G=∠EAF．
因为AE=EF，
所以∠EAF=∠EFA．
又因为∠EFA=∠CFG，
所以∠G=∠GFC，
所以CG=CF．
所以AB=CF=5．
故选B．
3．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD=∠CAD的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．
观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．
【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
B、选项作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，能确定∠BAD=∠ABD，不能确定
∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
C、选项作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
D、选项作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，故本选项符合题意；
故选：D．
4．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则它的周长为（ ）
A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要
应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为3cm时，3+3=6<7，所以不能构成三角形；
当腰为7cm时，3+7>7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17(cm)．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC=7cm，
AC=6cm，则△AED的周长等于（ ）A．12cm B．10cm C．7cm D．9cm
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由D是AC的中
1
点可得AD= AC=3cm，进而由BD⊥AC可得BD为AC的垂直平分线，得到BA=BC=7cm，由三
2
线合一得到∠ABD=∠CBD，又由DE∥BC得∠EDB=∠CBD，即得∠EDB=∠ABD，得到
BE=DE，据此可得△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，即可求解，掌握以上
知识点是解题的关键．
【详解】解：∵D是AC的中点，AC=6cm，
1
∴AD= AC=3cm，
2
又∵BD⊥AC，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴BA=BC=7cm，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴BE=DE，
∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7+3=10cm，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中点；过点D作DE⊥AB交BC于点E，
DE=2，则CE的长度为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一
半是解决问题的关键．连接AE，先求出∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，再根据线段垂直平分线的
性质得，BE=AE，由此得∠B=∠DAE=30°，进而利用直角三角形的性质得AE=2DE=4，然后
求出∠CAE=90°，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：连接AE，如图：
在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=120°，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠DAE=120°−30°=90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，AE=4，
∴CE=2AE=8．
故选：B．
7．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
（ ）A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
根据题意分两种情况，当△ABC是锐角三角形时，当△ABC是钝角三角形时，讨论求解即可；
【详解】解：分两种情况：
当△ABC是锐角三角形时，如图：
∵DE AB
是 的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=50°，
∴∠A=90°−∠AED=40°；
当△ABC是钝角三角形时，如图：
∵DE AB
是 的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=50°，
∴∠DAE=90°−∠AED=40°，
∴∠DAC=180°−∠DAE=140°；
综上所述：这个等腰三角形的顶角为40°或140°，
故选：C．
8．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正
确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④
BD=CE．（ ）A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，
内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到
角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正确，
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=BD+CE，故②正确，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故③正确，
BD，CE不一定相等，故④错误，
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，将点P 向下平移3个单位长度得到点A(m,2)，则点P 关于y轴的对称点P 的坐
1 1 2
标是（ ）
A．(m,−1) B．(−m,−1) C．(m,5) D．(−m,5)
【答案】D
【分析】此题主要考查了点的平移以及关于y轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，
进而结合关于y轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键．
【详解】解：∵将点P 向下平移3个单位长度得到点A(m,2)，
1
∴P (m,2+3)，即P (m,5)，
1 1
∴点P 关于y轴的对称点P (−m,5)，
1 2
故选：D．10．如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、B …在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则△A B A 的边长为
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
（ ）
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行
线的性质得出A B ∥A B ∥A B ，以及A B =2B A ，得出A B =4B A =4，
1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 3 1 2
A B =8B A =8，A B =16B A …进而得出答案，根据已知得出A B =4B A =4，
4 4 1 2 5 5 1 2 3 3 1 2
A B =8B A =8，A B =16B A 进而发现规律是解题的关键．
4 4 1 2 5 5 1 2
【详解】解：如图，
∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A B =A B ，∠3=∠4=∠12=60°，
1 1 2 1
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，∴OA =A B =1，
1 1 1
∴A B =1，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A B ∥A B ∥A B ，B A ∥B A ，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A B ＝2B A ，B A ＝2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3
∴A B =4B A =4，
3 3 1 2
A B =8B A =8，
4 4 1 2
A B =16B A =16
5 5 1 2
以此类推：A B =32B A =32．
6 6 1 2
故选：C．
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°,∠D=∠B=90°，M，N分别是CD,BC上的动点．当
△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．90° B．100° C．130° D．140°
【答案】B
【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′ A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，
进行求解即可．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，则：AM=A′M,AN=A″N．
∵△AMN的周长=AM+MN+AN=A′M+MN+A″N≥A′ A″，
∴当A′,A″,M,N四点共线时，△AMN的周长最短，
连接A′ A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，如图：∵∠DAB=130°,∠D=∠B=90°，
∴A,B,A′三点共线，A,D,A″三点共线，
∴∠A′+∠A″=180°−130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠BAM,∠A″=∠DAN
∠AMN+∠ANM=∠A′+∠BAM+∠A″+∠DAN=2(∠A′+∠A″)=100°
故选：B．
12．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA”，“ <”或“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点
E作EF∥BC，交AC于点F）
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边
长为1，AE=2，则线段CD的长__________．【答案】(1)=
(2)AE=DB，见解析
(3)3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
1
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD= ∠ACB=30°，然
2
后证∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证
△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
则AE=EF=2，DB=EF=2，即可得出答案．
【详解】（1）解：AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，AE=BE，
2
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
（2）解：AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ,
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°
)
∠D=∠FEC ，
ED=EC
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=2，DB=EF=2，∵BC=1，
∴CD=BC+DB=1+2=3．
