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专题 12.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】
【人教版】
【题型1 添加条件使三角形全等】..........................................................................................................................2
【题型2 确定全等三角形的对数】..........................................................................................................................5
【题型3 网格中确定全等三角形】..........................................................................................................................8
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】................................................................................................................12
【题型5 多次证全等求解或证明结论】................................................................................................................18
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】...........................................................................24
【题型7 全等三角形的动态问题】........................................................................................................................31
【题型8 全等三角形的应用】................................................................................................................................37
知识点：全等三角形的判定
判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
【题型1 添加条件使三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知
∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）A．∠A=∠DCE B．AB∥DE C．BC=DE D．AB=CD
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．将各个选项依次代入题目当中，再根据全等三角形的判定方法依
次判断即可．一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS、SSS，注意没有SSA．熟练掌握全等三角形
的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、若添加∠A=∠DCE，则可根据ASA证明△ABC≌△CDE，故A选项不符合题意；
B、若添加AB∥DE，则可得∠B=∠EDC，则可根据AAS证明△ABC≌△CDE，故B选项不符合题
意；
C、若添加BC=DE，则可根据SAS证明△ABC≌△CDE，故C选项不符合题意；
D、若添加AB=CD，则成了SSA，不能证明△ABC≌△CDE，故D选项符合题意.
故选：D
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′，有下列条件：①
AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′．请你从中选择两个条件：
，使△ABC≌△A′B′C′，你判断它们全等的根据是 ．
【答案】 ②③（答案不唯一） SAS
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法
SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【详解】解：∵∠C=∠C′，添加②BC=B′C′；③AC=A′C′；可利用SAS判定△ABC≌△A′B′C′；
添加③AC=A′C′；④∠A=∠A′，可利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′；
添加⑤∠B=∠B′；③AC=A′C′，可利用AAS判定△ABC≌△A′B′C′；
故答案为：答案不唯一，如②③；SAS．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，
则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
由∠1=∠2，可得∠BAD=∠CAE，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．【详解】解：添加AB=AC，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
添加∠B=∠C，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ ∠B=∠C，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
添加∠ADB=∠E，
∵ ∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ ∠ADB=∠E，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//
DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加
AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【答案】（1）甲、丙；（2）见详解
【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个
能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【详解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，
又∵∠A=∠D，
∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）
∴说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
（2）选“甲”，理由如下：
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
{ ∠A＝∠D )
∠B＝∠≝¿AB＝DE
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若
有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【题型2 确定全等三角形的对数】
【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD相交于
点O，连接OC，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题中条件，数形结合，利用两个三角形全等的判定定理逐个验
证即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：①由∠ACB=∠ACB，AC=BC,CD=CE，根据SAS可得△ACD≌△BCE；
∴∠CAD=∠CBE
②由AC=BC,CD=CE可得AE=BD，
由△ACD≌△BCE可得∠CAD=∠CBE，则由∠CAD=∠CBE，∠AOE=∠BOD，AE=BD，根据AAS可得△AOE≌△BOD；
③由△AOE≌△BOD可得OD=OE，则由OD=OE，OC=OC,CD=CE，根据SSS可得
△COE≌△COD；
④由△AOE≌△BOD可得OA=OB，则由OA=OB，AC=BC,CO=CO，根据SSS可得
△ACO≌△BCO；
⑤由△ACD≌△BCE可得AD=BE；由AC=BC,CD=CE可得AE=BD；AB=AB；根据SSS可得
△AEB≌△BDA；
综上所述，图中共有全等三角形5对，
故选：A．
【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于
O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】根据AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE=∠BAD，可证明△CAE≌△BAD，得出AD=AE，
∠C=∠B，根据AAS可证明△DCO≌△EBO，得出CO=BO，利用SSS证得△ACO≌△ABO，利用HL证得
△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的对数为4对．
【详解】解：由题意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4对三角形全
等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据全等三角形得判定定理，依次证明三角形全等，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
{∠ABD=∠CDB
)
BD=DB ，
∠ADB=∠CBD
∴△ABD≌△CDB(ASA)，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ABE与△CDF中，
{
AB=CD
)
∠ABE=∠CDF ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在△ADE与△CBF中，
{AD=CB
)
DE=BF
AE=CF
∴△ADE≌△CBF(SSS)，
同理可得△ABF≌△CDE，
△ADF≌CBE，△AEF≌△CFE，
即6对全等三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据定理进行推论是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一
点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，
BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，
CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【分析】设第n个图形中有a (n为正整数）个全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变
n
n(n+1)
化规律“a = (n为正整数）”，再代入n=6即可求出结论．
n 2
【详解】解：设第n个图形中有a (n为正整数）个全等三角形．
n
图(1)，在△ABD和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴a =1；
1
同理，可得：a =3=1+2，a =6=1+2+3，a =10=1+2+3+4，…，
2 3 4
n(n+1)
∴a =1+2+3+…+n= (n为正整数），
n 2
6×(6+1)
∴a = =21．
6 2
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变n(n+1)
化，找出变化规律“a = (n为正整数）”是解题的关键．
n 2
【题型3 网格中确定全等三角形】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正万形的顶点（格点
上），这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC（不含△ABC）全等的格点三角形共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．7
【答案】D
【分析】
本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形，
所以共有8个全等三角形，除去△ABC外有7个与△ABC全等的三角形．即：
故选D．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形
的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在
该网格中这样的格点三角形（不与△ABC重合）最多可以画出 个．【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以BC为公共边和以AB为公共边分别画出3个
三角形，以AC为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
以BC为公共边可以画出△BDC、△BEC、△BFC三个三角形，
以AB为公共边可以画出△ABG、△ABM、△ABH三个三角形，
故可以画出6个，
故答案为：6．
【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为
边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与 ABC全等，那么这样的格
点三角形最多可以画出 个； △
（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．
【答案】 4 45°/45度【分析】（1）观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4
个满足要求的点，也就有四个全等三角形；
（2）由图可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，从而可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，运用SSS可得与 ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下
方也有两个点． △
故答案为：4．
（2）由图可知 ABC≌△EDC，
∴∠1=∠3， △
而∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠2=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请
在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形．(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；
(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；
(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；
（2）如图②所示，△DEC即为所求；
（3）如图③所示，△AED即为所求，
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】
【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图， AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
【答案】见解析
【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关
键；
①根据垂线的知识可得∠D=∠C=90°，在结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质
得出结论；②连接AB，根据直角三角形的HL，证明Rt△ABD≌Rt△BAC，即可得出结论；③连接AB
，证明△AOD≌△BOC，可得S =S ，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接DC，
△AOD △BOC
证明△AOD≌△BOC，得∠A=∠B，OD=OC，在利用AAS证明△ADC≌△BCD，得出结论．
【详解】小丽方法：
AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠D=∠C=90°．
∴在△AOD和△BOC中，
{
∠D=∠C
)
∠AOD=∠BOC
AD=BC
∴ △AOD≌△BOC (AAS)
∴ AO=BO，DO=CO．
∴ AO+CO=BO+DO，即BD=AC．
小颖方法：
连接AB．
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，，
∴ ∠D=∠C=90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，{AD=BC)
AB=BA
∴ Rt△ABD≌Rt△BAC (HL)．
∴ BD=AC．
小雨方法：
连接AB．
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠D=∠C=90°．
∴在△AOD和△BOC中，
{
∠D=∠C
)
∠AOD=∠BOC ，
AD=BC
∴ △AOD≌△BOC (AAS)，
∴ S =S
△AOD △BOC
∴ S +S =S +S 即S =S
△AOD △AOB △BOC △AOB． △ABD △ABC．
1 1
又∵ S = AD⋅BD，S = BC⋅AC，
△ABD 2 △ABC 2
1 1
∴ AD⋅BD= BC⋅AC，
2 2
∵ AD=BC，
∴ BD=AC．
方法4：连接CD，
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠ADO=∠BCO=90°．∴在△AOD和△BOC中，
{∠ADO=∠BCO
)
∠AOD=∠BOC
AD=BC
∴ △AOD≌△BOC (AAS)
∴∠A=∠B，OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴ ∠ADC=∠BCD
在△ADC和△BCD中，
{∠ADC=∠BCD
)
∠A=∠B
AD=BC
∴ △ADC≌△BCD (AAS)，
∴AD=BC．
【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=60° B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30° D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°
【答案】D
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决
问题的关键．
根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断．
【详解】A．∠A=∠B=∠C=60°，
不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形；
B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm，
这里AB+AC=BC，不符合三角形三边关系，不能作出三角形；
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30°，
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形；
D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°，
两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形．
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三
个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键．
根据三角形判定方法判断即可解答．
【详解】解：甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，
∴甲和已知三角形不全等；
乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等，
∴根据SAS可判定乙和与△ABC全等；
丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，
∴根据AAS可判定丙和与△ABC全等．
故选：B．
【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程
已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．
求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
因为EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
所以△AEB≌△AEC………………第一步
所以∠BAE=∠CAE………………第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你
认为正确的证明过程．（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？
请说明理由．
【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与
性质是解答本题的关键．
（1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等
腰三角形的性质及判定，可逐步推得AB=AC，再根据“边边边”判定三角形全等即可；
（2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中，AB=A′B′，
AC=A′C′，∠C=∠C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．”过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作
A′D′⊥B′C′于点D′，先根据“角角边”证明△ACD≌△A′C′D′，得到AD=A′D′，再根据“HL”定理
证明Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，得到∠B=∠B′，最后由“ 角角边”即可证得结果．
【详解】（1）不正确；错在第一步．
证明：在△BEC中，∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC(SSS)，
∴∠BAE=∠CAE；
（2）全等．理由如下：
已知：如图，在锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中，
AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=∠ADB=∠A′D′B′=90°，在△ACD和△A′C′D′中，
{
∠C=∠C′
)
∵ ∠ADC=∠A′D′C′ ，
AC=A′C′
∴△ACD≌△A′C′D′ (AAS)，
∴AD=A′D′，
在Rt△ABD和Rt△A′B′D′中，
{AB=A′B′
)
∵ ，
AD=A′D′
∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′ (HL)，
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
{∠C=∠C′
)
∵ ∠B=∠B′ ，
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)．
【题型5 多次证全等求解或证明结论】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且
∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S ：S =2:3，且AG=2，求AC的长．
△ABG △ACF
【答案】(1)见解析
(2)①证明见解析②6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.
（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；
（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用ASA证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②
过F作FK⊥AG于K，由S :S =2:3，可得S :S =2:3，S :S =1:3，而
△ABG △ACF △CAE △ACF △FAE △ACF
△FAG≌△FAE，S :S =1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．
△FAG △ACF
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
{∠BAD=∠CAD
)
AD=AD ，
∠ADB=∠ADC
∴△ABD≌△ACD(ASA)，
∴AB=AC；
（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠BAG=60°=∠CAD，
在△BAG和△CAE中，
{∠BAG=∠CAE
)
AB=AC ，
∠ABG=∠ACE
∴△BAG≌△CAE(ASA)，
∴AG=AE，
在△FAG和△FAE中，
{
AG=AE
)
∠GAF=∠EAF ，
AF=AF
∴△FAG≌△FAE(ASA)，
∴∠AFG=∠AFC；
②过F作FK⊥AG于K，如图：由①知：△BAG≌△CAE，
∵S :S =2:3，
△ABG △ACF
∴S :S =2:3，
△CAE △ACF
∴S :S =1:3，
△FAE △ACF
由①知：△FAG≌△FAE，
∴S :S =1:3，
△FAG △ACF
(1 ) (1 )
∴ AG⋅FK : AC⋅FK =1:3，
2 2
∴AG:AC=1:3，
∵AG=2，
∴AC=6．
【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知：如图，AB=AC，BD=CE，CD与BE相交于点O，
连接OA．
证明：
(1)OC=OB；
(2)OA平分∠CAB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分
线的性质，即可．
（1）根据AB=AC，BD=CE，得AE=AD，推出△ADC≌△AEB，则∠ACD=∠ABE，根据AB=AC，则∠ACB=∠ABC，则∠OCB=∠OBC，即可得OC=OB；
（2）由（1）得OC=OB，∠ACD=∠ABE，AB=AC，推出△ACO≌△ABO，则∠CAO=∠BAO，
即可．
【详解】（1）证明如下：
∵AB=AC，BD=CE，
∴AE+CE=AD+BD，
∴AE=AD，
在△ADC和△AEB，
{
AC=AB
)
∠CAB=∠BAC ，
AE=AD
∴△ADC≌△AEB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OC=OB．
{
OC=OB
)
（2）证明：∵ ∠ACD=∠ABE ，
AC=AB
∴△ACO≌△ABO，
∴∠CAO=∠BAO，
即OA平分∠CAB．
【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）如图，已知，AD⊥BD于点D，CB⊥BD于点B，
AB=CD．
(1)求证：AD=CB；
(2)连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)OA=OC，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．
（1）根据HL证明Rt△ABD≌RtCDB，再根据全等三角形的性质即可得AD=CB；
（2）根据AAS证明△AOD≌△COB，再根据全等三角形的性质即可得OA=OC．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵AD⊥BD，CB⊥BD
∴∠1=∠2=90°
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
{AB=CD)
，
BD=DB
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)
∴AD=CB；
（2）解：OA=OC
理由如下：
如图，
在△AOD和△COB中，
{∠3=∠4
)
∠1=∠2 ，
AD=CB
∴△AOD≌△COB(AAS)，
∴OA=OC．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，
CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE=30°．(1)求证：AE=BD．
(2)如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解
题的关键．
（1）由ASA可证△CAE≌△ABD，可得AE=BD；
（2）延长BF交AC于点Q，由ASA可证△ABQ≌△BCH，可得AQ=BH，由AAS可证△CFQ≌△AGH
，可得AG=CF=2FG，可得结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵CG⊥AD，∠HCE=30°，
∴CF=2FG，∠CFG=60°，
∴∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAD，
∴∠ACF=∠BAD，
在△CAE和△ABD中，
{
∠ACE=∠BAD
)
AC=AB ，
∠BAC=∠ABC=60°
∴△CAE≌△ABD(ASA)，
∴AE=BD；
（2）如图，延长BF交AC于点Q，∵BF⊥CE，∠ECH=30°，
∴∠FBC+∠BCG=60°，
∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABQ和△BCH中，
{∠ABF=∠BCG
)
AB=BC ，
∠BAC=∠ABC
∴△ABQ≌△BCH(ASA)，
∴AQ=BH，
∴AB−BH=AC−AQ，
∴AH=CQ，
在△CFQ和△AGH中，
{∠CFQ=∠AGH=90°
)
∠ACF=∠HAG ，
CQ=AH
∴△CFQ≌△AGH(AAS)，
∴AG=CF，
∴AG=2FG，
∴点F是AG的中点．
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，AD是△ABC的角平分线．(1)若AB=AC+CD，求证：∠ACB=2∠B；
(2)当∠ACB=2∠B时，AC+CD与AB的数量关系如何？说说你的理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB=AC+CD，理由见解析
【分析】（1）延长AC至E，使CE=CD，连接DE，运用SAS证明△BAD≌△EAD，可得结论；
（2）在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF，根据AAS推导△BAD≌△FAD得到结论．
【详解】（1）证明：延长AC至E，使CE=CD，连接DE.
∵AB=AC+CD，
∴AB=AE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD.
在△BAD与△EAD中，
¿,
∴△BAD≌△EAD.
∴∠B=∠E.
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠ACB=2∠E=2∠B.
（2）解：AB=AC+CD.
理由：在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF.∴∠CDF=∠F，
又∵∠ACB=∠CDF+∠F，
∴∠ACB=2∠F.
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠F.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD与△FAD中，
¿，
∴△BAD≌△FAD.
∴AB=AF=AC+CF=AC+CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性
质．正确的作出辅助线是解题关键．
【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】(1)①见解析，②见解析；
(2)3．【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，
∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，
代入已知即可得到答案，
本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
{∠CDA=∠BEC
)
∠DAC=∠ECB ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE；
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
{∠ACD=∠BEC
)
∠ADC=∠BEC ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC−CD=AD−BE=5−2=3．
【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC
