文档内容
13.3 等腰三角形的性质和判定
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
【考点4：判断等腰三角形的个数】
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【考点6：等腰三角形的判定】
【考点7：等腰三角形的判定与性质】
【考点8： 等腰三角形的实际应用】
知识点1：等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹
角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其
中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合
一”．
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】（2022秋•苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为 20，一边长为5，则此等
腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【变式1-1】（2023秋•昆明期中）等腰三角形的两边分别为 3cm，4cm，则它的周长是（
）A．10cm B．11cm
C．16cm或9cm D．10cm或11cm
【变式1-2】（2023秋•滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则
等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为 24cm，只知其中一边的长
为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．7cm B．8.5cm
C．10cm D．7cm或8.5cm
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（
）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【变式2-1】（2022秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是 70°，则它的底角度数是（
）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内
角是70°，则顶角A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．40°或70°
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度
数为（ ）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平
分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）A．15° B．20° C．45° D．25°
【变式3-1】（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分
线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，
AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3-3】（2022秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC
于D，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
知识点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一
个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三
角形．
【考点4：判断等腰三角形的个数】
【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是
△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，
则图中等腰三角形的个数是 ．
【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则
图中的等腰三角形有 个．
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以
C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上
取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格
点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三
角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点 A，B的坐标分别为（3，0）和
（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（
）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶
点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有
个．
【考点6：等腰三角形的判定】【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂
足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝ ∠C，AB＝AC，BD＝
AD．
（1）求∠A的度数．
（2）求证：△DBC是等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，
BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分
∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．【考点7：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【变式7-1】（2022秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点
D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线
交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连
结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
（2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
【考点8： 等腰三角形的实际应用】
【典例8】（2020秋•铁锋区期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M在北
偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C处，则此时轮船与灯塔M
的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
【变式8-1】（2022秋•嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午 12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，
∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离．
【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的
速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B
处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
（1）求B处离灯塔C的距离；
（2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．15或18
2．在△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个
等腰三角形的底边长为（ ）
A．9 B．5 C．5或9 D．8或10
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AC边上一点，且AD=AE，若
∠B=40°，则∠ADE的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．65°
4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于
（ ）
A．40° B．20°
C．40°或140° D．20°或70°
5．如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=42°，则∠BDC的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
6．如图，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC
于点E，若△ABC周长为16，AC=6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
7．数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB,BC,CD,DE在桌面上摆成如图所示
的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=12，则点B，D到直线AE
的距离之和为（ ）A．6 B．8 C．6❑√2 D．10
二、填空题
8．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ACB= °．
9．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O平行于BC的直线分别
交AB、AC于点D、E，已知AB=9cm，AC=8cm，△ADE的周长为 ．
10．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE=CB，D是BE的中点，若
∠BCD=20°，则∠A= ．
11．等腰三角形的两个内角的度数之比是2:5，则它顶角的度数为 ．
12．如图，△ABC中，AB=AC，BC=9cm，点D在AC上，CD=4cm，将线段CD沿
CB方向平移5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为
cm．三、解答题
13．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°．
(1)在AC上作一点D，使BD平分∠ABC；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
14．【问题背景】
如图，已知 △ABC和 △ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交
于点P，点C在DE上．
【问题探究】
（1）试说明：BC=DE；
【问题拓展】
（2）若∠B=30°，∠APC=70°．①求∠E的度数；
②判断CP与CE的数量关系，并说明理由．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，点E在
△ABC外部，且AE⊥ED，AE=ED，连接BE，EC．
【问题发现】
（1）求证△EAB≌△EDC；
【问题探究】
（2）线段BE和EC有怎样的关系？请说明理由；
【问题应用】
（3）若AB=4cm，请直接写出△ABE的面积．
