文档文本内容
专题 12.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】
【人教版】
【题型1 添加条件使三角形全等】..........................................................................................................................1
【题型2 确定全等三角形的对数】..........................................................................................................................2
【题型3 网格中确定全等三角形】..........................................................................................................................3
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】..................................................................................................................5
【题型5 多次证全等求解或证明结论】..................................................................................................................6
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】.............................................................................7
【题型7 全等三角形的动态问题】..........................................................................................................................9
【题型8 全等三角形的应用】................................................................................................................................10
知识点：全等三角形的判定
判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
【题型1 添加条件使三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知
∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）A．∠A=∠DCE B．AB∥DE C．BC=DE D．AB=CD
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′，有下列条件：①
AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′．请你从中选择两个条件：
，使△ABC≌△A′B′C′，你判断它们全等的根据是 ．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，
则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//
DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加
AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【题型2 确定全等三角形的对数】
【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD相交于
点O，连接OC，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，图中全等的三角形
的对数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一
点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，
BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，
CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．21 B．11 C．6 D．42
【题型3 网格中确定全等三角形】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正万形的顶点（格点
上），这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC（不含△ABC）全等的格点三角形共有（ ）个A．4 B．5 C．8 D．7
【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形
的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在
该网格中这样的格点三角形（不与△ABC重合）最多可以画出 个．
【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为
边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与 ABC全等，那么这样的格
点三角形最多可以画出 个； △
（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．
【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请
在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形．(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；
(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；
(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．
【题型4 灵活选用判定方法证明全等】
【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图， AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．
以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=60° B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm
C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30° D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°
【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三
个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程
已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．
求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
因为EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
所以△AEB≌△AEC………………第一步
所以∠BAE=∠CAE………………第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你
认为正确的证明过程．
（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？
请说明理由．
【题型5 多次证全等求解或证明结论】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且
∠ABG=∠ACF，连接FG．
①求证：∠AFG=∠AFC；
②若S ：S =2:3，且AG=2，求AC的长．
△ABG △ACF
【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知：如图，AB=AC，BD=CE，CD与BE相交于点O，
连接OA．证明：
(1)OC=OB；
(2)OA平分∠CAB．
【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）如图，已知，AD⊥BD于点D，CB⊥BD于点B，
AB=CD．
(1)求证：AD=CB；
(2)连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，
CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE=30°．
(1)求证：AE=BD．
(2)如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点．
【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，AD是△ABC的角平分线．(1)若AB=AC+CD，求证：∠ACB=2∠B；
(2)当∠ACB=2∠B时，AC+CD与AB的数量关系如何？说说你的理由．
【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC<AC，过点B作
DE∥AC，且BD=BC，点B作BF⊥AB交CD于点F，连接EF．
(1)如图1，若∠BAC=40°，且BF=BE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若DE=AC，求证：AB=BF+EF．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆·期末）在△ABC中，∠ACB和∠CAB的角平分线CE、AD相交于点G
．(1)若∠B=50°，求∠AGC的度数；
(2)延长CE至点N，过点N作BC的平行线NM交AB于点M，若EG=EM，求证：AC=AE+EN．
【题型7 全等三角形的动态问题】
【例7】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，
点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上
以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒) (0≤t<3)．
(1)用含t的代数式表示PC的长度．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【变式7-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，
且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以
vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
6 12
A．2 B．4 C．4或 D．2或
5 5
【变式7-2】（23-24八年级·湖南郴州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，延长BC到点E，使CE=1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设
点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，AD为高线，AC=18．点E为AC上一
1
点，CE= AE，连接BE，交AD于点O，若△BDO≌△ADC．
2
(1)猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
(2)若动点Q从点A出发沿射线AE以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒．
①当点Q在线段AE上时，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，
请说明理由；
②动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达
点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP与
△FCQ全等时，请直接写出t的值．
【题型8 全等三角形的应用】
【例8】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐
尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说
明理由.【变式8-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方
向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，
接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己
现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时
他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，
请说明理由．
【变式8-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船
摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=10m，
在乘坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC=5m，当
船头从A处摆动到A′处时发现船头处在最高位置处，此时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离．
【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年
4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设A,B两点分别为茗阳阁底座的两端（其中
A,B两点均在地面上）．因为A,B两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方
案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到
点D，使CO=AO,DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作
BD⊥AB，在点D处用测角仪确定∠1=∠2，射线DC交直线AB于点C，最后测量BC的长即可得线段
AB的长．(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
