文档内容
12.2 探索三角形全等的条件
【考点1 判定全等角形（SSS）】
【考点2判定全等角形（SAS）】
【考点3判定全等角形（ASA）】
【考点4 判定全等角形（AAS）】
【考点5 判定全等角形（HL）】
知识点1 判定全等三角形（边边边）
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
【考点1 判定全等角形（SSS）】
【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，
∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．
【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵DE＝CE，
∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，
在△ACB和△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（SSS）．
【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC
＝FD，AB＝CD．
求证：△EAC≌△FBD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SSS）．
【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，
AC=EF，AD=BE，BC=DF.求证：∠EDF=∠ABC.
【答案】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，
在△ABC与△EDF中，
{AB=ED
)
AC=EF ，
BC=DF
∴△ABC≌△EDF(SSS)，∴∠EDF=∠ABC.
【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用SSS证明
△ABC≌△EDF，据此可得结论.
【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，
AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D.
【答案】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△≝¿中，
{BC=EF
)
AB=DE ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝¿（SSS），
∴∠A＝∠D.
【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而根据全等三
角形对应角相等即可得出答案.
知识点2 判定全等三角形（边角边）
1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
【考点2判定全等角形（SAS）】
【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知 EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：
△CBA≌△FED．
【解答】证明：∵EC＝BF，
∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE，
在△CBA和△FED中，
，
∴△CBA≌△FED（ SAS）．
【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点 A、B、C、D在同一直线上，AF＝
DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE．
【解答】证明：∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DB，∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC，
在△ABF和△DCE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点 B，E，C，F在一条直线上，AB＝
DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即：BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，
AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连结AD、BE，求证：AD=EB．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF∴CD+CF＝BF+CF，
∴DF＝BC，
又∵AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
（2）证明：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，
可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可；
（2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而
用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论．
知识点3 判定全等三角形（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
【考点3判定全等角形（ASA）】
【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝
∠2．求证：△AEC≌△BED．【解答】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC
＝DF．请你添加一个适当的条件： ∠ A ＝∠ D （答案不唯一） ，使得
△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，
AB//ED，AC//DF．求证：AB=DE，AC=DF．
【答案】证明：∵FB=EC，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥DF
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△ABC与△≝¿中，
{
∠B=∠E
)
∵ BC=EF
∠ACB=∠DFE
∴△ABC≌△≝(ASA)，
∴AB=DE，AC=DF．
【解析】【分析】先利用“ASA”证明 △ABC≌△≝¿，再利用全等三角形的性质可得
AB=DE，AC=DF
【变式 3-3】（2024•西安二模）已知，点 C、F、B、E 在同一直线上，AC∥DF，
AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
知识点4 判定全等三角形（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角
边"或"AAS"）。
【考点4 判定全等角形（AAS）】
【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A
＝∠D．求证：△AOB≌△DOC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）
【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，
AB∥DE，AB=DE，∠ACB=∠F，求证：BE=CF.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠≝¿.
在△ABC和△DCE中，
{∠B＝∠≝¿∠ACB=∠F)
，
AB=DE
∴△ABC≌△DCE（AAS）.
∴BC=EF，
∴BC−CE=EF−CE，即BE=CF.
【解析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用
AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关系进行证明.
【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ACB=∠D，
求证：△ABC≌△EAD.【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
{∠ACB=∠D
)
在△ABC和△EAD中， ∠CAB=∠E ，
AB=AE
∴△ABC≌△EAD(AAS).
【解析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后
根据全等三角形的判定定理进行证明.
【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，
AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB=DC．求证：
BE=CE．
【答案】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D，
∴∠A=90°，∠D=90°．
∴∠A=∠D．
在△ABE和△DCE中，
{
∠A=∠D，
)
∠AEB=∠DEC，
AB=DC，
∴△ABE≌△DCE．
∴BE=CE．
【解析】先利用“AAS”证明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得BE=CE。
AOB≌△DOC（AAS）．知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC
＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．
【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝
90°，求证：△ACB≌△BDA．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌△Rt△BAD（HL）．
【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC
与△CDA全等吗？为什么？
【解答】解：△ABC与△CDA全等，
理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵AD＝CB，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF
上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【答案】见解析．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
一．选择题（共4小题）
1．（2024春•沈阳月考）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结
论不一定正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．EC＝FC
【答案】D
【解答】解：由平移的性质得到：△ABC≌△DEF，∠A＝∠D，AB∥DE，故A、B、C
不符合题意；
由平移的性质得到：CF＝BE，但FC和EC不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
2．（2024•田阳区一模）如图，已知 AB∥CD，AB＝CD，添加条件（ ）能使
△ABE≌△CDF．
A．AF＝EF B．∠B＝∠C C．EF＝CE D．AF＝CE【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
理由是：∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故选：D．
3．（2022秋•忻府区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3
【答案】B
【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能
画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的
△ABC，故本选项符合题意；
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理 SAS，能画出唯一的
△ABC，故本选项不符合题意；
D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理 HL，能画出唯一的
△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（2024•张家口二模）△ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和△ABC 全等的是
（ ）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】B
【解答】解：甲的边 a，c的夹角和△ABC的边a，c的夹角不对应，故甲三角形与
△ABC不全等；
乙的角50°，70°和边b与△ABC的角50°，70°和边b对应，故可利用“角边角”证明乙
三角形与△ABC全等，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
5．（2024•铁锋区二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两
侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件 AB ＝ DE （答案不唯一） ，使得
△ABC≌△DEF．
【答案】AB＝DE（答案不唯一）．
【解答】解：∵AB∥DE，BF＝CE，
∴∠B＝∠E，BC＝EF，
要使△ABC≌△DEF，
添加AB＝DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF；
添加∠A＝∠E即可利用AAS判定△ABC≌△DEF；
添加∠ACB＝∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF．
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
6．（2024•黑龙江三模）如图，∠B＝∠D，请添加一个条件 ∠ BAC ＝∠ DAC （答案不
唯一） ，使△ABC≌△ADC（填一个即可）．【答案】∠BAC＝∠DAC（答案不唯一）．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴添加一个条件∠BAC＝∠DAC（答案不唯一），判定△ABC≌△ADC．
故答案为：∠BAC＝∠DAC（答案不唯一）．
三．解答题（共10小题）
7．（2024春•天河区校级月考）如图，点 C，D在线段BF上，AB＝DF，∠A＝∠F，
AB∥DE，证明：BC＝DE．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：点C，D在线段BF上，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDF，
在△FDE和△ABC中，
，
∴△FDE≌△ABC（ASA），
∴BC＝DE．
8．（2024•张家港市模拟）如图，已知 A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点
O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．【答案】（1）证明见解析；
（2）74°．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
∵AD＝CE，
∴AD+CD＝CE+CD，
即AC＝DE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，
∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，
∵AB∥DF，
∴∠B＝∠DOC＝74°，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE＝∠B＝74°．
9．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD
于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
10．（2024•新城区校级模拟）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．
求证：△ABC≌△DEA．
【答案】见解答．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
11．（2024•永寿县一模）如图，已知CB＝DE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AC与DE
交于点F．求证：AD平分∠BDE．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE．
12．（2024•南安市模拟）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，求证：AC＝BD．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝BD．
13．（2024•高青县校级一模）如图，点 E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝
BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2．
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）由第一小问得△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
14．（2024•西安模拟）如图，B，E，C，D四点在同一直线上，AC，EF相交于点G，
AB∥EF，AB＝DE，∠D+∠CGF＝180°，求证：AC＝DF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵∠D+∠CGF＝180°，∠CGF+∠CGE＝180°，
∴∠D＝∠CGE，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠DEF，∠CGE＝∠A，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
15．（2024•西山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D、E分别是BC、AC上
的点，且BD＝CE，若∠ADE＝∠B，求证：AD＝DE．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∴180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE．
16．（2024•西安校级二模）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，
AC∥DF．求证：BC＝EF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
