第 13 章 轴对称能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P．若∠ABE=160°，∠DBC=30°，
则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等三角形的
性质得到∠ABC=∠DBE，AB=DB，∠A=∠BDE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质
115°
推出∠A=∠ADB=∠BDE= ，再根据平角的定义求解即可．掌握全等三角形的对应边相等，
2
对应角相等是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABE=160°，∠DBC=30°，
∴∠ABC=∠DBE，AB=DB，∠A=∠BDE，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，∠A=∠ADB，
1 1
即∠ABD=∠CBE= (∠ABE−∠DBC)= ×(160°−30°)=65°，
2 2
1 115°
∴∠A=∠ADB= ×(180°−∠ABD)= ，
2 2
115°
∴∠BDE= ，
2
(115° 115°)
∴∠CDE=180°−(∠ADB+∠BDE)=180°− + =65°，
2 2
∴∠CDE的度数为65°．
故选：B．2．如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE=EF.若AB=5，则
CF=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.正确做出辅助线构造全等三
角形是解题的关键．
延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD(SAS)，再运用全等三角形的性质可得
AB=CG，∠G=∠EAF，然后运用等腰三角形的性质可得CG=CF，进而求解即可
【详解】解：如图，延长AD至点G，使DG=AD，连接CG．
因为BD=CD，∠ADB=∠GDC，
所以△ABD≌△GCD(SAS)．
所以AB=CG，∠G=∠EAF．
因为AE=EF，
所以∠EAF=∠EFA．
又因为∠EFA=∠CFG，
所以∠G=∠GFC，
所以CG=CF．
所以AB=CF=5．
故选B．
3．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD=∠CAD的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．
观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．
【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
B、选项作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，能确定∠BAD=∠ABD，不能确定
∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
C、选项作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD=∠CAD，故本选项不符合题意；
D、选项作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，故本选项符合题意；
故选：D．
4．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则它的周长为（ ）
A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要
应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为3cm时，3+3=6<7，所以不能构成三角形；
当腰为7cm时，3+7>7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17(cm)．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC=7cm，
AC=6cm，则△AED的周长等于（ ）A．12cm B．10cm C．7cm D．9cm
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由D是AC的中
1
点可得AD= AC=3cm，进而由BD⊥AC可得BD为AC的垂直平分线，得到BA=BC=7cm，由三
2
线合一得到∠ABD=∠CBD，又由DE∥BC得∠EDB=∠CBD，即得∠EDB=∠ABD，得到
BE=DE，据此可得△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，即可求解，掌握以上
知识点是解题的关键．
【详解】解：∵D是AC的中点，AC=6cm，
1
∴AD= AC=3cm，
2
又∵BD⊥AC，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴BA=BC=7cm，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴BE=DE，
∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7+3=10cm，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中点；过点D作DE⊥AB交BC于点E，
DE=2，则CE的长度为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一
半是解决问题的关键．连接AE，先求出∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，再根据线段垂直平分线的
性质得，BE=AE，由此得∠B=∠DAE=30°，进而利用直角三角形的性质得AE=2DE=4，然后
求出∠CAE=90°，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：连接AE，如图：
在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=120°，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠DAE=120°−30°=90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，AE=4，
∴CE=2AE=8．
故选：B．
7．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
（ ）A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
根据题意分两种情况，当△ABC是锐角三角形时，当△ABC是钝角三角形时，讨论求解即可；
【详解】解：分两种情况：
当△ABC是锐角三角形时，如图：
∵DE AB
是 的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=50°，
∴∠A=90°−∠AED=40°；
当△ABC是钝角三角形时，如图：
∵DE AB
是 的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=50°，
∴∠DAE=90°−∠AED=40°，
∴∠DAC=180°−∠DAE=140°；
综上所述：这个等腰三角形的顶角为40°或140°，
故选：C．
8．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正
确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④
BD=CE．（ ）A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，
内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到
角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正确，
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=BD+CE，故②正确，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故③正确，
BD，CE不一定相等，故④错误，
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，将点P 向下平移3个单位长度得到点A(m,2)，则点P 关于y轴的对称点P 的坐
1 1 2
标是（ ）
A．(m,−1) B．(−m,−1) C．(m,5) D．(−m,5)
【答案】D
【分析】此题主要考查了点的平移以及关于y轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，
进而结合关于y轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键．
【详解】解：∵将点P 向下平移3个单位长度得到点A(m,2)，
1
∴P (m,2+3)，即P (m,5)，
1 1
∴点P 关于y轴的对称点P (−m,5)，
1 2
故选：D．10．如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、B …在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则△A B A 的边长为
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
（ ）
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行
线的性质得出A B ∥A B ∥A B ，以及A B =2B A ，得出A B =4B A =4，
1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 3 1 2
A B =8B A =8，A B =16B A …进而得出答案，根据已知得出A B =4B A =4，
4 4 1 2 5 5 1 2 3 3 1 2
A B =8B A =8，A B =16B A 进而发现规律是解题的关键．
4 4 1 2 5 5 1 2
【详解】解：如图，
∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A B =A B ，∠3=∠4=∠12=60°，
1 1 2 1
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，∴OA =A B =1，
1 1 1
∴A B =1，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A B ∥A B ∥A B ，B A ∥B A ，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A B ＝2B A ，B A ＝2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3
∴A B =4B A =4，
3 3 1 2
A B =8B A =8，
4 4 1 2
A B =16B A =16
5 5 1 2
以此类推：A B =32B A =32．
6 6 1 2
故选：C．
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°,∠D=∠B=90°，M，N分别是CD,BC上的动点．当
△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．90° B．100° C．130° D．140°
【答案】B
【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′ A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，
进行求解即可．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，则：AM=A′M,AN=A″N．
∵△AMN的周长=AM+MN+AN=A′M+MN+A″N≥A′ A″，
∴当A′,A″,M,N四点共线时，△AMN的周长最短，
连接A′ A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，如图：∵∠DAB=130°,∠D=∠B=90°，
∴A,B,A′三点共线，A,D,A″三点共线，
∴∠A′+∠A″=180°−130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠BAM,∠A″=∠DAN
∠AMN+∠ANM=∠A′+∠BAM+∠A″+∠DAN=2(∠A′+∠A″)=100°
故选：B．
12．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．连接
AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，等边对等角，先证明
△OAC≌△OBD(SAS)，∠OAC=∠OBD，AC=BD，则可对②进行判断；利用三角形内角和得到
∠AMB=∠AOB=36°，则可对①进行判断，利用邻补角的定义可对④进行判断；过O点作
OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，根据全等三角形的性质得到OE=OF，则根据角平分线的性
质定理的逆定理得到MO平分∠AMD，然后根据三角形内角和可判断∠AOM≠∠DOM，于是可对
③进行判断．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
在△OAC和△OBD中，{
OA=OB
)
∠AOC=∠BOD ，
OC=OD
∴△OAC≌△OBD(SAS)，
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1=∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1=∠2，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE=OF，
∴MO平分∠AMD，故④正确，
∴∠AMO=∠DMO，
∵OA<OC，
∴∠OAC≠∠OCA
∴∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，故③错误．
∴正确的有①②④，
故选：B．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，NM⊥BC于点M，
PN⊥AC于点N，若AB=12cm，则CM的长为 cm．【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的
直角三角形的性质，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键．
根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据
平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形
的性质得到PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵MP⊥AB，NM⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN=30°，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PN=PM=MN，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=12cm，
在Rt△BMP中，∠PMB=30°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=12cm，
∴PB=4cm，
∴CM=4cm，
故答案为：4．
14．等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角形，若这个等腰三角形的一边长
为8，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】20或28或32
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条
中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等
腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，△ABC中，AB=AC，设BC= y，等腰三角形
的腰长AB=AC=2x，进而分AB=AC=8和BC=8两种情况讨论求解即可．【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三
角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，
根据题意画出图形，如图，△ABC中，AB=AC，设BC= y，等腰三角形的腰长AB=AC=2x，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
当AB=AC=8时，AD=CD=4，
若AB+AD+BD−BC−CD−BD=4，则8+4−y−4=4
解得BC= y=4，此时△ABC的周长为8+4+8=20；
若BC+CD+BD−AB−AD−BD=4，则y+4−8−4=4解得BC= y=12，此时△ABC的周长为
8+12+8=28；
当BC=8时，
若AB+AD+BD−BC−CD−BD=4，则2x+x−8−x=4
解得x=6，
∴AB=AC=2x=12，
此时△ABC的周长为12+8+12=32；
若BC+CD+BD−AB−AD−BD=4，则8+x−2x−x=4解得x=2，
∴AB=AC=2x=4，
∵4，4，8不符合三角形的条件，
∴此情形应舍去，
故答案为：20或28或32．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC
于点F、G，若∠B=52°，∠C=30°，则∠EAG的度数为 ．【答案】16°
【分析】本题主要是考查了三角形内角和、垂直平分线以及等腰三角形的性质，熟练应用三角形内角
和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等，是解决本题的关键．根据三角形内
角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性质
得到∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，再进一步解答即可．
【详解】解：∵∠B=52°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−52°−30°=98°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
同理可得：GA=GC，
∴∠GAC=∠C，
∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=82°，
∴∠EAG=∠BAC−(∠EAB+∠GAC)=98°−82°=16°．
故答案为：16°．
16．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着
DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= ．
【答案】65°
1
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得∠AED=∠A′ED= ∠AEA′，
21
∠ADE=∠A′DE= ∠ADA′，进而可得∠1+∠2=360°−2∠AED−2∠ADE，结合
2
∠AED+∠ADE+∠A=180°，可得∠1+∠2=2∠A=130°，即可求解，掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
1 1
∴∠AED=∠A′ED= ∠AEA′ ，∠ADE=∠A′DE= ∠ADA′
，
2 2
∴∠1+∠2=180°−∠AEA′+180°−∠ADA′=360°−2∠AED−2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，
∴∠AED+∠ADE=180°−∠A，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A，
∵∠1+∠2=130°，
1
∴∠A= ×130°=65°，
2
故答案为：65°．
17．如图a是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图b，已知图b中的∠CFG=140°，则图a中的∠≝¿的度
数是 度．
【答案】20
【分析】根据平行线的性质求出∠CFG=140°，再根据平行线的性质求出∠D′EG=∠BGE=40°，
再由折叠性质即可求解．
此题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答是解题的关键．
【详解】解：如图：图②是长方形纸带沿EF折叠而成，∴∠FEG=∠D′EF，CF∥DG，AD′∥BC′，
∴∠DGF+∠CFG=180°，
∵∠CFG=140°，
∴∠DGF=40°，
∴∠BGE=∠DGF=40°，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′EG=∠BGE=40°，
∵∠FEG=∠D′EF，
1
∴∠D′EF= ∠D′EG=20°，
2
即∠≝=20°，
故答案为：20．
18．如图，在△ABC中，∠C=30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA=OB，
OD=2，OE=4，则BE的长为
【答案】8
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，
掌握以上知识是解题的关键．如图，连接OC, 过O作OG⊥BC于G, 先求解CE=12,
1
∠OEG=60°， ¿= OE=2, 证明OB=OC, GC=GB, 求解GC=GB=12−2=10, 从而可得答
2
案．
【详解】解：如图，连接OC, 过O作OG⊥BC于G,∵ ∠ACB=30° OD=2 OE=4 DE⊥AC
， ， ， ，
∴DE=6,CE=2DE=12, ∠OEG=60°，
∴∠GOE=90°−60°=30°,
1 1
∴≥= OE= ×4=2,
2 2
∵ 点D是AC的中点，DE⊥AC，
∴OA=OC,
∵ OA=OB,
∴OB=OC,
∵OG⊥BC,
∴GC=GB,
∵GC=CE−≥,
∴ GC=GB=12−2=10,
∴BE=BG−EG=10−2=8.
故答案为：8.
三. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．AB、CD是两条公路，E、F是两个村庄，通讯公司要在两公路之间建一座信号基站，要求到两条公
路距离相等，并且到两村庄距离之和最小，请你用尺规作图帮通讯公司确定符合要求的位置点P（保
留作图痕迹，不写做法）
【答案】见解析【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质、两点之间，线段最短及角平分线的性质，作
出∠AOD的角平分线OG,再作点F关于OG对称的点F′ ,连接EF′交OG于点P，点P即为所求作的点，
解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等以及两点之间，线段最
短．
【详解】解：如图所示，则点P即为所求：
．
20．如图，△ABC中，AB=11，AC=5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DG相交于点D，过
点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求BE的长度．
【答案】3
【分析】连接CD，BD，由角平分线定理得到DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
由DG是BC的垂直平分线得到CD=BD，由此证明Rt△CDF≌Rt△BDE，推出BE=CF，再根据
AB=11，AC=5即可求出答案．
【详解】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠DAF=∠DAE，∴∠DAF+∠ADF=∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADF=∠ADE，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
{CD＝BD)
，
DF＝DE
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
1
∴BE= ×(11−5)=3．
2
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性
质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键．
21．如图，已知：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D，作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点E、F．（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)求证E是AB中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和
角平分线的尺规作图：
（1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可；1
（2）先求出∠C=90°，则由直角三角形的性质得到AB=2BC，再证明BF= BC，∠BFE=90°，
2
1
则∠BEF=30°，进而得到BE=2BF，则BE=BC= AB，即E是AB中点．
2
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ABC=60°，
∴∠C=90°，
∴AB=2BC，
∵EF垂直平分BC，
1
∴BF= BC，∠BFE=90°，
2
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
1
∴BE=BC= AB，即E是AB中点．
2
22．已知：如图，∠BAC角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为E、F．
(1)求证：BE=CF；
(2)若AB=8，AC=6，求BE的长．
【答案】(1)见解析；
(2)BE=1．【分析】（1）连接CD，先由垂直平分线的性质得出BD=CD，再由角平分线的性质得出DE=DF，
然后由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出结论；
（2）由HL证得Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，则AB−BE=AC+CF，推出
BE+CF=AB−AC=2，即可得出结果．
本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接CD，
∵D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，，
∴DE=DF，
∠BED=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
{BD=CD)
，
DE=DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{AD=AD)
，
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AB−BE=AC+CF，
∴BE+CF=AB−AC=8−6=2，
∵BE=CF，
1
∴BE= ×2=1．
223．如图1，在等边△ABC中，点P，Q分别是AB，BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从
顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于M．
(1)当点P，Q在边AB，BC上运动时，求∠QMC的度数；
(2)当点P，Q在射线AB，BC上运动时，直线AQ，CP交于点M，求∠QMC的度数．
【答案】(1)∠QMC=60°
(2)∠QMC=120°
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关
键是∶
（1）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到
∠QMC=60°；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到
∠QMC=120°．
【详解】（1）解∶ ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
{
AB=CA
)
∠ABQ=∠CAP ，
AP=BQ
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，
∵∠BAC=60°，∴∠QMC=60°；
（2）解∶ 点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
24．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段
AD、BE的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠DOE的度数是60°；；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，
掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出
∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即
可；
（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE ，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED
=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°+∠BED
=∠CED+60°
=60°+60°
=120°，
∴∠DOE=180°−(∠ADE+∠BED)=60°，
∴∠DOE的度数是60°；
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
1 1
∴AM= AD，BN= BE，
2 2
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
{
AC=BC
)
∠CAM=∠CBN ，
AM=BN
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
25．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______．
A．SSS B．SAS C．AAS D． HL
（2）求得AD的取值范围是______．
A．6<AD<8 B．6≤AD≤8 C．1<AD<7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条
件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【方法应用】
（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想
线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展延伸】
（4）如图，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF=∠BAE，若AB=5，CF=2，求出线段DF的长．
+
【答案】（1）B；（2）C；（3）AD=AB+DC，理由见解析；（4）DF=3．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形
三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出答案；
（3）AD=AB+DC，延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC(AAS),推出 AB=CF,再证明
DA=DF即可解决问题；
（4）延长AE交CF的延长线于点G ， 证明AB=DF+CF， 可得结论．
【详解】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
{
BD=CD
)
∠ADC=∠EDB ，
AD=ED
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故选：B．
（2）由（1）可知，△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
∵AB=8，
∴8−6<AE<8+6，即2<AE<14，
∵DE=AD，
1
∴AD= AE，
2
∴1<AD<7，
故选：C．
（3）AD=AB+DC，理由如下：如图：延长AE,DC交于点F，
∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠F,
在△ABE和△FCE中，
{∠AEB=∠FEC
)
∠BAE=∠F ，
BE=CE
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴CF=AB,
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD,
∴∠FAD=∠F,
∵AD=DF,
∵DC+CF=DF,
∴DC+AB=AD；
（4）如图，延长AE交CF的延长线于点G，
∵ E是BC的中点，∴CE=BE,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
在△AEB和△GEC中，
{
∠BAE=∠G
)
∠AEB=∠GEC,
BE=CE
∴△AEB≌△GEC(AAS)，
∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
∴AB=GC=DF+CF，
∵AB=5,CF=2，
∴DF=AB−CF=3．
26．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_______DB
（填“>”，“ <”或“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点
E作EF∥BC，交AC于点F）
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边
长为1，AE=2，则线段CD的长__________．【答案】(1)=
(2)AE=DB，见解析
(3)3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
1
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD= ∠ACB=30°，然
2
后证∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证
△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
则AE=EF=2，DB=EF=2，即可得出答案．
【详解】（1）解：AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，AE=BE，
2
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
（2）解：AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ,
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°
)
∠D=∠FEC ，
ED=EC
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=2，DB=EF=2，∵BC=1，
∴CD=BC+DB=1+2=3．
