文档内容
13.3 等腰三角形的性质和判定
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
【考点4：判断等腰三角形的个数】
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【考点6：等腰三角形的判定】
【考点7：等腰三角形的判定与性质】
【考点8： 等腰三角形的实际应用】
知识点1：等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹
角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其
中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合
一”．
【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】（2022秋•苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为 20，一边长为5，则此等
腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝ ×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【变式1-1】（2023秋•昆明期中）等腰三角形的两边分别为 3cm，4cm，则它的周长是（
）
A．10cm B．11cm
C．16cm或9cm D．10cm或11cm
【答案】D
【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10cm，
②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11cm，
所以，它的周长是10cm或11cm．
故选：D．
【变式1-2】（2023秋•滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则
等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形，
周长是：22．
故选：B．
【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为 24cm，只知其中一边的长
为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．7cm B．8.5cm
C．10cm D．7cm或8.5cm
【答案】D
【解答】解：∵若7cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：24﹣2×7＝10（cm），此时
三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，符合三角形的三边关系；若7cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（24﹣7）÷2＝8.5（cm），此时三角形的三边
长分别为8.5cm，8.5cm，7cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为7cm或8.5cm，
故选：D．
【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（
）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【答案】B
【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为 （180°﹣80°）＝
50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
【变式2-1】（2022秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是 70°，则它的底角度数是（
）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【答案】C
【解答】解：当它的顶角为70°时，
它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
当它的底角为70°时，
它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；
∴它的底角度数是55°或70°．
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内
角是70°，则顶角A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．40°或70°
【答案】D
【解答】解：若70°是顶角，则顶角为70°；
若70°是底角，则设顶角是y，∴2×70°+y＝180°，
解得：y＝40°．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度
数为（ ）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【答案】C
【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC，
当∠DAC＝70°时，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，
∴等腰三角形的顶角的度数为110°，
故选：C．
【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】
【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平
分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．45° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣30°）＝75°，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分
线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为24，
∴BD+CD+BC＝24，
∴AB+BC＝24，
∵BC＝10，
∴AC＝AB＝24﹣10＝14．
故选：C．
【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，
AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC
于D，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴ ，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
故选：B．知识点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一
个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角
形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三
角形．
【考点4：判断等腰三角形的个数】
【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是
△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，
则图中等腰三角形的个数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ ＝72°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴△ABC，△ABD，△BDC都是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是3，故答案为：3．
【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则
图中的等腰三角形有 6 个．
【答案】6．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B＝36°，∠ADE＝72°，
∴∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠DAE＝36°，
∴∠CAD＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故答案为：6．
【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以
C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上
取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】D
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，
共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x
轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三
个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格
点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三
角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：如图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点 A，B的坐标分别为（3，0）和
（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（
）个．A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：如图，
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故选：C．
【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶
点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有
3 个．
【答案】3．【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故答案为：3
【考点6：等腰三角形的判定】
【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂
足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝ ∠C，AB＝AC，BD＝
AD．（1）求∠A的度数．
（2）求证：△DBC是等腰三角形．
【答案】（1）36°；（2）见详解．
【解答】（1）解：设∠A＝x．
∵∠A＝∠ C，AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
解得 x＝36°，
∴∠A＝36°，
（2）证明：由（1）可知∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，
BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分
∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【考点7：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析；
（2）12．
【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．
【变式7-1】（2022秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点
D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）34°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°，
∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝34°．
【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线
交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝ （180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连
结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
（2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BAD的度数是54°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴FB＝FE．
（2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠BAD的度数是54°．
【考点8： 等腰三角形的实际应用】
【典例8】（2020秋•铁锋区期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M在北
偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M
的距离是 1 4 海里 ，灯塔M在轮船的 南偏东 60 ° 方向上．【答案】（1）14海里；
（2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA，
∴∠BMA＝30°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∴AB＝28×0.5＝14，
∴BM＝14，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴CM＝BC，∠BCM＝60°，
∴CM＝14，
答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上，
故答案为：14海里，南偏东60°．
【变式8-1】（2022秋•嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小
时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，
∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离．【答案】40海里．
【解答】解：根据题意，可得AB＝20×2＝40（海里），
∵∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝80°﹣40°＝40°，
∴∠ACB＝∠NAC，
∴BC＝BA＝40海里，
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的
速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B
处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
（1）求B处离灯塔C的距离；
（2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
【答案】（1）40；（2）1．
【解答】（1）解：根据题意可得∠1＝30°，∠2＝60°，
∴∠C＝∠2﹣∠1＝60°﹣30°＝30°，
∴∠1＝∠C＝30°，
.BC＝AB＝20×（10﹣8）＝40（海里），
即B处离灯塔C的距离为40海里；（2）解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示
∴∠CDB＝90°，
∵∠2＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝ BC＝20海里，
∴20+20＝1（小时）
∴轮船从B处出发，按原速度航行，再过1小时灯塔C正好在船的正东方向
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．15或18
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件，根据等腰三角形的定义，
进行求解即可．
【详解】解：当腰长为4时，第三边的长为4，4+4>7，能构成三角形，满足题意；
当腰长为7时，第三边的长为7，4+7>7，能构成三角形，满足题意；
故选C．
2．在△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个
等腰三角形的底边长为（ ）A．9 B．5 C．5或9 D．8或10
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算， 根据等腰三角形的两腰相等，寻找问题
中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】解：如图：
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意可得：
y y
{ x+ =9 ) { x+ =12)
2 2
① 或② ，
y y
y+ =12 y+ =9
2 2
{x=5)
解方程组①得： ，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
y=8
{x=9)
解方程组②得： ，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
y=6
∴等腰三角形的底边长为5或9，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AC边上一点，且AD=AE，若
∠B=40°，则∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】D
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根
据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADB=90°，∠CAD=∠BAD，根据三角形内角和
得到∠CAD=∠BAD=50°，再根据等边对等角及三角形内角和得到1
∠ADE= ×(180°−50°)=65°，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2
【详解】解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠CAD=∠BAD，
∵∠B=40°，
∴∠CAD=∠BAD=50°，
∵AD=AE，
1
∴∠ADE= ×(180°−50°)=65°，
2
故选：D
4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于
（ ）
A．40° B．20°
C．40°或140° D．20°或70°
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思
想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角
三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小．
【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题可知：∠ABD=50°，∠BDC=90°，
∴等腰三角形的顶角∠BAC=∠BDC−∠ABD=40°，
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，由题可知：∠ABD=50°，∠ADB=90°，
∴等腰三角形的顶角∠BAC=∠ABD+∠ADB=140°，
∴等腰三角形的顶角度数为40°或140°，
故选：C．
5．如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=42°，则∠BDC的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角的性质，
解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直
平分线的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，再根据三角形的
外角的性质计算即可．
【详解】解：∵线段AC的垂直平分线交AB于点D，
∴AD=CD，
∵ ∠A=42°，
∴∠DCA=∠A=42°，
∴ ∠BDC=∠DCA+∠A=84°．
故选：B．
6．如图，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC
于点E，若△ABC周长为16，AC=6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公
式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据等腰三角形的性质得到
BD=DE，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC=16，
∵AC=6，
∴AB+BC=10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∵AB=AE，AD⊥BC，
∴BD=DE，
1
∴AB+BD=AE+DE= ×(AB+BC)=5，
2
∴DC=DE+EC=AE+DE=5，
故选：A．
7．数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB,BC,CD,DE在桌面上摆成如图所示
的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=12，则点B，D到直线AE
的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C．6❑√2 D．10
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作
1 1
BM⊥AE于M，DN⊥AE于N，由等腰三角形的性质推出CM= AC，CN= CE，由
2 2
余角的性质推出∠DCN=∠CBM，由AAS证明△DCN≌△CBM，得到DN=CM，
1 1 1
BM=CN，于是得到BM+DN=CM+CN= (AC+CE)= AE= ×12=6．
2 2 2
【详解】解：作BM⊥AE于M，DN⊥AE于N，∵AB=BC，
1
∴CM= AC，
2
1
同理：CN= CE，
2
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCN+∠BCM=180°−90°=90°，
∵∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠DCN=∠CBM，
∵∠DNC=∠BMC=90°，
∵DC=BC，
∴△DCN≌△CBM(AAS)，
∴DN=CM，BM=CN，
1 1 1
∴BM+DN=CM+CN= (AC+CE)= AE= ×12=6，
2 2 2
∴点B，D到直线AE的距离之和为6．
故选：A．
二、填空题
8．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ACB= °．
【答案】24
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，
正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五
边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结
论．【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为(5−2)×180°÷5=108°，正六边形的
每个内角为(6−2)×180°÷6=120°，
则∠BAC=360°−108°−120°=132°，
∵AB=AC，
180°−132°
∴∠ACB= =24°．
2
故答案为：24．
9．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O平行于BC的直线分别
交AB、AC于点D、E，已知AB=9cm，AC=8cm，△ADE的周长为 ．
【答案】17cm
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分
线的定义求解即可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴DB=DO，EC=EO，
∴C =AD+AE+DE
△ADE
=AD+AE+DO+EO
=AD+AE+DB+EC
=AB+AC
=9+8
=17(cm)，
∴三角形ADE的周长为17cm．
故答案为：17cm．
10．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE=CB，D是BE的中点，若
∠BCD=20°，则∠A= ．【答案】30°/30度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，
熟练掌握三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据三角形“三线合一”的性质可得
CD⊥BE，∠BCD=∠ECD，进而可得∠B，∠BCE的值，再结合三角形角平分线的
定义可得∠ACB=2∠BCE=80°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵CE=CB，D是BE的中点，
∴CD⊥BE，∠BCD=∠ECD，
∵∠BCD=20°，
∴∠B=90°−∠BCD=70°，∠BCE=∠BCD+∠ECD=2∠BCD=40°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=80°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=30°．
故答案为：30°．
11．等腰三角形的两个内角的度数之比是2:5，则它顶角的度数为 ．
【答案】30°或100°
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分
别为2x，5x，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的
定义是解题的关键
【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为2x，5x，
当顶角度数为2x时，可得2x+5x+5x=180°，
解得x=15°，
∴顶角的度数为30°；
当顶角度数为5x时，可得5x+2x+2x=180°，
解得x=20°
∴顶角度数为100°
故答案为30°或100°
12．如图，△ABC中，AB=AC，BC=9cm，点D在AC上，CD=4cm，将线段CD沿CB方向平移5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为
cm．
【答案】12
【分析】此题主要考查了平移的性质，以及等腰三角形的判定与性质，根据题意得出BE的
长是解题关键．直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进
而求出答案．
【详解】解：∵将CD沿CB的方向平移5cm得到线段EF，
∴EF=DC=4cm，FC=5cm，EF∥CD，
∴∠C=∠BFE，
∵AB=AC，BC=9cm，
∴∠B=∠C，BF=9−5=4cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+4=12cm．
故答案为：12
三、解答题
13．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°．
(1)在AC上作一点D，使BD平分∠ABC；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：△BCD是等腰三角形．【答案】(1)作图见详解
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的
运用，掌握尺规作角平分线的方法，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧交AB，BC于点M，N，以点M，N为圆心，
以MN为半径画弧交于点P，连接BP交AC于点D，即可求解；
（2）根据AB=AC，∠A=36°可求出∠ABC=∠C=72°，根据角平分线的性质，三角
形内角和定理可得∠BDC=72°=∠C，由此即可求证．
【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，点D即为所求
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
1 1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−36°)=72°，
2 2
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
2
∴∠BDC=180°−∠C−∠CBD=180°−72−36°=72°，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．
14．【问题背景】
如图，已知 △ABC和 △ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交
于点P，点C在DE上．【问题探究】
（1）试说明：BC=DE；
【问题拓展】
（2）若∠B=30°，∠APC=70°．
①求∠E的度数；
②判断CP与CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）过程见解析；（2）①70°；②CP=CE，理由见解析
【分析】（1）证明△BAC≌△DAE(ASA)，由全等三角形的性质得出结论；
（2）①结合三角形外角的性质及全等三角形的性质求出∠CAE=40°，由全等三角形的性
质得出AC=AE，由等腰三角形的性质可求出答案；
②证明△ACP≌△ACE(AAS)，由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
{
∠B=∠D
)
AB=AD ，
∠BAC=∠DAE
∴△BAC≌△DAE(ASA)，
∴BC=DE；
（2）①解：∵∠B=30°，∠APC=70°，
∴∠BAP=∠APC−∠B=70°−30°=40°，
∴∠CAE=∠BAD=40°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC=AE，
1 1
∴∠E=∠ACE= ×(180°−∠CAE)= ×(180°−40°)=70°，
2 2∴∠E的度数为70°；
②CP=CE．理由如下：
∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB=∠E=70°，
∴∠ACP=∠ACE，
∵∠APC=70°，∠E=70°，
∴∠APC=∠E，
在△ACP和△ACE中，
{∠APC=∠AEC
)
∠ACP=∠ACE ，
AC=AC
∴△ACP≌△ACE(AAS)，
∴CP=CE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三
角形内角和定理，证明△BAC≌△DAE是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，点E在
△ABC外部，且AE⊥ED，AE=ED，连接BE，EC．
【问题发现】
（1）求证△EAB≌△EDC；
【问题探究】
（2）线段BE和EC有怎样的关系？请说明理由；
【问题应用】
（3）若AB=4cm，请直接写出△ABE的面积．
【答案】（1）见解析（2）BE=EC且BE⊥EC，理由见解析（3）4cm2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形
的性质与判定：
（1）先由线段中点的定义得到AB=DC，再由等腰直角三角形的性质得到
∠EAD=∠EDA=45°，进而得到∠EAB=∠EDC=135°，则可得到△EAB≌△EDC(SAS)；
（2）由全等三角形的性质得到BE=EC，∠EBA=∠ECD，再由三角形内角和定理证明
∠TEC=∠BAT=90°，据此可得结论；
1 1
（3）由等腰直角三角形的性质得到EF=AF=DF= AD= AB=2cm，再由全等三角形
2 2
1
的性质可得S =S = CD⋅EF=4cm2 ．
△ABE △EDC 2
【详解】解：（1）∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=DC，
∵AE⊥ED，AE=ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EAB=90°+45°=135°，∠EDC=180°−45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∴△EAB≌△EDC(SAS)；
（2）BE=EC且BE⊥EC，理由如下：
设AC、BE交于T，
∵△EAB≌△EDC，
∴BE=EC，∠EBA=∠ECD，
又∵∠ATB=∠ETG，∠ABT+∠BAT+∠ATB=∠TEC+∠ETC+∠ECT=180°，
∴∠TEC=∠BAT=90°，
∴BE⊥EC，
∴BE=EC且BE⊥EC；
（3）如图所示，过点E作EF⊥AD于F，
∵△AED是等腰直角三角形，
1 1
∴EF=AF=DF= AD= AB=2cm，
2 2
∵△EAB≌△EDC，1 1
∴S =S = CD⋅EF= ×4×2=4cm2 ．
△ABE △EDC 2 2
