文档内容
12.1 全等图形和全等三角形的性质
【考点1：全等图形判段和概念】
【考点2：全等图形的性质运用】
【考点3：利用全等三角形的性质求边】
【考点4：利用全等三角形的性质求角度】
知识点 1：全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变
化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【考点1：全等图形判段和概念】
【典例1】（2023春•沙坪坝区校级期中）下列各组给出的两个图形中，全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
B、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
C、本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意；
D、本选项中的两个图形，属于全等图形，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】下列各组图形中，是全等图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故答案为：C
【变式1-2】下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④
【答案】A
【解析】【解答】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②.
故答案为：A.
【变式1-3】（2022秋•东海县期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个形状相同的图形称为全等图形
B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同
D．面积相等的两个三角形是全等图形
【答案】C
【解答】解：A、两个形状相同、大小相同的图形是全等图形，故原命题错误，不符合
题意；
B、两个圆的形状相同但大小不相同，不是全等图形，故原命题错误，不符合题意；
C、全等图形的形状、大小都相同，正确，符合题意；
D、面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
知识点2：全等多边形性质
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
【考点2：全等图形的性质运用】
【典例2】（2023•花溪区模拟）如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长
都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°
【答案】D
【解答】解：如图：
由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠1+∠BED＝90°，
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS），
∴∠2＝∠BED，
∴∠1+∠2＝90°，故选：D．
【变式2-1】（2023•花山区二模）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣
∠1＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠1＝∠ACD，
∵∠2﹣∠ACD＝∠DCE＝90°，
∴∠2﹣∠1＝90°．
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•凉州区校级期末）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的
端点均在格点上，则∠1+∠2＝ 9 0 °．【答案】90．
【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO，
在△COD和△AOB中 ，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴∠1＝∠BAO，
∵∠2+∠BAO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
【变式 2-3】（2024 春•济南期中）如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，则
∠1+∠2+∠3＝ 225 ° ．
【答案】225°．
【解答】解：如图所示：
∠2＝45°，
在△ACB和△DCE中，，
∴△ACB≌Rt△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠1，
∴∠1+∠2+∠3＝（∠1+∠3）+45°＝180°+45°＝225°．
故答案为：225
知识点3： 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的
边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最
小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角
形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把
表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
知识点4 ：全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积
相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相
等）。
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相
等）。
【考点3：利用全等三角形的性质求边】
【典例3】（2023秋•台州期末）如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．
若BC＝4cm，BF＝6cm，则BE长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝4cm，
∴BE＝BF﹣EF＝6﹣4＝2（cm），
故选：B．
【变式3-1】（2023秋•宁津县期末）如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（
）
A．2 B．8 C．5 D．3
【答案】C【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝8，BC＝2，
∴AB＝ （AD﹣BC）＝ ×（8﹣2）＝3，
∴AC＝AB+BC＝3+2＝5．
故选：C．
【变式 3-2】（2023 秋•黔西南州期末）如图，点 B、C、D 在同一直线上，若
△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△CDE，
∴AB＝CD，BC＝DE＝4，
∵BD＝13，
∴CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9，
∴AB＝CD＝9．
故选：C．
【考点4：利用全等三角形的性质求角度】
【典例4】（2024•宣汉县一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝115°，则∠BAC
的度数是（ ）
A．35° B．30° C．45° D．25°【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝115°，
∴∠C＝∠E＝115°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣115°﹣30°＝35°．
故选：A．
【变式4-1】（2024•河池二模）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则
∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B＝ ＝70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
【变式4-2】（2024春•长清区期中）如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝
30°，那么∠DAB度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，
∴∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠DAB+∠CBD＝35°+30°＝65°，∴∠DAB的度数是65°．
故选：B．
【变式4-3】（2023秋•呼和浩特期末）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝
40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．75° B．65° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°，
∴∠D＝∠A＝75°，
∵∠DBC＝40°，
∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，
故选：B
一．选择题（共9小题）
1．（2024•张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠E＝∠B＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故选：B．
2．（2024春•阎良区期中）如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠D＝20°，则∠BED
的度数为（ ）A．75° B．85° C．60° D．55°
【答案】A
【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠C＝∠D＝20°，
∵∠DBE＝∠O+∠C＝65°+20°＝85°，
∴∠BED＝180°﹣85°﹣20°＝75°．
故选：A．
3．（2024春•锦江区校级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、形状相同，大小不等，不是全等图形，故A不符合题意；
B、形状不同，不是全等图形，故B不符合题意；
C、形状相同，大小相等，是全等图形，故C符合题意；
D、形状不同，不是全等图形，故D不符合题意；
故选：C．
4．（2023秋•南宁期末）如图，若△ABC≌△DEC，∠A＝35°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△EC，
∴∠D＝∠A＝35°．
故选：D．
5．（2024•河池二模）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的
度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B＝ ＝70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
6．（2024春•铁西区期中）如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F
在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，BF＝20，BE＝6，则△OEC的面积为（ ）
A．24 B．26 C．32 D．48
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，AB＝10，BE＝6，
∴AB＝DE＝10，BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF＝6，∵DO＝4，BF＝20，
∴OE＝DE﹣DO＝6，EC＝BF﹣BE﹣CF＝8，
∵∠DEF＝90°，
∴△OEC的面积为＝ OE•EC＝ ×6×8＝24．
故选：A．
7．（2024•天心区校级模拟）如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DFE，
∴DE＝AC＝6，
∴DG＝DE﹣GE＝6﹣4＝2，
故选：A．
8．（2023秋•镇江期末）如图，△ABC≌△DEC，点 E在线段 AB上，∠B＝70°，则
∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠ACD＝40°．
故选：C．
9．（2023秋•集贤县期末）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为
（0，4），点C的坐标为（4，3），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）
B．（﹣4，2）
C．（﹣4，2）或（﹣4，3）
D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）
【答案】D
【解答】解：当△ABD ≌△ABC时，△ABD和△ABC关于y轴对称，如下图所示：
1
∴点D 的坐标是（﹣4，3），
1
当△ABD ≌△BAC，过D 作D G⊥AB，过C点作CH⊥AB，如上图所示，
2 2 2
△ABD 边AB上的高D G与△BAC的边AB上高CH相等，
2 2
∴D G＝CH＝4，AG＝BH＝1，
2
∴OG＝2，
∴点D 的坐标是（﹣4，2），
2
当△ABD ≌△BAC过D 作D G⊥AB，如上图所示，
3 3 3
△ABD 边AB上的高D G与△BAC的边AB上高CH相等，
3 3
∴D G＝CH＝4，AG＝BH＝1，
3
∴OG＝2，∴点D 的坐标是（4，2），
3
综上所述，点D的坐标是D （﹣4，3），D （﹣4，2）或D （4，2），
1 2 3
故选：D．
二．填空题（共7小题）
10．（2024•成都模拟）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE＝55°，则∠BDE的度
数为 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵CA⊥AB，
∴∠CAE＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°，
∵△CAE≌△EBD，
∴∠AEC＝∠BDE＝35°．
故答案为：35°．
11．（2023春•广西期末）如图，△ABC≌△DEF，AE＝2，AD＝3，则AB＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵AE＝2，AD＝3，
∴DE＝AD+AE＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝5，
故答案为：5．
12．（2023秋•滨城区期末）如图，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝
150°，则∠COD＝ 5 0 °．【答案】50．
【解答】解：∵△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝150°﹣100°＝50°，
故答案为：50．
13．（2022秋•相山区校级期末）如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边
长都为1，则∠1+∠2＝ 180 ° ．
【答案】180°．
【解答】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：180°．
14．（2023秋•赣州期中）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为 70 ° ．
【答案】70°．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝20°，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
15．（2023秋•前郭县期中）如图，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直线上，AD＝
1，BC＝9，则BD＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设BD＝x，则AB＝x+1，
∵△ABO≌△DCO，
∴AB＝CD＝x+1，
∴BC＝BD+CD＝x+（x+1）＝2x+1，
∵BC＝9，
∴2x+1＝9，
解得x＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
16．（2023秋•东湖区校级月考）如图，已知△AOB≌△COD，A（1，0），B（0，2），
则C点坐标是 （ 0 ， 1 ） ，点D的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ．【答案】（0，1），（﹣2，0）．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴DO＝BO，CO＝OA．
∵A（1，0），B（0，2），
∴CO＝OA＝1，DO＝BO＝2，
∴点C（0，1），D（﹣2，0）．
故答案为：（0，1），（﹣2，0）．
