文档内容
13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
二、教学重、难点：
重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用.
难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用.
三、教学过程：
复习回顾
一、轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
二、两个图形关于这条直线(成轴)对称
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
三、线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.知识精讲
观察演示，动手操作:仔细观察折纸过程，回答问题.
猜想：线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，
又∵ AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS) ，
∴ PA=PB.
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的
孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.
证法1：过点P作线段AB的垂线PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，
又∵ PA=PB，PC=PC，
∴ Rt PAC≌Rt PBC (HL) ，
∴ AC=BC，
△ △
∴ PC是线段AB的垂直平分线，
∴ 点P在AB的垂直平分线上.
证法2：取AB的中点C，过P，C作直线.∴ AC=BC，
又∵ PA=PB，PC=PC，
∴ △PAC≌△PBC (SSS) ，
∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°，
即 PC⊥AB，
∴ PC是线段AB的垂直平分线，
∴ 点P在AB的垂直平分线上.
几何符号语言：
∵ PA=PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何符号语言：
∵ PA=PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过
来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.
典例解析
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
1
(3)分别以点D和点E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线.
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若
△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm【针对练习】1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，
且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,
BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
△
例3.如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线交BC于E，F,垂足分别为M,N，若△ABC
周长为18cm,且AB:BC:CA=2:4:3,求△AEF的周长.
解:ME，NF分别是AB，AC的垂直平分线∴AE=BE，AF=CF
∴C =AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC
AEF
设A△B=2x，则BC=4x，CA=3x
则2x+4x+3x=18
解得x=2
∴BC=8cm 即△AEF的周长为8cm.
例4.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接
CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE
又∵OE=OE，
∴Rt OED≌Rt OEC.
∴DO=CO.
△ △
∴OE是CD的垂直平分线.
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长
AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
【分析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出
△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点
2
M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于17，△ADC
的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．8
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为
30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．133．如图，在 Rt ABC 中，∠B＝90°，ED是AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点
E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
△
A．41° B．42°C．43° D．44°
4．如图，∠BAC的角平分线AD与线段BC的垂直平分线DG交于点D，过点D作DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足交AB的延长线于点E，交AC于点F，若AE=10cm，BC=12cm，则△ABC的
周长为（ ）cm．
A．32 B．34 C．22 D．16
5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P ，P ，连结P P 交
1 2 1 2
OA于M，交OB于N，若线段P P 的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm．
1 2
6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____．
7．如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为点E，F，且BE=CF．
(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；
(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明
【参考答案】
1. C
2. C
3. B
4. A
5. 12
6. 13
7. 证明：连接CD，BD，如图所示：
∵DG为BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
¿，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
¿，
∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，
∴∠FAD=∠EAD，
∴AD为∠CAB的角平分线；
五、教学反思：
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，
提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握
较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不
透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.
